2012年高中数学联赛模拟题

2012 年全国高中联赛考前辅导
一、填空题(每题 8 分，共 64 分）
????2012 ? ????? ? 3 2 1、设F(x)=x +3x +3x,求 F F ? F ? F ? x ? ?? =____

? ?

??

解:F ? x ? = ? x +1? -1,取f=x 3 ,?

-1 =x-1,? =x+1 ? ? ?1 ? f ? ? = ? x-1? ? x3 ? ? x+1?
3

= ? x-1? ? ? x +1? = ? x+1? -1=F (x)
3 3

? F [n ] ? x ? =? ?1 ? f [ n ] ? ? = ? x-1? ? x3 ? ? x +1? = ? x +1? ? 1
n

3n

引申：桥函数法 若F (x)=? ?1 ? f ? ? ? 其中? -1为?的反函数 ? ，则称f 与F 是相似的，?叫做桥函数

由上述定义，显然有F ?

2?

? x ? =F ? F (x)=? -1 ? f ? ? ? ? -1 ? f ? ? ? x ? =? -1 f [2]?
n

一般的：我们有:F[n] ? x ? =? ?1 f ? ? ? ? x ?
例1：设F(x)=x2 +2x,求F [ n] (x).
令F ( x)= ? x+1? ? 1, 取f =x 2 ,? -1 =x-1,? =x+1,则? -1 ? f ? ? = ? x-1? ? x 2 ? ? x+1?
2

= ? x-1? ? ? x+1? = ? x+1? ? 1 ? F ( x)
2 2

? F [ n ] ? x ? =? ?1 ? f [n ] ? ? = ? x-1? ? x 2 ? ? x +1? = ? x +1? -1
n

2n

例2：已知f(x)=
解：因为f ? x ? =

x2 ,求f [n] ? x ?的表达式 2 ? x-1?
x2 2 x2 2 2 2 = = ,取g =x 2 ,? =1 ? ,? ?1 ? 2 2 2 2 ? x-1? ? x ? ? x-2 ? ? x 1? x ? 2? ? ? 1 ? ?1- ? ? x?
2

? ?1 ? g ? ? =

2 ? 2? 2 ? 2? ? x 2 ? ?1- ? = ? ?1 ? ? = 1? x ? x ? 1-x ? x ?
n 2 ? 2? ? x 2 ? ?1 ? ? = 1? x x? ?

2 ? 2? 1 ? ?1 ? ? ? x?
2
2n

2

? f (x)

得f [n] ? x ? =? -1 ? g ? ? ? ? =
n

? 2? 1 ? ?1- ? ? x?

递归法：设f 是定义在D上的函数，a0 ? D,则可定义an =f ? an -1 ?? n ? 1? ,显然有 定理：设f [n] ? x ? =F(x),则必有a n =F (a0 ), 步骤： ? 设a0 =x, an =f [ n ] ? x ? ?1

? 2 ? :由an =f [n] ? x ? =f ? an -1 ? ,求a n =F ? a0 ?

? 3? :f [n ] ? x ? =F ? a0 ? =F (x)
x2 拿例2来看：设f ? x ? = ,求f [n] ? x ? . 2( x-1)

? an -12 2 4 4 2 ? 2 ? 2? 解：设a0 =x,an =f ? x ? =f ? an -1 ? = ?? = 2 ? ,1 ? = ?1 ? ? = ? = ?1 ? ? 2 2an -1 -2 an a n -1 an -1 an ? an -1 ? ? a0 ? 2 2 ? an = ? f [n ] ? x ? = 2n 2n 2? 2? ? ? 1 ? ?1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? x? ? x?
[n ]

2

2n

可以仿照此方法将例题1做完，下面增加几个习题

1、若f (x)=2 x 2 -1,x ? [?1,1], 求f (n ) (x), 桥函数法提示：取? =arccosx,? ?1 ? cos x,g =2 x ? f [n] = cos ?2n arccos x ? ? ? 递归法：利用三角换元
A ? A+c ? ? B ? B ? c ? x +b ? A+c ? ? ? B ? c ? ax +b 2、若F(x)= ,则F [n ] (x)= n n n n x +c ? A+c ? - ? B +c ? x ? B ? A+c ? ? A ? B ? c ?
n n n

?

