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清北学堂数学联赛考前练习题四套


2012 年高中数学奥林匹克模拟真题(二)

第一试
一、填空题 1、若 (20 x ? 11y)3 ? ax3 ? bx2 y ? cxy 2 ? dy3 ,则 a ? 2b ? 4c ? 8d ? .

2、 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 .

y 2 x2 ? ? 1 的顶点和焦点, 则椭圆的方程为

: 9 16

3、实数 x, y 满足 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 y ,则 x ? y 的最大值是



, AB? BC? 1平面 BCD 与平 4、四面体 ABCD 中, CD ? BC, AB ? BC, CD? AC
面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为
0



5、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像经过点 A(3, 6) 和 B ? ? , 6 ? ,若其与 X 轴的两个 交点 C , D 的距离满足 CD ?

? 1 ? 2

? ?

1 ,则函数的具体表达式为 y ? 2




6 、函数 f ( x) ? 7 、 cos

x ? x3 的值域是 (1 ? x 2 )2
2? 4? 7? ? cos ? cos ? 15 15 15

?
15

? cos



8 、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,

, a9 ,若 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 为一


平方数, a2 ? a4 ? a6 ? a8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 二、解答题

9 、给定 Y 轴上的一点 A(0, a) ( a ? 1 ) ,对于曲线 y ?
求 A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .

x2 ? 1 上的动点 M ( x, y) ,试 2

10 、 各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q

1

都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

(1)当 a ?

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数对于每个正整数 n , 都有

1

?

? an ? ?. .

11 、用 P(n) 表示正整数 n 的各位数字之和,求所有这样的三位数 n ,使得满足:

1 P (n ? 3) ? P (n) . 3

第 二 试(加试)
一、 ?ABC 中, D 是角 A 平分线上的任一点, E , F 分别是 AB, AC 延长线上的点,且

CE ∥ BD , BF ∥ CD ;若 M , N 分别是 CE, BF 的中点;
证明: AD ? MN .
B
M

A
D

C

N

E

F

二、在锐角三角形 ABC 中,证明:

sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? sin ? C ? A? sin ? C ? B ? ? ? ?0. sin 2 A sin 2 B sin 2C
三、如果既约分数

n n 满足: mn ? 2011, m, n 为正整数,则称 为“兔分数” ;现将所 m m

有“兔分数”按递增顺序排成一个数列

n1 n2 n3 , , , m1 m2 m3

,称为“兔数列” ;

证明:对于兔数列中的任两个相邻项

nk nk ?1 ,都满足: mk nk ?1 ? mk ?1nk ? 1 . , mk mk ?1

四、从圆周的九等分点中,任取五点染为红色;证明:存在以红点为顶点的不同的六个 三角形 ?1 , ?2 ,

, ?6 ,满足: ?1 ≌ ? 2 ; ?3 ≌ ? 4 ; ?5 ≌ ?6 .

2

2012 年高中数学奥林匹克模拟真题(二)答案

第一试
一、填空题 1、答案: ?8 . 解:令 x ? 1, y ? ?2 ,条件式立即化为: (?2)3 ? a ? 2b ? 4c ? 8d .

x2 y 2 ? ? 1. 2、答案: 16 25
解: 双曲线的两顶点为 ? 0, ? 3? , 两焦点为 ? 0, ? 5? , 故由条件, 椭圆的两焦点为 ? 0, ? 3? , 两顶点为 ? 0, ? 5? ,因此, c ? 3, a ? 5 , b ? a ? c ? 16 ,则椭圆的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 25

3、答案: 1 ?

1 10 . 2
, 由 2 ? t ?y
2

y 解: 令x? y ?t, 则 x ?t ?

y ? ?3
2

2 ? 6 y

, 得 5 y2 ? 2 ? 2t ? 3? y ? 2t 2 ? 0 ,

2 因 y 为实数,则判别式 ? ? 4 ? 2 t ? 3 ? ? 4 ? 5 ? 2 t ? 0 ,得

2 ? 10 2 ? 10 . ?t ? 2 2

4、 答案:

3 . 3

解:DC ? AC ?

2 ,作 DE ? 平面 ABC ,垂足为 E ,连 CE ,AE ,由三垂线逆定理,
1 1 2 DC ? 1 , VABCD ? DE ? S ABC ? , 3 6 2

EC ? BC ,所以 ?DCE ? 450 ,故 CE ? DE ?

