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湖北省2014届高三10月联考数学理试题含答案


2013~2014 年度湖北省部分重点中学高三十月联考
数学(理科)试题
一、(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知全集 U=N,集合 P ? ? 1, 2, 3, 4, 6? ,Q= ?1, 2,3,5,9? 则 P ? ??Q ? ( A. ? 1,2,3? B. ?4,6? C. ?5,9?

?

?

) D? 1,2,3,4,6?

2.已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5?, B ? 数为 A.6 3.下列命题中错误的是
2

?? x, y ? / x ? A, y ? A, x ? y ? A? ,则 B 中所含元素的个
C.16 D.20

B.12

A.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 3 ”的逆否命题是“若 x ? 3 ,则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”
2

B.若 x、y∈R,则“ x ? y ”是 xy ? (

x? y 2 ) 成立的充要条件 2
2

C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 D.对命题 p : ?x ? R ,使 x ? x ? 2 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,则 x ? x ? 2 ? 0
2

4.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象向左平移 的值不可能等于( A.4 ) B.6

? 个单位,若所得图象与原图象重合,则 ? 2
D.12

C.8

5.已知函数 f ( x) 的图象向右平移 a ? a ? 0 ? 个单位后关于 x ? a ? 1 对称,当 x2 ? x1 ? 1 时,

? f ( x2 ) ? f ( x1 )? ( x2 ? x1 ) <0
大小关系为 A.c>a>b

恒成立,设 a ? f (? ) , b ? f (2) , c ? f (e) ,则 a, b, c 的

1 2

B.c>b>a
3 2

C.a>c>b

D.b>a>c y

6.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,

k ? R ,则 f (k ) ? f (?k ) 的值一定
A.等于 0 C.小于 0 B.不小于 0 D.不大于 0 -1

1 x

7.若 ? ? (0, ?) ,且 3 cos 2? ? sin( ? ?) ,则 sin 2? 的值为 A.1 或 ?

? 4

17 18

B.1

C.

17 18

D. ?

17 18

8.已经函数 f ( x) ? ( A.1

1 ) x ? sin x, a ? R ,则 f ( x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为 a ? 2a ? 3
2

B.2
2

C.3

D.4

x 9.已知 f ( x) ?| x ? e | ,方程 f ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 ? t ? R ? 有四个实数根,则 t 的取值范围



e2 ? 1 A. ( , ??) e
C. ? ?

? e2 ? 1 ? ?? , ? B. ? ? e ? ?
D. ? 2,

? e2 ? 1 ? , ?2 ? e ? ?

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?
x又

10 .定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (2 ? x ) ? f ( x ),当 x ? ? 0,1 ? 时, f ( x) ?

g ( x) ? cos
? ?

?x
2

,则集合 ? x | f ( x ) ? g ( x )? 等于

A. ? x | x ? 4k ?

1 ? , k ? z? 2 ? 1 ? , k ? z? 2 ?

B. ? x | x ? 2 k ?

? ?

1 ? , k ? z? 2 ?

C. ? x | x ? 4 k ?

? ?

D. ? x | x ? 2k ? 1, k ? z?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . 设 有 两 个 命 题 : p : 不 等 式 ( ) ? 4 > m > 2 x ? x 对 一 切 实 数 x 恒 成 立 ;
x
2

1 2

q : f ( x) ? ?(9 ? 2m) x 是 R 上的减函数,如果 p 且 q 为假命题,则实数 m 的取值范围是
; 12. 在△ABC 中, ?C ? 60 , AB ? 2 3, AB 边上的高为
0

8 ,则 AC ? BC = 3

;

13. 已知函数 f ? x ? ? 2 ? x, g ? x ? ? log 2 x ? x, h ? x ? ? log 2 x ? 2 的零点依次为 a, b, c,则
x

a, b, c 的大小关系是



2 x 14. 已知 f ( x) ? lg( x ? 3 x ?1), g( x) ? ( ) ? m , 若 ?x1 ? [0,3], ?x2 ? [1, 2] , 使得 f ( x1 ) >

1 2

g( x 2 ),则实数 m 的取值范围是

;

?? , 15. 若 函 数 f ? x ? 在 [0 , 1] 上 满 足 : 对 于 任 意 的 s, t ? ? 0 , ?1
f ? s ? ? ? f ?t ? 1? ? ? s ? ?t ? ? f? ? ,则称 f ? x ? 在[0,1]上为凸函数. ? 1? ? ?
x

0 ,都有

在三个函数 f1 ? x ? ? x ? 1, f 2 ? x ? ? e ? 1, f 3 ? x ? ? lg x ? 1

中,在[0,1]上是凸函数的



(写出您认为正确的所有函数) 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ?1 (A>0, ? >0)的最小值为-1,其图象相邻两个对称中心之

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式 (2)设 ? ? (0, ?) ,则 f ( ) ? 3 ? 1 ,求 ? 的值.

