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云南师大附中2015届高考适应性月考卷(三)理科数学试卷及参考答案


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4

云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(三)双向 细目表 理科数学
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题

选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 分 值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 12 12 12 12 10 10 复数的除法运算 命题 向量的数量积、向量垂直的充要条件 程序框图 三角恒等变换及三角函数的图象与性质 回归分析、线性回归、正态分布 组合体的三视图,圆柱与长方体的体积公式 数列的递推公式与数列的周期性 导数的运算、几何意义、基本不等式、直线的 斜率 椭圆与双曲线的方程与基本量,双曲线的离心 率的计算 分段函数,函数单调性、数形结合、分类讨论 等比数列的性质、等差数列的求和公式 定积分、二项式定理 函数的单调性、奇偶性、向量及线性规划 几何体的外接球、函数值域 (Ⅰ)平面向量、边角关系 (Ⅱ)正、余弦 定理 (Ⅰ)离散型随机变量的分布列与数学期望 (Ⅱ)概率 (Ⅰ)线面、面面垂直 (Ⅱ)二面角 (Ⅰ)双曲线方程 (Ⅱ)椭圆方程 (Ⅰ)利用导数研究函数的极值问题 (Ⅱ)利用导数证明不等式 (Ⅰ)弦切角定理、三角形相似 (Ⅱ)切割线定理 (Ⅰ)椭圆的参数方程求动点轨迹 (Ⅱ)椭圆的极坐标方程、综合应用能力 (Ⅰ)绝对值不等式 (Ⅱ)含参数的绝对值不等式及参数的取值范 围 优秀率 3%
5

试题内容 元素、集合的关系

难度 易 易 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中 易 易 中 中 (Ⅰ)易(Ⅱ)易 (Ⅰ)易(Ⅱ)中 (Ⅰ)易(Ⅱ)中 (Ⅰ)中(Ⅱ)难 (Ⅰ)中 (Ⅱ)难 (Ⅰ)易 (Ⅱ)中 (Ⅰ)易 (Ⅱ)中 (Ⅰ)易 (Ⅱ)中 平均分 90

24

解答题

10

达成 目标

及格率 50%

命题 思想

重点考查学生对基本概念、基本知识、基本方法的掌握情况,根据复习 计划,参照高考要求,检测学生应试能力.

云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(三) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 C 6 A 7 C 8 D 9 B 10 C 11 D 12 D

【解析】
2,y ? 1, 2 ,计算可得 Q ? {?1, 0, 1} ,故选 B. 1.分别取 x ? 1,

2.

z1 3 ? bi 3 ? 2b (6 ? b)i z 6?b ? ? ? ,当 ? 0 时, 1 是实数,? b ? 6 ,故选 A. z2 1 ? 2i 5 5 z2 5

3.A 中否命题应为“若 x2 ? 1, 则 x ?1” ;B 中否定应为“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1≥0 ” ;C 中原命 题为真命题,故其逆否命题为真命题;易知 D 正确,故选 D. 4 . b ? ? a ? (1 , 0) ? ? (1 , 2) ? (1 ? ?, 2?), c ? (3, 4) , 又 (b ? ? a) ? c , ?(b ? ? a) ? c ? 0 , 即
(1? ?, 2 ? ) ? (3 ,4 ) ? 3 ? ? 3 ? ?8 ? ,解得 0 ? ??

3 ,故选 C. 11

5.由题意可知输出结果为 S ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? 10 ? 5 ,故选 C. 6. y ? sin x cos x ?
3 π? π kπ π ? cos 2 x ? cos ? 2 x ? ? ,故其对称轴为 2 x ? ? kπ,k ? Z ,? x ? ? , 2 6? 6 2 12 ?

k ? Z ,当 k ? 0 时, x ?