又因 ABCE 为正方形, AE ? 1 ,则 AD ? 2 ,因此正三角形 ACD 的面积为

3 ,设 2

1 1 3 B 到平面 ACD 的距离为 h ,由 h ? S ACD ? ,得 h ? 3 6 3
5、答案: y ? 2 x ? 5x ? 3 .
2 2 解:由条件得 y ? 6 ? a ( x ? 3)( x ? ) ,于是二次函数 y ? ax ? bx ? c 又可表为

1 2

3

y ? ax 2 ?

5a 3a 5 1 6 3 x ? ? 6 ,设其两根为 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? ? , 2 2 2 2 a 2

据 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ,得 a ? 2 ,代入得 y ? 2 x2 ? 5x ? 3 . 6、答案: [ ?

1 1 , ]. 4 4
1 1 x 1 ? x2 ? ,令 x ? tan ? ,则 f ? sin 2? ? cos 2? ? sin 4? ,由此, 2 2 2 4 1? x 1? x

解: f ( x) ?

?

1 1 ? ? ? f ? ,当 x ? ? tan , tan 时两边分别取得等号. 4 4 8 8 1 7、答案: ? . 2
解: 原式 ? ? cos

? ?

?
15

? cos

7? ? ? 2? 4? ? 4? ? ? ? ? cos cos ? 2cos cos ? ? ? cos ? ? 2cos 15 ? ? 15 15 ? 15 5 15 5

? 2cos

??

? ? 1 4? ? ? ? ? ? ? ?2 cos sin ? ? . ? cos ? ? ?4cos sin sin ? cos 5 10 2 5? 15 15 ? 5 6 10
0 0

0 0 0 0 0 0 (注:由 sin 72 ? 2sin 36 cos36 ? 4sin18 cos18 cos36 ,则 sin18 cos 36 ?

即 cos

1 ? . ) 5 10 4 8、答案: 18000 . sin
解:设这九数为 a ? 4, a ? 3, a ? 2, a ? 1, a, a ? 1, a ? 2, a ? 3, a ? 4 ,则有, 5a ? m ,
2

?

?

1 , 4

4a ? n3 , S ? 9a ,则 a ?

m2 n2 ? ,得 4m2 ? 5n3 ???① 5 4

2 3 2 3 令 n ? 2n1 , m ? 5m1 ,得 100m1 ,所以 5m1 ,再取 m1 ? 2m2 , n1 ? 5n2 , ? 2n1 ? 40n1 2 2 化为 2m2 ,取 m2 ? 10, n2 ? 2 ,可使左式成立,这时 n ? 20, m ? 100 ,a ? 2000 , ? 52 n2

S ? 9a ? 18000 .
二、解答题 9 、 解 : 如 图 , 易 求 得 曲 线 上 诸 点 的 坐 标 为 :

Y

A

E(?
2

2 , 0F) ,

(

2 D, , 0 ) ,

( 0, 1)
E

D

M F X

o

当 x ? 2 ,即 ? 2 ? x ?

2 时,曲线方程为 y ? 1 ?
x2 ? 1 ??②, 2

x ??①; 2

2

而当 x ? 2 时,曲线方程为 y ?
2

4

对于情形①, 即? 2 ? x ?

显然当 M 位于顶点 D 处时, 距离 AM 取得最小值 a ? 1 ; 2 时,

对于情形②,即在 x ? ? 2 或 x ?

2 时,设点 M ( x,

x2 ? 1) ,由于 2

AM ? x 2 ? (
于是,当 x ?

