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吉林省实验中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


吉林省实验中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上) 1.已知数列{an}的通项公式 an=n ﹣2n﹣8(n∈N ) ,则 a4 等于() A.1 B. 2 C. 0 D.3
2 *

2.在△ ABC 中,设 A.30°

= , B.60°

= ,且| |=2,| |=3, C.120°

,则∠C 的大小为() D.150°

3.把球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,那么体积扩大为原来的() A.2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.3 4.已知 a,b 为非零实数且 a<b,则下列命题成立的是() A.ab >a b
2 2

B.



C.

D.a <b

2

2

5.对于直线 m,n 和平面 α,β,γ,有如下四个命题: (1)若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α (2)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α (3)若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ (4)若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

7.在数列{an}中,已知 a=1,an+1=2an+1,则其通项公式为 an=() n n﹣1 A.2 ﹣1 B.2 ﹣1 C.2n﹣1 D.2(n﹣1) 8.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= 的面积为() A.2 +2 ,C= ,则△ ABC

B.

C. 2

﹣2

D.

﹣1

9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的余弦值为()

A.

B.
2

C.

D.

10.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2 =a1a4,若 a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列, 则 kn=() n+2 n+1 n A.nd B. 3 C. 3 D.3 11.设正数 x,y 满足 log2(x+y+3)=log2x+log2y,则 x+y 的取值范围是() A.(0,6] B.[6,+∞) C.[1+ ,+∞) D.(0,1+

]

12.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,若二面角 C﹣AB﹣C1 的大小为 60°,则 点 C 到平面 C1AB 的距离为()

A.

B.

C.

D.1

二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应的横 线上. ) n 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 ,则数列{an}的通项公式为.

14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:以上结论中正确结论 的序号为. (写出所有符合要求的图形序号) ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD.

15.要制作一个容器为 4m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是(单位:元) 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线段 AB,BD1(不包括 端点)上的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1,则四面体 P1P2AB1 的体积的最大值是.

3

三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17.已知不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>2 或 x<1} (1)求 b 和 c 的值; (2)求不等式 cx +bx+1≤0 的解集.
2 2

18.△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 =(a, sinB)平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a= ,b=2,求△ ABC 的面积.

b)与 =(cosA,

19. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB, BP=BC=2, E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S.

20. 如图, 在三棱锥 A﹣BOC 中, OA⊥底面 BOC, ∠OAB=∠OAC=30°, AB=AC=4, BC=2 动点 D 在线段 AB 上. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 OD⊥AB 时,求三棱锥 C﹣OBD 的体积.



21.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD, AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值. (Ⅲ)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 AM 的长. ,求线段

22.数列{an}首项 a1=1,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 (1)求证:数列 是等差数列;



(2)求数列{an}的通项公式; (3) 设存在正数 k, 使 求 k 的最大值. 对一切 n∈N 都成立,
*

吉林省实验中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试 卷(理科)
一、选择题. (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案填涂在答题卡上) 2 * 1.已知数列{an}的通项公式 an=n ﹣2n﹣8(n∈N ) ,则 a4 等于() A.1 B. 2 C. 0 D.3 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的通项公式直接令 n=4 即可. 2 * 解答: 解:∵an=n ﹣2n﹣8(n∈N ) , 2 ∴a4=4 ﹣2×4﹣8=16﹣8﹣8=0, 故选:C 点评: 本题主要考查数列通项公式的应用,比较基础.

2.在△ ABC 中,设 A.30°

= , B.60°

= ,且| |=2,| |=3, C.120°

,则∠C 的大小为() D.150°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 解答: 解:由 =| |?| |?cos∠C=2×3×cos∠C,求得 cosC 的值,即可求得 C 的值. =| |?| |?cos∠C=2×3×cos∠C=3,

解得 cosC= ,∴C=60°, 故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于中档题. 3.把球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,那么体积扩大为原来的() A.2 倍 B. 2 倍 C. 倍 D.3 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 直接应用公式化简可得球的半径扩大的倍数,然后求出体积扩大的倍数. 解答: 解:解:设原球的半径 R, ∵球的大圆的面积扩大为原来的 2 倍, 则半径扩大为原来的 倍, ∴体积扩大为原来的 2 倍.