其中A ?

1 ? a-c ? + 2

?

?

? a-c ?

2

+4b ,B =

?

1 ? a-c ? ? 2

?

? ? ? ?
2

n

? a-c ?

+4b

?
9

?

?

3、设p ? x ? =x2 -2,试证：对任意正整数n,方程p[n] ? x ? =x的根全是相异实根 解答参考命题人讲座55面(一道IMO预选试题）
4、设D= ?1,2,3? , 9? ,f :D ? D是一一映射，试求D的一个排列? xi ? i =1 使得

?x f
i i =1

9

(2520)

? i ?=285
n n ?? ln n

5、设f (x)= sin x,求证： lim

?

n sin[n ] ? x ? ? 3 =

?

?3 3 10

2、求 cot ? 2

2012 0

?

0 ? 0 0 tan ? 22011 ? ? ? tan ?10 ? ?1+ 1 ? + tan 2 + tan 4 + ?? + ? =___ ? 0 ? 0 0 2012 0 ? ? ? cos 2 ? cos 4 cos 8 cos ? 2 ? ? ?

tan ? 2n ? 0 tan10 tan 20 解： ? + + ?? + = tan ? 2n +1 ? ? tan10 0 0 0 cos 2 cos 4 cos ? 2n +1 ?
0 2 2 1 ? tan 2 a tan a tan a ?1+ tan a ? 2 tan a- tan a ?1-tan a ? ? cos 2a =cos a ? sin a = ? = = 1+ tan 2 a cos 2 a 1 ? tan 2 a 1- tan 2 a 2 2

=

2 tan a - tan a = tan 2a- tan a 1- tan 2 a
0

tan ? 2n ? 0 0 tan10 tan 20 + + ?? + = tan 20 - tan10 + tan 40 - tan 20 + ? + tan ? 2 n +1 ? - tan ? 2 n ? 0 0 0 cos 2 cos 4 cos ? 2n +1 ? = tan ? 2n +1 ? - tan10
0

? cot ? 2

2012 0

?

? ? tan ?10 ? ?1+ 1 ? 0 ? ? cos 2 ?
0

0 0 0 tan ? 22011 ? ? ? tan 2 tan 4 ? + + ?? + ?+ 0 0 2012 0 ? ? cos 4 cos 8 cos ? 2 ? ?

= cot ? 22012 ? tan ? 22012 ? =1
0

3、设P为正方体ABCDEFGH内部一点，且满足PA ? PB ? PF ? PC ? 107 , 求此正方体的边长=____ 2

3 3 , 2

解：设正方体边长为a,则A ? 0,0,0? , B ? a, 0,0? , C ? a, a, 0? , F ? a, 0，a ? ,由于PA ? PB
a PF ? PC , 则P在AB与CF的中垂面上。AB的中垂面为x= ,CF的中垂面为y =z 2

? a 2 2 2 27 +t +t = ? 3 3 107 ? ?a ? 4 设P ? ,t ,t ? ,由于PA ? , 且PF ? ?? 2 4 2 2 ?2 ? ? a +t 2 + ? t -a ?2 = 107 ?4 ? 4

? ? 4 6 ? a =5 ?a = ? ? 3 解得 ? 1 or ? t= ? 2 ?t= 7 6 ? ? ? 12 ?

x2 y 2 + =1? a >b>0 ? 上任意一点, F1 , F2分别是椭圆的左右焦点，MF1 , MF2分别 a 2 b2 ? b2 ? MF1 MF2 交椭圆于A,B两点求： 2 ? ? +2 ? =____ a ? F1 A F2 B ? 4、已知M是椭圆

解： MM1 ? ?