2

x2 1 ? 1 ? a)2 ? ( x 2 ? 2a)2 ? 2a ? 1,因 a ? 1 ,则 2a ? 2 , 2a ? 2 , 2 4

2a 时, AM 取得最小值 2a ? 1 ;再比较 AD 与 AM :
2 2

令 f (a ) ? AD ? AM

? (a ? 1) 2 ? (2a ? 1) ? a(a ? 4) ,

则当 1 ? a ? 4 时, f (a) ? 0 , AD ? AM ,即最小值为 AD ? a ?1; 而当 a ? 4 时, f (a) ? 0 ,则最小值 AM ? 10、解: (1)由

2a ? 1 .

a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )

1 4 a1 ? an a2 ? an?1 2a ? 1 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 an ? n ?1 . 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 ) an ?1 ? 2
所以

1 ? an 1 1 ? an?1 1 ? an ? ? , 故数列 { } 为等比数列,从而 1 ? an 3 1 ? an?1 1 ? an

1 ? an 1 3n ? 1 3n ? 1 满足题设条件. ? , 即 an ? n . 可验证, an ? n 3 ?1 3 ?1 1 ? an 3n
(2) 由 题 设

am ? an 的 值 仅 与 m ? n 有 关 , 记 为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )
a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

考察函数 f ( x) ?

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?

5

故对 n ? N , bn?1 ? g (a) 恒成立.
*

又 b2 n ?

2an ? g (a ) , (1 ? an ) 2
1 ,解上式得 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a)
取? ?

1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) ,即有 g ( a)

1

?

? an ? ?. .

11、解:由于 P(n), P(n ? 3) 都是正整数,则据条件, P (n) 是 3 的倍数,因此 n 与 n ? 3 都 是 3 的倍数,设 n ? abc ,且数 n 加 3 后必须产生进位,则 c ? 7 , (因为,如果 c ? 6 ,则 数 n 加 3 后不会产生进位,于是 P(n ? 3) ? P(n) ? 3 ? P(n) ,矛盾) ; 并且 b 不能是 9 , (这是因为,若 b ? 9 ,则当 a ? 9 时, n ? 99c ,数 n 加 3 后成为 100c1 ,

1 c1 ??0,1,2? ,这时 P (n ? 3) ? P (n) ,当 a ? 9 时, n ? a9c ,若 n ? 3 ? a1b1c1 ,则 3

a1 ? a ? 1, b1 ? 0, c1 ? c ? 3 ?10 ,由 3P(n ? 3) ? P(n) ,得

3?(a ?1) ? 0 ? (c ? 3 ?10)? ? a ? 9 ? c ,即 2(a ? c) ? 27 ,矛盾!所以 b ? 9 ;
今由 3?a ? (b ? 1) ? (c ? 3 ? 10)? ? a ? b ? c 得 a ? b ? c ? 9 ,其中 a ? 1, c ? 7, b ? 8 ,依次 考虑 c, a, b 的取值,得到三个数: 117, 207,108 ,验证知,它们皆合题意.

第 二 试(加试)
一、 ?ABC 中, D 是角 A 平分线上的任一点, E , F 分别是 AB, AC 延长线上的点,且

CE ∥ BD , BF ∥ CD ;若 M , N 分别是 CE, BF 的中点;
证明: AD ? MN . 证:如图,延长 BD, CD ,分别与 AC , AB 交于
G B

A H D K

C

H , G ,注意 ?DBG, ?DCH 关于顶点 D 的等高性及等角性,由
E

N M P F

6

面积比定理,

BG ?DBG DB ? DG , (记号 ? 表示面积) ,所以 ? ? CH ?DCH DC ? DH

BG ? DC ? DH ? CH ? DB ? DG ?? ① GB GD HC HD ? ? 又由 CE ∥ BD , BF ∥ CD ,得 , ,所以 BE DC CF DB BE BG ? DC ? DH BE ? ? 1 ,即 BE ? CF ??③. ??②,由①、②得 CF CH ? DB ? DG CF 1 1 取 BC 的中点 K ,据中位线知, MK ∥ BE , MK ? BE , NK ∥ CF , NK ? CF . 2 2 由③, KM ? KN ,作角分线 KP ,则 KP ? MN ,因 MK ∥ AB , NK ∥ AC ,所以其 角分线 AD ∥ KP ,因 KP ? MN ,得 AD ? MN . 二、在锐角三角形 ABC 中,证明:

sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? sin ? C ? A? sin ? C ? B ? ? ? ?0. sin 2 A sin 2 B sin 2C
证:由于

sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin A cos B sin ? A ? C ? ? sin B cos A sin ? A ? C ? ? sin 2 A 2sin A cos A

?
?

cos B ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ? ? 2cos A 2sin A
cos B cos C sin A cos B sin C sin B cos C sin B sin C cos A ? ? ? 2 cos A 2 2 2sin A