故选 B. 点评: 本题考查球的表面积、体积和球的半径的关系,是基础题. 4.已知 a,b 为非零实数且 a<b,则下列命题成立的是() A.ab >a b
2 2

B.



C.

D.a <b

2

2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型. 分析: 根据不等式的性质,分别进行判断即可.A,C,D 利用特殊值法进行排除,B 用 作差法进行判断, 解答: 解:A,当 a=﹣1,b=1 时 ab =﹣1,a b=1,所以 A 错误. B. ,因为 a<b,所以 a﹣b<0,即 < 成立
2 2

C.当 a=﹣1,b=1 时,
2 2

,所以 C 错误.

D.当 a=﹣1,b=1 时,b =a =1,所以 D 错误 故选 B. 点评: 本题主要考查不等式的性质和应用, 利用特殊值法是判断不等式是否成立的最常见 的方法,要求熟练掌握. 5.对于直线 m,n 和平面 α,β,γ,有如下四个命题: (1)若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α (2)若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α (3)若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ (4)若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

考点: 命题的真假判断与应用; 空间中直线与平面之间的位置关系; 平面与平面之间的位 置关系. 分析: (1) (2) (3) ?n⊥α 或 n?α,举出反例即可;

?n∥α 或 n?α,举出反例即可; ?α∥γ 或 α∩γ,举出反例即可;

(4)面面垂直的判定定理:



解答: 解: (1)由 m∥α,m⊥n,不一定推出 n⊥α.反例如图:

(2)由 m⊥α,m⊥n,不一定推出 n∥α.反例如图:

(3)由 α⊥β,γ⊥β,不一定得到 α∥γ.反例:正方体相邻的三面. (4)由于 m⊥α,m∥n,则 n⊥α, 又 n?β,则 α⊥β. (面面垂直的判定定理) 故答案选 A. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,考查了空间中的平行与垂直的关系,我们可 以根据定义定理,对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 6.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直, 则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的, 根据所提供的 数据可求出正方体、锥体的体积,从而得到答案. 解答: 解: 由三视图知原几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一四棱锥得到的, 该四棱锥 的底为正方体的上底,高为 1, 如图所示: 所以该几何体的体积为 2 ﹣ ×2 ×1= 故选 A.
3 2



点评: 本题考查三视图,考查柱体、锥体的体积计算,解决该类问题的关键是由三视图还 原得到原几何体,画三视图的要求为:“长对正,高平齐,宽相等”. 7.在数列{an}中,已知 a=1,an+1=2an+1,则其通项公式为 an=() n n﹣1 A.2 ﹣1 B.2 ﹣1 C.2n﹣1 D.2(n﹣1) 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1) ,进而计算可得结论. 解答: 解:∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1) , 又∵a1=1,a1+1=1+1=2, n﹣1 n ∴an+1=2?2 =2 , n ∴an=2 ﹣1, 故选:A. 点评: 本题考查数列的通项, 对表达式的灵活变形是解决本题的关键, 注意解题方法的积 累,属于中档题. 8.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= 的面积为() A.2 +2 ,则△ ABC

,C=

B.

C. 2

﹣2

D.

﹣1

考点: 正弦定理;三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 由 sinB,sinC 及 b 的值,利用正弦定理求出 c 的值,再求出 A 的度数,由 b,c 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:∵b=2,B= ,C= ,

∴由正弦定理

=

得:c=

=

=2

,A=



∴sinA=sin(

+

)=cos

= ×

, = +1.