π ,故选 A. 12

? 7 .对于①,已知其正确;由正态分布的概念的对称性可得 P(? 1 ? ? ? 0)? P (0? ? ? 1)

1 1 ? P(? ? 1) ? ? m ,故②正确;随机变量 K 2 的观测值 k 越大,判断“ X 与 Y 有关系” 2 2
的把握越大,故③错误,所以正确的有①②两个,故选 C. 8.该几何体下方是一个长方体,上方是一个圆柱被切掉一部分,体积为 V ? 4 ? 4 ? 2 ? π ? 3

1 ? π ? 2 ? ? 32 ? 4π ,故选 D. 2
9 . a1 ? 2,a2 ?
2 1 2 2 2 1 a4 ? ? 1 ? ,a5 ? ? 1 ? 2, 推理得 ? 1 ? ?3,a3 ? ?1 ? ? , 1 1 3 1? 2 1? 3 2 1? 1? 2 3
6

1 {an } 是周期为 4 的数列,所以 a2015 ? a3 ? ? ,故选 B. 2
10 . f ?( x) ? 2cos x,g ?( x) ? x 2 ? x 2,f ?( x)≤2,g ?( x)≥2 ,故函数 f ( x) ? 2sin x ( x ? [0,π]) 上
?x ? ? 8? 点 P 的坐标必为 (0,0) ,函数 g ( x) ? 2 x ? ? ? 1? 上点 Q 的坐标必为 ?1, ? ,故直线 PQ ?3 ? ? 3?
1 ? 1

8 的斜率为 ,故选 C. 3
2 2 ? x2 y 2 ?m ? c , 2 2 n ? b 11. 由题意可知 ? 2 则 , 椭圆的方程可化为 由 AP ? PQ ? 0 知 AP ? ?1. 2 2 c 2 b2 ? ?m ? n ? a ,

a 与渐近线垂直.不妨设 P 在第一象限,则直线 AP 的方程为 y ? ? ( x ? c) ,与渐近线 b y?
? a 2 ab ? b x 联 立可 解得 P 的 坐标为 ? , ? . 又 点 P 在 椭圆上 ,代入 椭圆 方程 可得 c ? a ? c

1? 5 a4 a2 1 1 ,故选 D. ? 2 ? 1 ,即 4 ? 2 ? 1 ,整理得 e4 ? e2 ? 1 ? 0 ,所以 e 2 ? 4 2 e e c c

? x?1 f1 ( x) ? f 2 ( x) f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f1 ( x)( f1 ( x)≥f 2 ( x)), ?e ( x ? (??, 0] [3, ? ?)), g ( x) ? ? ?? 12. 又 ?? 1 x ?1 2 2 ? f 2 ( x)( f1 ( x) ? f 2 ( x)) ?e 3 ( x ? (0, 3)), ?

当 x ? [a,b] 时,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 恒成立,故 g ( x) 在 x ? [a,b] 时是增函数,结合图象可 x1 ? x2

5] ,故 b ? a 的最大值在 a ? 0,b ? 5 时 ? ?) 时是增函数,又 a,b ? [?1, 知 g ( x) 在 x ? [0,

取得,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 13 14 15 16

答案

36

?160

[0, 12]

?3 3? ? , ? ?4 2 ?

【解析】
2 13.由 a4 ? a6 ? 2a5 ,得 a5 ? 2a5 ,即 a5 ? 2 ,所以 b5 ? 4 , S9 ?

9(b1 ? b9 ) ? 9b5 ? 36 . 2
6

π 1 ? ? π ? ? cos π ? cos0 ? 2 ,二项式 ? 2 x ? 14 . a ? ? sin xdx ? (? cos x) 0 ? 展开式的通项公式为 0 x? ?

7

? 1 ? r r 6?r r 3?r Tr ?1 ? C6 (2 x )6?r ? ? ? ? ? (?1) 2 C6 x .令 3 ? r ? 0 ,得 r ? 3 ,此时展开式中常数项 x? ?

r

为 T4 ? (?1)3 26?3 ? C3 6 ? ?160 . 15 .
0) 成中心对称, ? 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1,
(0,0) 成中心对称,即 y ? f ( x) 为奇函数.不等式 f ( x2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 )≤0 ,可化为

f ( x2 ? 2 x)≤ ? f (2 y ? y2 ) ? f ( y2 ? 2 y) , 又 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 是 减 函 数 ,
? x 2 ? y 2 ? (2 x ? 2 y )≥0, 故 ? x2 ? 2x≥y 2 ? 2 y , 由 1≤ x≤4 得 ? ?1≤x≤4,
?( x ? y )( x ? y ? 2)≥0, 即 ? ?1≤x≤4,