? ?

cos B cos C sin A sin ? B ? C ? sin B sin C cos A ? ? 2cos A 2 2sin A
cos B cos C sin A sin A sin B sin C cos A ? ? ;同理有 2 cos A 2 2sin A

sin ? B ? A? sin ? B ? C ? cos C cos A sin B sin B sin C sin A cos B ? ? ; ? 2 cos B 2 2sin B sin 2 B sin ? C ? A? sin ? C ? B ? cos A cos B sin C sin C sin A sin B cos C ? ? .因此所证不等式 ? 2 cos C 2 2sin C sin 2C
化为: (

sin A sin B cos C cos A cos B sin C sin B sin C cos A cos B cos C sin A ? )?( ? ) sin C cos C sin A cos A sin C sin A cos B cos C cos A sin B ?( ? ) ? sin A ? sin B ? sin C ??○ 1. sin B cos B

? 令 x ? cot A, y ? cot B, z ? cot C ,则 x, y, z ? R , xy ? yz ? zx ? 1,而

sin A sin B cos C cos A cos B sin C 1 1 x y 1 ? ? ? ?z? ? ? 2 2 2 2 sin C cos C 1? x 1? y 1? x 1? y z

7

?

z 2 ? xy z

?1 ? x ??1 ? y ?
2 2

,同理

sin B sin C cos A cos B cos C sin A x 2 ? yz ? , ? sin A cos A x 1? y2 1? z2

?

??

?

sin C sin A cos B cos C cos A sin B ? ? sin B cos B y

y 2 ? zx

?1 ? z ??1 ? x ?
2 2

.于是只要证

x 2 ? yz x ?1 ? y 2 ??1 ? z 2 ?

?

y 2 ? zx y ?1 ? z 2 ??1 ? x 2 ?

?

z 2 ? xy z

?1 ? x ??1 ? y ?
2 2

?

1 1? x
2

?

1 1? y
2

?

1 1? z
2

??○ 2 .注意 1 ? x2 ? xy ? yz ? zx ? x2 ? ? x ? y ?? x ? z ? ;

1? y2 ? xy ? yz ? zx ? y2 ? ? x ? y ?? y ? z ? , 1 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ? z 2 ? ? x ? z ?? y ? z ? ;
2 化为 ○

x2 ? yz y 2 ? zx z 2 ? xy 3 ? ? ? x ? y ? y ? z ? z ? x ??○ x y?z y z?x z x? y

此式关于 x, y, z 对称,故可设, x ? y ? z ,由于

x 2 ? x ? y ? z ? ? yz ? x ? y ?? x ? z ? x 2 ? yz ; ? y?z ? ? x y?z x y?z x y?z

? y ? z ?? y ? x ? ; z 2 ? xy ? x ? y ? ? z ? x ?? z ? y ? . y 2 ? zx ? z?x ? y z?x y z?x z x? y z x? y
即要证,

? x ? y ?? x ? z ? ? ? y ? z ?? y ? x ? ? ? z ? x ?? z ? y ? ? 0
x y?z
y z?x

z x? y

?? ○ 4

因为

? x ? y ?? x ? z ? ? 0 , ? y ? z ?? y ? x ? ? ? z ? x ?? z ? y ?
x y?z
y z?x

z x? y

? ? y ? z?(

x?z x? y x?z x? y ) ? ? y ? z?( ) ? 0 ,故○ 4 成立, ? ? z x? y y z?x z ? xyz y ? xyz

因此结论得证.
0 0 0 0 证二:据对称性,不妨设 A ? B ? C ,则 60 ? A ? 90 , B ? C ? 90 , 45 ? B ? A ,所以

sin 2 A ? sin ?1800 ? 2 A ? ? sin ?1800 ? 2 B ? ? sin 2 B ,

sin ? A ? B ? sin ? B ? C ? sin ? A ? B ? sin ? B ? C ? ? ,则 sin 2 A sin 2 B sin ? B ? A? sin ? B ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? ? ,于是 sin 2 B sin 2 A
8

sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? ? sin 2 A sin 2 B ? sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? sin ? C ? A? sin ? C ? B ? ? ? 0 ;因 ?0, sin 2 A sin 2 A sin 2C sin ? A ? B ? sin ? A ? C ? sin ? B ? A? sin ? B ? C ? sin ? C ? A? sin ? C ? B ? ? ? ?0. sin 2 A sin 2 B sin 2C
n n 满足: mn ? 2011, m, n 为正整数,则称 为“兔分数” ;现将所 m m