则 S△ ABC= bcsinA= ×2×2

故选 B 点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练 掌握正弦定理是解本题的关键. 9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角的余弦值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 A1C1 交 B1D1 于点 O,连接 BO,在长方体中由 AB=BC=2,可得 CO1⊥B1D1, 由长方体的性质可证有 OC1⊥BB1,且 由直线与平面垂直的判定定理可得 OC1⊥平面 BB1D1D, 则∠C1BO 为则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 在 Rt△ BOC1 中,可求 解答: 解:连接 A1C1 交 B1D1 于点 O,连接 BO 由 AB=BC=2,可得 A1B1C1D1 为正方形即 CO1⊥B1D1 由长方体的性质可知 BB1⊥面 A1B1C1D1,从而有 OC1⊥BB1,且 BB1∩B1D1=B1 ∴OC1⊥平面 BB1D1D 则∠C1BO 为则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 在 Rt△ BOC1 中,

∴ 故选 C.

点评: 本题以长方体为基本模型, 考查了直线与平面所成角的秋季解, 解决本题的关键是 熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线,进而找出线面角,然后在直角三角形中求解角. 10.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a2 =a1a4,若 a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列, 则 kn=() n+2 n+1 n A.nd B. 3 C. 3 D.3 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知 a2 =a1a4 我们可构造一个关于数列基本量(首项与公差)的方程,解方程可 以找到首项与公差的关系,又由 a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,则我们可以得 到该数列的公比,进而给出该数列的通项公式,进一步给出数列{kn}的通项 kn. 2 解答: 解:∵a2 =a1a4 2 即(a1+d) =a1(a1+3d) 又 d≠0,∴a1=d 又 a1,a3,ak1,ak2,akn,成等比数列, ∴该数列的公比为 q= 所以 akn=a1?3n+1 又 akn=a1+(kn﹣1)d=kna1 ∴kn=3 故选:C 点评: 在求一个数列的通项公式时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则 可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列 的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间 接求其通项公式. 11.设正数 x,y 满足 log2(x+y+3)=log2x+log2y,则 x+y 的取值范围是() A.(0,6] B.[6,+∞) C.[1+ ,+∞) D.(0,1+
n+1 2 2

=3,

]

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由正数 x, y 满足 log2 (x+y+3) =log2x+log2y, 利用对数的运算性质可得 x+y+3=xy, 利用基本不等式可得 ,即 x+y+3 .当且仅当 x=y>0 时取等

号.利用一元二次不等式的解法解出即可. 解答: 解:由正数 x,y 满足 log2(x+y+3)=log2x+log2y,∴x+y+3=xy, 而 ,则 x+y+3
2

.当且仅当 x=y>0 时取等号.

令 x+y=t,则

化为 t ﹣4t﹣12≥0,解得 t≥6 或 t≤﹣2.

∵t>0,∴取 t≥6. 故选 B. 点评: 熟练掌握对数的运算性质、 基本不等式的性质、 一元二次不等式的解法是解题的关 键. 12.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,若二面角 C﹣AB﹣C1 的大小为 60°,则 点 C 到平面 C1AB 的距离为()

A.

B.

C.

D.1

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题. 分析: 设点 C 到平面 C1AB 的距离为 h, 根据等体积法 VC﹣ABC=VC1﹣ABC, 建立等量关系, 求出 h 即可. 解答: 解:点 C 到平面 C1AB 的距离为 h. ∵S△ ABC= ,S△ ABC1= ,

∵VC﹣ABC=VC1﹣ABC, 即 S△ ABC?C1C= S△ ABC1?h, ∴h= . 故选 A.

点评: 本题主要考查了点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力、运算能力和推理论 证能力,属于基础题. 二、填空题. (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应的横 线上. ) 13. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2 , 则数列{an}的通项公式为
n



考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 当 n=1 时,直接由前 n 项和求首项,当 n 大于等于 2 时,由 an=Sn﹣Sn﹣1 求解. n 解答: 解:由 Sn=3+2 , 当 n=1 时,a1=S1=5. 当 n≥2 时, .

所以



故答案为



点评: 本题考查了数列的概念及简单表示法,考查了由前 n 项和求通项,注意分类讨论, 是基础题. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:以上结论中正确结论 的序号为①③. (写出所有符合要求的图形序号) ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD.