MF1 FA MF ? F1 A MA MM 2 ,AA1 = 1 ,F1 N1 =P,由相似得： 1 ? ? e e F1 A F1 A F1 N 2

MF1 F1 A ? MM1 ? M1M 2 MM1 ? AA1 e e ? MF1 ? F1 A ? 2MF1 ? ? ? FA F1 N1 ? N1 N 2 F1 N1 ? AA1 eP ? F1 A eP P? 1 e
从而 ? MF1 2MF1 MF 2MF2 ? ? 1，同理得： 2 ? ?1 F1 A eP F2 B eP

MF1 MF2 2 4a 4a 2 ? ? ? MF1 ? MF2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 F1 A F2 B eP eP b

? b2 ? MF1 MF2 ? +2 ? =4 2 ? a ? F1 A F2 B ?
5、在?ABC中，若f (A,B,C )= 1 1 4 + 2 + ，求f ? A,B,C ?min =____ 2 sin A sin B 1+ sin C

解： ? ?

1 1 4 2 4 4 4 + 2 + ? + = + 2 sin A sin B 1+ sin C sin A sin B 1+ sin C cos ? A-B ? - cos ? A+B ? 1+ sin C

4 4 16 16 16 + ? = ? =8 2 ? 2 2 2 1+ cos C 1+ sin C 1+cosC+1+sinC 1+ cos C + sin C 2+ ?1 +1 ?? cos 2 C + sin 2 C ?
3? ? , C ? 时成立 8 4

?

?

等号当且仅当A ? B ?

6、 f ( x ) 为 n 次非负整系数多项式， 满足 f (1) ? 6 ，f (7) ? 3438 。 f (2)=___ 。 求 解: 设 f ( x) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ?? ，其中 a0 , a1 , a2 ,? 都是非负

整数。 因为

3438 ? f (7) ? a0 ? a17 ? a2 72 ? a3 73 ? a4 74 ? a5 75 ??
? a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 2401a4 ? 16807a5 ?? ，
可以看出，必有 a5 ? a6 ? a7 ? ? ? 0 。 这时有

6 ? f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ， 3438 ? f (7) ? a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 2401a4 。
假如 a4 ? 0 ，则最多有 a3 ? 6 ， a0 ? a1 ? a2 ? 0 ，这时

a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 2401a4 ? 343 ? 6 ? 2058 ? 3438 ，
假如 a4 ? 2 ，则 a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 2401a4 ? 2401 ? 2 ? 4802 ? 3438 ， 都与 f (7) ? 3438 矛盾，所以不可能有 a4 ? 0 或 a4 ? 2 ，只有 a4 ? 1 。 这时有

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? 6 ? a4 ? 6 ? 1 ? 5 ， a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 3438 ? 2401a4 ? 3438 ? 2401 ? 1037 。
假如 a3 ? 2 ，则最多有 a3 ? 2 ， a2 ? 3 ， a0 ? a1 ? 0 ，这时

a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 49 ? 3 ? 343 ? 2 ? 833 ? 1037 ，
假如 a3 ? 4 ，则 a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 343a3 ? 343 ? 4 ? 1372 ? 1037 ， 都会发生矛盾，所以不可能有 a3 ? 2 或 a3 ? 4 ，只有 a3 ? 3 。

这时有

a0 ? a1 ? a2 ? 5 ? a3 ? 5 ? 3 ? 2 ， a0 ? 7a1 ? 49a2 ? 1037 ? 343a3 ? 1037 ? 343 ? 3 ? 8 。
容易看出，要满足上述式子，只有 a2 ? 0 ， a0 ? a1 ? 1 。 所以多项式为 f ( x ) ? 1 ? x ? 3x 3 ? x 4 ，这时有

f (2) ? 1 ? 2 ? 3 ? 23 ? 24 ? 1 ? 2 ? 24 ? 16 ? 43 。

7、假设有5根电线杆，其中有2根会漏电，以至于停在他们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落 底面，今有5只小鸟各自独立的随机选择其中一个电线杆逗留休息，试计算只有2根电线杆上 有小鸟的概率=_____
解：将 5 根电线杆记为 a, b, c, d , e ，其中 d , e 是漏电的电线杆。 设 A, B, C 分别为在 a , b, c 电线杆上没有小鸟的事件。

5 只小鸟，每只小鸟都可以在 5 根电线杆中选择一根，共有 55 种不同情况。
5 这时， 每只小鸟只有 4 种选择， 所以有 4 种 A 是在电线杆 a 上没有小鸟的事件，

不同情况，所以 P ( A) ?