? x ? y≥0, ? x ? y≤0, ? ? 2),N ( x,y) ,故 OM ? ON ? x ? 2 y , 或 ? x ? y ? 2≤0, 作出可行域,又 M (1, ? x ? y ? 2≥0, ?1≤x≤4, ?1≤x≤4 ? ?
12] . 利用线性规划知识可求得 OM ? ON 的取值范围为 [0,

16.如图 1,设 P ? ABCD 的外接球的球心为 G ,

A,B,C,D 在球

面上, ? 球心在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 上下底面中心连线 O1O 上,点 P 也在球上,? GP ? GA ? R , 棱长为 1 , ? OA ?
2 , 2

设 O1P ? x,O1G ? y , 则 O G? 1 ? y, 在 Rt△GO1P 中 , 有

? 2? 2 ②, R 2 ? x 2 ? y 2 ①,在 Rt△ GOA 中,有 R2 ? ? ? 2 ? ? ? (1 ? y) ? ?
将①代入②,得 x2 ?
2 3 1 3 ,? ≤y≤ , ? 2 y , 0≤x≤ 2 2 2 4 3 1 ? 9 3? ? R 2 ? x 2 ? y 2 ? ? 2 y ? y 2 ? ( y ? 1)2 ? ? ? , ? , 2 2 ?16 4 ?

2

?3 3? 于是, R ? ? , ? . ?4 2 ?
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 【注:本题题干第一行中“且 m ? n ? ? sin 2C ”改为“且 m ? n ? sin 2C ”,改后答案如下: 】 解: (Ⅰ) m ? n ? sin( A ? B) ? 2cos Asin B ? sin Acos B ? cos Asin B ? sin( A ? B) ,

8

???????????????????????????????(2 分)
0 ? C ? π ,所以 sin( A ? B ) ? sin C ,????????(4 在 △ ABC 中, A ? B ? π ? C,

分) 又 m ? n ? sin 2C ,所以 sin C ? sin 2C ? 2sin C cos C ,所以 cos C ?

1 π ,即 C ? . 3 2

????????????????????????????????(6 分) (Ⅱ) sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理得 2c ? a ? b ,????????????(7
1 3 ab ? 3 ,得 ab ? 4 ,????????????????? 分) S△ABC ? ab sin C ? 2 4

(9 分) 由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab ? 4c2 ? 12 , 得c ? 2. ?????????????????????????????? (12 分) 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率为 芯片乙为合格品的概率为

40 ? 32 ? 8 4 ? , 100 5

40 ? 29 ? 6 3 ? ,????????????????(3 分) 100 4

30, ? 15 . 随机变量 X 的所有可能取值为 90, 45,

4 3 3 1 3 3 ; P( X ? 90) ? ? ? ; P( X ? 45) ? ? ? 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 , P( X ? 30) ? ? ? ; P( X ? ?15) ? ? ? 5 4 5 5 4 20
所以随机变量 X 的分布列为

X
P

90

45

30

? 15

3 5

3 20

1 5

1 20

?????????????????????????????????(7 分)

3 3 1 1 则 X 的数学期望 E( X ) ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 .???????( 8 5 20 5 20
分) (Ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品有 n 件,则次品有 5 ? n 件.
9

依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ≥140 , 解得 n ≥ 分) 设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A ,
1 ?3? 81 4?3? 则 P( A) ? C5 .????????????????????(12 ? ? ? ?? ? ? ? 4 ? 4 ? 4 ? 128
4 5

19 ,所以 n ? 4 或 n ? 5 .????????????????????(10 6

分) 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 2,取 AB 的中点 H ,连接 PH ,HC .
△PAB 是正三角形, 且 H 为 AB 的中点,AB ? 2 , ?PH ? AB ,

且 PH ? 3 . ??????????????????? (2 分) 底面 ABCD 是矩形, AB ? 2,BC ? 2 ,? HC ? 1 ? 2 ? 3 . 又 PC ? 6 ,? PC 2 ? PH 2 ? CH 2 ,? PH ? HC . ?????????????????????(4 分)
AB HC ? H ,?PH ? 平面 ABCD .