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,再根据所给结论进行逐一判定即 可. 解答: 解:把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示, 则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面,即①③正确

直线 AB∥CM,MN⊥CD,即②④错误 只有①③正确. 故答案为①③

点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角, 直线与直线的位置关系, 考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 15.要制作一个容器为 4m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 160(单位:元) 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 此题首先需要由实际问题向数学问题转化,设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y, 建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 解答: 解:设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y, 则∵长方形容器的容器为 4m ,高为 1m, 故底面面积 S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80, ∵a+b≥2 =4, 故当 a=b=2 时,y 取最小值 160, 即该容器的最低总造价是 160 元, 故答案为:160 点评: 本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题. 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线段 AB,BD1(不包括 端点) 上的动点, 且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1, 则四面体 P1P2AB1 的体积的最大值是 .
3 3

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可得△ P1P2B∽△AD1B,设出 P1B=x,则 P1P2= x,P2 到平面 AA1B1B 的 距离为 x,求出四面体的体积,通过二次函数的最值,求出四面体的体积的最大值. 解答: 解:由题意在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线段 AB, BD1(不包括端点)上的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1,△ P1P2B∽△AD1B, 设 P1B=x,x∈(0,1) , 则 P1P2= x,P2 到平面 AA1B1B 的距离为 x, 所以四面体 P1P2AB1 的体积为 V= × ×1×x×(1﹣x)= (x﹣x ) , 当 x= 时,体积取得最大值: .
2

故答案是:



点评: 本题考查正方体中, 几何体的体积的求法, 找出所求四面体的底面面积和高是解题 的关键,考查计算能力. 三、解答题. (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17.已知不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>2 或 x<1} (1)求 b 和 c 的值; 2 (2)求不等式 cx +bx+1≤0 的解集. 考点: 一元二次不等式与一元二次方程;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系,判断出 1,2 是相应方 程的两个根,利用韦达定理求出 b,c 的值 (2)将 b,c 的值代入不等式,将不等式因式分解,求出二次不等式的解集. 解答: 解: (1)∵不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>2 或 x<1} 2 ∴1,2 是方程不等式 x +bx+c=0 的两个根 由根与系数的关系得到 b=﹣(1+2)=﹣3; c=1×2=2 (2)cx +bx+1≤0?2x ﹣3x+1≤0?(2x﹣1) (x﹣1)≤0? 所以 cx +bx+1≤0 的解集为 点评: 解决一元二次不等式解集问题, 要注意它的解集与相应的一元二次方程的根有着密 切的联系.
2 2 2 2 2

18.△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 =(a, sinB)平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a= ,b=2,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 解三角形.

b)与 =(cosA,

分析: (Ⅰ)利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解 A; (Ⅱ)利用 A,以及 a= ,b=2,通过余弦定理求出 c,然后求解△ ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)因为向量 =(a, 所以 asinB﹣ 所以 tanA= (Ⅱ)a= b)与 =(cosA,sinB)平行, sinBcosA=0,因为 sinB≠0,

=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣ ,可得 A= ;
2 2 2

,b=2,由余弦定理可得:a =b +c ﹣2bccosA,可得 7=4+c ﹣2c,解得 c=3, = .

2

△ ABC 的面积为:

点评: 本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力. 19. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP=AB, BP=BC=2, E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)要证明:EF∥平面 PAD,只需证明 EF∥AD 即可; (Ⅱ)计算各侧面的面积,即可求出四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S. 解答: (Ⅰ)证明:在△ PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (Ⅱ)解:由题意,AP=AB= ,PD= , ∴四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S= + + + + =3 + +3

点评: 本题考查四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S,考查直线与平面平行的判定,是中档题. 20. 如图, 在三棱锥 A﹣BOC 中, OA⊥底面 BOC, ∠OAB=∠OAC=30°, AB=AC=4, BC=2 动点 D 在线段 AB 上. (1)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (2)当 OD⊥AB 时,求三棱锥 C﹣OBD 的体积. ,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)欲证平面 COD⊥平面 AOB,根据面面垂直的判定定理可知在平面 COD 内一 直线与平面 AOB 垂直,根据勾股定理可知 OC⊥OB,根据线面垂直的判定定理可知 OC⊥ 平面 AOB,而 OC?平面 COD,满足定理所需条件; (2)OD⊥AB,OD= ,此时,BD=1.根据三棱锥的体积公式求出所求即可. 解答: (1)证明:∵AO⊥底面 BOC,∴AO⊥OC,AO⊥OB. ∵∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,∴OC=OB=2. ∵BC=2 ,由勾股定理得 OC⊥OB, ∴OC⊥平面 AOB. ∵OC?平面 COD,∴平面 COD⊥平面 AOB. (2)解:∵OD⊥AB,∴OD= ,此时,BD=1. ∴VC﹣OBD= = .