?

2

17. 在△ABC 中, a、 b、 c 分别为三内角 A、 B、 C 所对边的边长, 且若是 C ? (其中 ? >1) (1)若 ? ?

?
3

,a ? b ? ?c

3 时,证明 ?ABC 为 Rt ?

(2)若 AC ? BC ?

???? ??? ?

9 2 ? ,且 c ? 3 ,求 ? 的值. 8

18. 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 10 .
3 2

(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

19. 设 函 数 f ? x ? 对 任 意 x, y? R, 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) , 当 x ? 0 时 ,

x f? x 1? ?2 ? ? 0 , ?f ?
(1)求证: f ? x ? 是奇函数; (2)试问:在 ?n ? x ? n 时 果没有,说明理由. (3)解关于 x 的不等式

(n ? N ? ) , f ? x ? 是否有最大值?如果有,求出最大值,如

1 1 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b2 x) ? f (b), ? b ? 0 ? 2 2

20. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60° . 11 (Ⅰ)若 cos(B+C)=- ,求 cosC 的值; 14 → → (Ⅱ)若 a=5,AC· CB=5,求△ABC 的面积.

21. 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? 2m ln x x

(m ? R) .

(1)讨论 f ? x ? 的单调性. (2)若 f ? x ? 有两个极值是 x1 和 x2 ,过点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 问:是否存在 m ,使得 k ? 2 ? m ?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

2013~2014 年度湖北省部分重点中学高三十月联考
数学(理科)答案
一、选择题 B D C B D 二、填空题 11. (??,1] ? ? 4, ?? ? D A B B B 12. 2 11

13. a<b<c

14. [

1 ,??) 4

15. f3(x) = ln

x+1

三、解答题 16. 解: (1)∵函数 f(x)最小值为-1 ∴1-A=-1 即 A=2 ∵函数图象的相邻对称中心之间的距离为 ∴T= ? 即? ? 2

? 2

故函数 f(x)的解析式为 f ( x ) ? 2Sin (2x ? (2)∵ f ( ) ? 2Sin (? ? ∴2Sin( ? ?

? 2

? )? 3 6

? ) ?1 ? 3 ?1 6

? ) +1 6

? 3 Sin (? ? ) ? 6 2

? ? ? ∴? ? ? 2 6 3 ? 2 5 ?? ? ?? ? ? 6 6 3 ? 5 即所求 ? ? 或? ? ? 2 6
则? ? 17.解: ? ? ? 3 由正弧定理得
?C ?
? a ? b ? 3C
3 2

S i n? AS i n ? B 3S i n C ?

?
3

2 3 ?S i n ? BS i ( n ? ? B) ? 3 2
3 1 3 CosB ? SinB ? 2 2 2

SinB ?

3 3 3 ? SinB ? CosB ? 2 2 2

则 Sin( B ? ) ?
6

?

3 2

则 B?

?
6

?

?
6

或 B?

?

2 ? ? 6 3

?B ?

?
6

或B?

? . 2 ? 2
?ABC 为 Rt?

若B? 若B?

?
6

则A?

? 2

?ABC 亦为 Rt? .
9 8

(2) AC ? BC ? ?2 又 ?a ? b ? 3?

则 a ? b ? ?2

1 2

9 8

? ab ?

9 2 ? 4

由余弧定理知 a 2 ?b 2 ?c 2 ? 2ab ? Cosc 即 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ? 9 故 9? 2 ? ? 2 ? 9 即? ?2. 18. I)由已知,切点为(2,0), 故有 f (2) ? 0 , 即 4b ? c ? 3 ? 0 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0
2

即 (a ? b) 2 ? 3ab ? 9
?2 ? 4

9 4

9 2 ? ?9 4

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当 函 数 有 极 值 时 , 则 ? ? 0 , 方 程 3x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1时,g ?( x) ? 0 有实数 x ? 无极值