所以

三、如果既约分数

有“兔分数”按递增顺序排成一个数列

n1 n2 n3 , , , m1 m2 m3

,称为“兔数列” ;

证明:对于兔数列中的任两个相邻项

nk nk ?1 ,都满足: mk nk ?1 ? mk ?1nk ? 1 . , mk mk ?1

证:对任一正整数 n ,将兔数列中分母不大于 n 的子数列记为 Tn ,当 n ? 1 , 数列 T1 ? ? , , ,

?1 2 3 ?1 1 1

,

2011 ? ? 显然满足条件; 1 ?

对 n 归纳:据数列 T1 知, n ? 2 时结论成立,设结论对于 n ? k 成立,考虑数列 Tk , 注意 Tk ?1 ? Tk ,而 Tk \ Tk ?1 中的分数 设

a 满足,分母 b ? k , ? a, b ? ? 1; b

a c ?a c ? , , ? ? , bc ? ad ? 1? 是 Tk ?1 中的一对相邻分数,如果它们在 Tk 中也相邻, b d ?b d ?

则显然满足条件;如果它们在 Tk 中不相邻,即有 Tk \ Tk ?1 中的分数

m 插入它们之间,其中 k a m c a c mk ? 2011 , ? m, k ? ? 1 . ? ? , (插入的分数中总有一个与 或 相邻,不妨设 b k d b d m c 1 ? c m? ?m a? 1 1 b?d 与 相邻) ,于是 ??①, ? ? ? ??? ? ? ? ? ? k d bd ? d k ? ? k b ? dk bk bdk

所以 k ? b ? d ??②, 又 易 知 ,分 数

a?c a c a?c a 1 ? ? ?0, 也介于 , 之间, ( 这 是由 于, b?d b d b ? d b b ?b ? d ?

c a?c 1 ? ? ?0) , 注意 b ? a ? c ? ? a ?b ? d ? ? bc ? ad ? 1 , 可知 a ? c 与 b ? d 互 d b ? d d ?b ? d ?

9

质,即

a?c 为既约分数. b?d

如果 ? a ? c ??b ? d ? ? 2011,注意 2011 ? mk 及 k ? b ? d ,相乘得 a ? c ? m ,

m ? Tk , b?d m m a?c c m c ? ? ,且 , 在 Tk 中相邻,所以 k ? b ? d ,且①中成立等号, 因 ? k b?d b?d d k d c m 1 c a?c c a?c ? ? ? ? 则 ? ? ,得 a ? c ? m ,这与 a ? c ? m 矛盾, d k dk d b ? d d k a?c ? Tk \ Tk ?1 , 则 b ? d ? k ??③, 因此, ? a ? c ??b ? d ? ? 2011;如果分数 b?d a a?c c , 是 Tk 中的相邻项,则对于前一对分数而言,有 如果 , b b?d d
而由 m ?b ? d ? ? mk ? 2011 ,得

b ? a ? c ? ? a ?b ? d ? ? bc ? ad ? 1 ;而对于后一对分数而言,有
a?c 后的分数列合于条件; b?d c m 1 m a 1 又由③知,①式成立等号,于是有 ? ? 以及 ? ? ,而由 d k dk k b bk

c ?b ? d ? ? d ? a ? c ? ? bc ? ad ? 1 ;因此插入

c m 1 1 c a?c c a?c ,所以 a ? c ? m ;??④ ? ? ? ? ? ? ? d k dk d ? b ? d ? d b ? d d k
因此得

m a?c a?c a c ? ;并且 是 Tk 中能够插入 Tk ?1 中的一对相邻分数 , 之间的唯一 k b?d b?d b d

分数,即是说,在由数列 Tk ?1 过度到数列 Tk 时,不论相邻分数间是否插入了新的分数,所 得数列 Tk 都满足条件,因此对于每个正整数 n ,结论成立.特别是数列 T2011 满足条件,故 本题得证. 四、从圆周的九等分点中,任取五点染为红色;证明:存在以红点为顶点的不同的六个 三角形 ?1 , ?2 ,

, ?6 ,满足: ?1 ≌ ? 2 ; ?3 ≌ ? 4 ; ?5 ≌ ?6 .