PH ? 平面 PAB ,? 平面 PAB ? 平面 ABCD .???????????????(6
分) (Ⅱ)解:如图 2 所示,以 H 为原点建立空间直角坐标系 H ? xyz ,
0, 0),B(?1, 0, 0) , P(0, 则 A(1, 0, 3) , D(1 , 2, 0) .???????????(7

分) 设 AE ? ? AP(0 ? ? ? 1) ,则 BE ? BA ? AE ? (2 ? ?, 0, 3?) , BD ? (2, 2, 0) , 设 n ? ( x,y,z) 为平面 EBD 的法向量,

? 0)=0, ?n ? BD ? 0, ? ?( x,y,z )(2, 2, 由? ?? 0, 3? )=0, ? ?n ? BE ? 0, ? ?( x,y,z )(2 ? ?, ? ?2 x ? 2 y ? 0, 令 z ? 2 ? ? ,得 n ? (? 3?, 6?, 2 ? ?) . ?? ? ?(2 ? ? ) x ? 3? z ? 0,
易知 HP ? (0, 0, 3) 为平面 ABD 的一个法向量.???????????????(9

10

分) 二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ? ,
? cos 45? ? cos? n,HP? ? n ? HP n ? HP ? 2 3 ? 3? 10? ? 4? ? 4 ? 3
2

?

2 . ?????????(10 2

分) 又由 0 ? ? ? 1 ,得 ? ? 分) 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设双曲线 G 的渐近线方程为 y ? kx ,则由已知可得
5k k2 ?1 ? 5,

1 , ? AE∶EP ? 1 .?????????????????(12 2

1 1 所以 k ? ? ,即双曲线 G 的渐近线方程为 y ? ? x . 2 2
设双曲线 G 的方程为 x2 ? 4 y 2 ? m , A( xA , yA ), B( xB , yB ) .
1 ? ? y ? ( x ? 4), 4 由? 得 3x 2 ? 8 x ? 16 ? 4m ? 0 , 2 2 ? x ? 4 y ? m, ?

8 16 ? 4m 则 xA ? xB ? ,xA xB ? ? .( ? ) ????????????????????( 3 3 3
分) 因为 PA ? PB ? PC , P,A,B,C 共线且 P 在线段 AB 上, 所以 ( xP ? xA )( xB ? xP ) ? ( xP ? xC )2 , 整理得: 4( xA ? xB ) ? xA xB ? 32 ? 0 , 将( ? )代入上式可解得: m ? 28 . 所以双曲线 G 的方程为 分) ( Ⅱ ) 由 题意 可 设 椭圆 S 的 方 程 为 :
2

x2 y 2 ? ? 1 .????????????????????(6 28 7

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2 7) , 弦 的 两个端 点 分 别 为 28 a2

M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) , MN 的中点为 Q( x0,y0 ) ,

11

? x12 y12 ? 2 ? 1, ? ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y )( y ? y ) ? a 由 ? 28 得 1 2 1 2 ? 1 2 2 1 2 ? 0 ,???????????(8 2 2 28 a ? x2 ? y2 ? 1, 2 ? ? 28 a

分) 因为 分) 所以 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹为直线
y1 ? y2 x 4y ? ?4,x1 ? x2 ? 2 x0,y1 ? y2 ? 2 y0 ,所以 0 ? 20 ? 0 ,???????( 9 x1 ? x2 28 a

x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

又这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以 椭圆 S 的方程为 分) 21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: 分)

a2 1 ? ,所以 a 2 ? 56 , 112 2

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????(12 28 56

f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) ,???????????????(1

令 f ?( x) ? 0 ,得 g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) ,?? x ? (1 ? ? )a ? x , 即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a , ?????????????????????(3 分) 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ,??????????????(4 分)

? 当 x ? a 时, f ( x) 取极大值,但 f ( x) 没有极小值.
f ( x) 的极大值为 f ( a) ? g[? a? (1? ? )a ]? ? g (a )? g (a )?? g (a ) .???( 6 ? (1 ?? ? )a e