45 。 55

AB 是在电线杆 a , b 上都没有小鸟的事件，这时，每只小鸟只有 3 种选择，所以
有 3
5

种不同情况，所以 P( AB ) ?

35 35 。同理，有 P ( AC ) ? 5 。 55 5

ABC 是在电线杆 a , b, c 上都没有小鸟的事件，这时，每只小鸟只有 2 种选择，所

25 以有 2 种不同情况，所以 P ( ABC ) ? 5 。 5
5

ABC 是在电线杆 a 上无小鸟、在电线杆 b, c 上有小鸟的事件，它的概率为

P( ABC) ? P( AB) ? P( ABC) ? P( A) ? P( AB) ? P( AC) ? P( ABC) ?
1024 ? 243 ? 243 ? 32 570 114 ? ? 。 3125 3125 625 114 同理，有 P ( ABC ) ? P ( ABC ) ? 。 625 所以，有且仅有 2 根电线杆上停有小鸟的概率为 114 114 114 342 P( ABC ) ? P( ABC ) ? P ( ABC ) ? ? ? ? ? 0.5472 。 625 625 625 625 ?

45 ? 35 ? 35 ? 25 55

8、有一非常大的正整数n,它除了不可被1至250中某两连续正整数k,k+1整除 外，都可被1至250中其他的整数整除，求k=____

解：k =127,分三个步骤来

?1?：首先证明k >125,当k ? 125,因为n不可被k整除，得n也不可被2k整除，且1<2k ? 250
与已知矛盾

? 2 ? ：证明k ,k +1必为质数或质数的次方，假设k可分解成k=rs,其中r,s互素，因为k不
整除n,则r不整除n或s不整除n,此与已知条件矛盾，故k必为质数或质数的次方， 同理可证：k+1也为质数或质数的次方

? 3?：另外一方面，k,k+1中必有一为偶数，所以k,k+1中必有一为2的次方，但是
介于125至250之间2的次方为27 =128，故128为一不可整除n的数，另一数可能为127或129
注意到129=3 ? 43，故127为另一不可整除n之数，故k=127

二、试解答题（共 56 分）
例题1 ?16分?：非零复数zi ? i =1,2, ?,5? 有相同的模，且? zi =? zi 2 =0,求证：z1 ,z2 , ?,z5
i =1 i =1 5 5

的复坐标对应点构成一个正五边形

证明：
设多项式P(x)=x5 +ax 4 +bx3 +cx 2 +dx +e的根为zk ,k =1,2, ? ,5,则由韦达定理 a = ? ? z1 =0, b= ? z1 z2 =
2 1 ? ? z1 ? ? 1 ? z12 =0,设r为公共模，则 2 2

0=? z1 =?
__ __

__

r2 r2 = ? ? z1 z2 z3 z4 ? d =0 z1 z1 z2 z3 z4 z5 r4 r4 = z1 z2 z1 z2 z3 z4 z5

0=? z1 z2 =?

?z z z

1 2 3

? c=0

所以P(x)=x5 +e,于是z1 ,z2 ,?,z5是-e的5次根，故命题得证

例题2：设a,b是两个正整数，证明：

? ? a ? +? ? b
2 2 2

? ? ab ?

2

?

?

2 2

证明： 设pi 是a,b的公共素因子，qi只是a的素因子，rk 是b的素因子
? 1? ? 1 ? ? ? ab ? =ab? ?1 ? ? ? ?1 ? ? q pi ? j ? i ? j ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? k ? ? rk ?

? 2 ? a 2 ? ? 2 ? b2 ? = ? a 2 ? ?1 ?
? ?
i

?

? ?

1? ? 1 ?? ?1 ? pi ? j ? q j ?

?? ? 2 ? 1? ? 1 ?? ? ? ?b ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? pi ? k ? rk ? ? ?? ? i ?