DB , C 为底的等腰梯形 ABCD 中, 证: 注意如下事实:?1? 、 以A 存在两对全等三角形:
?ABC ≌ ?DCB ; ?BAD ≌ ?CDA .
并且梯形的每个顶点都在其中一对全等三角形中两次出现. 若 M 是等腰梯形 ABCD 两底 AD, BC 中垂线上的任一点, 则 ?MAB ≌ ?MCD . ? 2? 、 (一) 、先证明,五个红点中,必有某四点构成等腰梯形的四个顶点: 不妨设,圆周上九等分点相邻两个分点间的弧长为 1 .一条弦,如果其所对的劣弧长为

k ,则称该弦的“刻度”为 k ,于是,以分点为端点的弦的刻度只有 1, 2,3, 4 四种情况,显
然,两弦相等当且仅当其刻度相等;五个红点,共得 C5 ? 10 条红端点的弦,其中必有三条
2

10

弦具有相同的刻度,由于对每个 k ,同一点只能发出两条刻度为 k 的弦.注意到以九等分点 为端点的任一条弦不为直径,因此,若两条等弦无公共端点,则其四个端点便构成等腰梯形 的四个顶点; 若这三条等弦不围成三角形, 则其中有两条等弦无公共端点, 于是其四个端点构成等腰 梯形的四个顶点; 若这三条等弦围成三角形,则是正三角形,于是这三弦的刻度皆为 3 .若还有刻度为 3 的弦 l ,则该弦与正三角形的每条边无公共端点,这时弦 l 与正三角形的每一条边所形成的 四个端点都构成等腰梯形的四个顶点;若除了正三角形的边之外,再无刻度为 3 的弦,去掉 这三条弦,剩下的 7 条弦,只有 1, 2, 4 这三种刻度,其中必有三条弦具有相同的刻度,这三 条等弦不可能围成三角形, 因此其中有两条等弦无公共端点, 于是其四个端点便构成等腰梯 形的四个顶点; (二) 、由于弦的刻度只有 1, 2,3, 4 四种情况,故等腰梯形上下两底的“刻度对”只有

?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ? 2,3? , ? 2,4? , ?3,4? 这六种可能,顺次如以下六图所示.
M
M A D

M
Q

Q
P

A

Q

D P B C

A
P B C

D B C

M A D

M A
Q

M
D C Q P

Q A D C P

B

B P

C

B

(以下用梯形两底的“刻度对”表示相应的梯形图) . 据 ?1? 知,每个等腰梯形中都存在两对全等三角形; 再考虑第五个红点,若该红点为两底中垂线上的点 M ,据 ? 2 ? 知,存在另一对全等三 角形: ?MAB ≌ ?MDC ; 若该红点异于点 M ,据图形的对称性,只需考虑红点为 P 或 Q 的情况;我们来证明, 无论增加红点 P 或 Q ,图形中都将新增一个等腰梯形. 若增加红点 P , 则在图 ?1, 2 ? 中, 增加了梯形 PBAD ; 在图 ?1,3? 中, 增加了梯形 PDCB ; 在图 ?1, 4 ? 中,增加了梯形 PCBD ;在图 ? 2,3? 中,增加了梯形 PBAD ;在图 ? 2, 4 ? 中,增
11

加了梯形 PADC ;在图 ? 3, 4 ? 中,增加了梯形 PBAC ; 若增加红点 Q ,则在图 ?1, 2? 中,增加了梯形 QDBC ;在图 ?1, 3? 中,增加了梯形 在图 ?1, 4 ? 中, 增加了梯形 QBCD ; 在图 ? 2,3? 中, 增加了梯形 QABC ; 在图 ? 2, 4 ? QADC ; 中,增加了梯形 QCAB ;在图 ? 3, 4 ? 中,增加了梯形 QABD ; 而据 ?1? ,新增红点必在新增梯形的一对全等三角形中两次出现.也就是增加了一对新 的全等三角形. 因此, 给出的五个红点中, 存在六个以红点为顶点的三角形, 它们可配成全等的三对. 故 本题得证.

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