1 m ?有 0 实数解, 3

2 2 , 在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 , 故函数 g ( x) 3 3

1 1 ②当 m<1 时,g'(x)=0 有两个实数根 x1= (2- 1-m ), x2= (2+ 1-m ), g(x),g'(x) 的情 3 3 况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值;

当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值. 3 3

19.解: (1)设 x ? y ? 0 可得 f ? 0 ? ? 0 ,设 y ? ?x ,则 f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? 所以 f ? x ? 为奇函数. (2)任取 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,又 f ? x2 ? ? f ? ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? 所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 所以 f ? x ? 为减函数。 那么函数最大值为 f ? ?n ? ,最小值为 f ? n ?

f ? ?n ? ? ?nf ?1? ? 2n , f ? n ? ? nf ?1? ? ?2n
所以函数最大值为 2n ,所以函数最小值为 ?2n ,

1 1 f ? bx 2 ? ? f ? b ? ? f ? b 2 x ? ? f ? x ? 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 即 f ? bx ? ? f ? b ? ? f ? b ? ? f ? b x ? ? f ? x ? ? f ? x ? 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 可化为 f ? bx ? b ? b ? ? f ? b x ? x ? x ? 2 2
(3)由题设可知 即 f bx ? b ? b ? f b x ? x ? x ,? f ? x ? 在 R 上为减函数
2 2

?

?

?

?

?bx2 ? 2b ? b2 x ? 2 x ,即 bx 2 ? ? b 2 ? 2 ? ? 2b ? 0 , ? bx ? 2 ?? x ? b ? ? 0
①0 ? b ?

2 ,则解为 b ? x ?

2 b

② b ? 2 ,则解为 ③ b ? 2 ,则无解

2 ? x?b b

11 20. 解: (Ⅰ)在△ABC 中,由 cos(B+C)=- ,得 14 11 5 3 1-(- )2= , 14 14

sin(B+C)= 1-cos2(B+C)=

∴cosC=cos[(B+C)-B]=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB

11 1 5 3 3 1 =- × + × = .…………………………………………(6 分) 14 2 14 2 7 → → → → (Ⅱ)由AC· CB=5,得|AC|· |CB|cos(180° -C)=5,即 abcosC=-5, 又 a=5,∴bcosC=-1, ①

a b a b 由正弦定理 = ,得 = , sinA sinB sin(120° -C) sin60° 5 3 1 cosC+ sinC 2 2 b , 3 2 ②





即 3bcosC+bsinC=5 3, 将①代入②,得 bsinC=6 3,

1 1 故△ABC 的面积为 S= absinC= × 5× 6 3=15 3.……………………(12 分) 2 2 21.解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??)
f , ( x) ? 1 ? 1 x
2

?

2m x 2 ? 2mx ? 1 ? x x2

令 g ( x) ? x 2 ? 2mx ? 1 其判制式 ? ? 4m2 ? 4 当 | m |? 1 时
? ? 0 , f , ( x) ? 0

故 f(x)在(0,+ ? )上单调递增 当 m ? ?1 时, ? ? 0
g ( x) ? 0 的两根都小于 0,在(0,+ ? )上 f , ( x) ? 0

故 f(x)在(0,+ ? )上单调递增. 当 m ? 1 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x1? m ? m 2 ? 1 , x2 ? m ? m 2 ? 1 当 0 ? x ? x1 时, f , ( x) ? 0 ,当 x1? x ? x2 时 f , ( x) ? 0 当 x ? x2 时 f , ( x ) ? 0 . 故 f(x)分别在 (0, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递增,在 ( x1, x2 ) 上单调递减 (2)由(1)知 m ? 1
? f ( x1) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2m(ln x1 ? ln x 2 ) x1x2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 ? 1? ? 2m , x1? x 2 x1 x 2 x1? x2 ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

又由(1)知, x1 ? x2 ? 1 ,于是 k ? 2 ? 2m , 若存在 m,使得 k ? 2 ? m ,则 即 ln x1 ? ln x2 ? x1? x2 即 x2 ?
1 ? 2 ln x2 ? 0 x2 ln x1? ln x2 ?1 x1 ? x2

( x2 ? 1) …………………. (*)

再由(1)知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0,??) 上单调递增,而 x2 ? 1 .
? x2 ? 1 1 ? 2 ln x2 ? 1 ? ? 2 ln1 ? 0 . x2 1

1 t

这与(*)式矛盾,故不存在 m,使得 k ? 2 ? m .


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