分) (Ⅱ) 证明:
ex ?1 ex ? x ?1 x ?1 ? , 又当 x ? 0 时, 令 t ( x) ? e x ? x ? 1 , 则 t ?( x ) e ? 1 ? 0? , x x

故 t ( x) ? t (0) ? 0 ,因此原不等式化为 分)

ex ? x ? 1 ? a ,即 ex ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,????(8 x

令 h( x) ? e x ? (1 ? a) x ? 1 ,则 h?( x) ? e x ? (1 ? a) , 由 h?( x) ? 0 ,得 e x ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,

12

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, h?( x) ? 0 , 故当 x ? ln(1? a ) 时, h( x) 取得最小值 h[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a)ln(1 ? a) ,?????( 10 分)

a ? ln(1 ? a),a ? 0 , 1? a 1 1 a ? ?? ?0. 则 s?(a ) ? (1 ? a) 2 1 ? a (1 ? a) 2
令 s(a) ? 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 h[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a)ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立 . ??????????????(12 分) 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明: PA 为圆 O 的切线,??PAB ? ?ACP , 又 ?P 为公共角,? △PAB ∽△PCA ,?

AB PA , ? AC PC

所以, AB ? PC ? AC ? PA . ????????????????????????(4 分) (Ⅱ)解: PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线,
? PA2 ? PB ? PC ,? PC ? 45,BC ? 40,

又 ?CAB ? 90?, ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 1600 , 又由(Ⅰ)知

AB PA 1 ? ? , AC PC 3

? AC ? 12 10,AB ? 4 10 ,

连接 EC ,

?CAE ? ?EAB , △ACE ∽△ADB,?

AB AD , ? AE AC

? AD ? AE ? AB ? AC ? 4 10 ?12 10 ? 480. ?????????????????(10 分)

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
sin ? ) , 解: (Ⅰ)点 D 的直角坐标为 (?2, ? 2 3) ,由题意可设 A 的坐标为 (2cos?,

1 ? ? 则 AD 的中点 M 的坐标为 ? ?1 ? cos ?,? 3 ? sin ? ? , 2 ? ?

? x ? ?1 ? cos? , ? 所以 M 的轨迹 E 的参数方程为 ? ( a 为参数) , 1 y ? ? 3 ? sin ? , ? ? 2
消去 a 可得 E 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? 4( y ? 3)2 ? 1 . ?????????????( 4
13

分) (Ⅱ)椭圆 C 的普通方程为 变形得 ? ?
2

x2 ? y 2 ? 1 ,化为极坐标方程得 ? 2 ? 3? 2 sin 2 ? ? 4 , 4

π? ? .由 OA ? OB 可设 A( ?1,? ),B ? ? 2,? ? ? , 2? ? 1 ? 3sin ?
2

所以

1 OA
2

?

1 OB
2

1 ? 3sin 2 ? ? 2? 2? ? ?1 ?2 4 1 1

π? ? 1 ? 3sin 2 ?? ? ? 2? ? 4

?

2 ? 3sin 2 ? ? 3cos2 ? 5 . ????????????????????(7 ? (定值) 4 4

分)
1 2 2 2 , S△AOB ? ?1?2 ? ? ? 2 2 2 2 2 9 2 (1 ? 3sin ? )(1 ? 3cos ? ) 1 ? 3 ? 9sin ? cos ? 4 ? sin 2? 4

易知当 sin 2? ? 0 时, ( S△AOB )max ? 1 .????????????????????(10 分) 24.(本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)因为 x ? 4 ? x ? a ≥ ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ≤ x ≤ 4 时等号成立, 故 a ? 4 ? 3,? a ? 1 .??????????????????????????(5 分) (Ⅱ)当 a ? 1 时,若 g ( x) ?
1 的定义域为 R , f ( x) ? m

则 f ( x) ? m ? 0 恒成立,即 f ( x) ? m ? 0 在 R 上无解, 又 f ( x) ? x ? 4 ? x ? a ? x ? 4 ? x ? 1 ≥ ( x ? 4) ? ( x ? 1) ? 3 ,当且仅当 1 ≤ x ≤ 4 时取等 号,
? m ? ?3 .??????????????????????????????(10

分)

14


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