点评: 本题主要考查平面与平面垂直的判定,以及三棱锥 C﹣OBD 的体积的求解,同时 考查了空间想象能力,计算能力和推理能力,属于中档题. 21.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD, AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ)求二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值. (Ⅲ)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 AM 的长. ,求线段

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何. 分析: (Ⅰ)由题意可知,AD,AB,AA1 两两互相垂直,以 a 为坐标原点建立空间直角 坐标系,标出点的坐标后,求出 和 ,由 得到 B1C1⊥CE;

(Ⅱ)求出平面 B1CE 和平面 CEC1 的一个法向量,先求出两法向量所成角的余弦值,利用 同角三角函数基本关系求出其正弦值,则二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值可求; (Ⅲ)利用共线向量基本定理把 M 的坐标用 E 和 C1 的坐标及待求系数 λ 表示,求出平面 ADD1A1 的一个法向量, 利用向量求线面角的公式求出直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正 弦值,代入 求出 λ 的值,则线段 AM 的长可求.

解答: (Ⅰ)证明:以点 A 为原点建立空间直角坐标系,如图, 依题意得 A(0,0,0) ,B(0,0,2) ,C(1,0,1) ,B1(0,2,2) ,C1(1,2,1) ,E (0,1,0) . 则 而 所以 B1C1⊥CE; (Ⅱ)解: 设平面 B1CE 的法向量为 , , , =0.



,即

,取 z=1,得 x=﹣3,y=﹣2.

所以



由(Ⅰ)知 B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,所以 B1C1⊥平面 CEC1, 故 为平面 CEC1 的一个法向量,

于是

=



从而

= .

=



所以二面角 B1﹣CE﹣C1 的正弦值为 (Ⅲ)解: 设 有

, 0≤λ≤1, .



为平面 ADD1A1 的一个法向量,

设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角, 则 =

=



于是



解得

.所以 .



所以线段 AM 的长为

点评: 本题考查了直线与平面垂直的性质, 考查了线面角和二面角的求法, 运用了空间向 量法, 运用此法的关键是建立正确的空间坐标系, 再就是理解并掌握利用向量求线面角及面 面角的正弦值和余弦值公式,是中档题.

22.数列{an}首项 a1=1,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 (1)求证:数列 是等差数列;



(2)求数列{an}的通项公式; (3) 设存在正数 k, 使 求 k 的最大值. 考点: 数列与不等式的综合;等差关系的确定;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: (1)由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可. (2)由(1)先求出 Sn,进而可求求数列{an}的通项公式; * (3)先构造函数 F(n)判断其单调性,然后再由 F(n)在 n∈N 上递增,要使 F(n)≥k 恒成立,只需[F(n)]min≥k,即可得到结论. 对一切 n∈N 都成立,
*

解答: (1)证明:∵n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 ∴Sn﹣Sn﹣1= ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1 ∴ ∴数列{ |是以 (n≥2) , =1 为首项,以 2 为公差的等差数列. =1+(n﹣1)×2=2n﹣1, ,

(2)解:由(1)知 ∴Sn= ,

∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣ ∵a1=S1=1, ∴an= .

(3)设 F(n)=





=
*

∴F(n)在 n∈N 上递增,要使 F(n)≥k 恒成立,只需[F(n)]min≥k ∵[F(n)]min=F(1)= ∴0<k≤ ,kmax= . ,

点评: 本题考查等差数列通项与前 n 项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题, (3) 中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力及较高的观察能力.


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