? 1 ? ? ?1 ? ? q j ? j

? ? 1 ? ? ?1 ? ? k ? ? rk
2 2

? 2 2 2 ? ? 1 ? ?? ? ab ? ? ? ? ? a ? ? ? b ? ?

? ? ? ab ? ? ? ? a ? ? ? b

??

? 2 ? a 2 ? +? 2 ? b2 ?
2
2

例题3：设P是抛物线y 2 =2 x上的动点，B, C在y轴上，圆 ? x-1? +y 2 =1 内切于 ?PBC , 求△PBC面积的最小值

解：设P(m,n),则S PBC ? SPBC ?

1 | BC | m,设PB,PC边上的切点分别为D,E,则 2

1 2 ?| BC | ? | PB | ? | PC |? ? 1 ?| BC | ? | PD |, 且PD2 ? ? m-1? +n2 -1 2 2 =m -2m+n 2 =m 2 ,则|PD|=m

1 所以SPBC ?| BC | ? m,由上面S PBC的两个面积表达式得 |BC | m=|BC|+m 2 2m 2m 4 ? |BC|= ,(m>2),故得S PBC ? +m = +(m-2)+4 ? 8 m-2 m-2 m-2

加试题
一、40分? 在△ABC中，已知D,E,F分别为三边AB,BC,CA上一点，使得?ADF, ? ?BED,?CFE的面积相等，证明：?DEF是正三角形的充要条件是?ABC是正三角形

证：若△ABC是正三角形，不妨设其边长为1，令AD=1.BE=y,CF=z,由 1 1 1 ?ADF,△BED,△CFE之面积相等，可得 x ?1-z ? sin 60= y ?1-x ? sin 60= z ?1-y ? sin 60 2 2 2

? x ?1-z ? =y(1-x)=z(1-y),以下证明x=y=z,利用反正法
假设x,y,z三者全相异，不妨设x>y>z.于是1-z>1-y>1-x,因而得x ?1-z ? >y(1-x) 矛盾！，因此，x,y,z中某两数相等，不妨设x=y,再由上面x ?1-z ? =y (1-x)=z(1-y), 即x(1-z)=x(1-x)=z(1-x) ? x=z=y,故由余弦定理知DE=EF=FD,故?DEF为正三角形

? 2 ?：若△DEF是正三角形，分别过A,B,C作平行FD,DE,EF的三条直线，则
此三线交出一个正△A ' B ' C '(如上图),不妨设A ' B ' ? B ' C ' ? C ' A ' ? 1,并设
A ' C ? x,B ' A ? y, C ' B ? z, 于是CB ' ? 1 ? x, AC ' ? 1 ? y, BA ' ? 1 ? z 因为△ADF , ?BED，?CEF 三者面积相等，所以A到DF , B到DE, C到EF 三者的距离都相等，不妨设为h,于是，E到A'B与到A'C的距离也都是h
由于S A ' BC ? S?A ' BE ? S A ' CE ? 同理SB ' AC 1 1 1 ?1 ? z ? h+ xh= x ?1 ? z ? sin 60 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ?1-x ? h+ yh= y(1-x) sin 60,SC ' BA ? ?1 ? y ? h+ zh= z ?1-y ? sin 60 2 2 2 2 2 2

合并上面三式，可建立以下等式

x+ ?1-z ? y + ?1-x ? z + ?1-y ? sin 60 1 1 1 1 1 1 = = = ? + = + = + x ?1-z ? y(1-x) z ?1-y ? h x 1-z y 1-x z 1-y
1 1 1 1 1 1 当x,y,z全不相等时，不妨设x>y>z,于是 < < ,且 > > x y z 1-x 1-y 1-z 1 1 1 1 由此得： + < + ,与上式矛盾，故x,y,z中必有两数相等， x 1-z y 1-x
再由上面等式立即得到三数相等，故△ABC为正三角形。

二、40分? 设x1 ,y1 ,x2 ,y2 ,?,x4n ,y4n是8n个正实数，且xi xi +1xi +2 xi +3 =yi yi +1 yi +2 yi +3对每 ?
? x ? 一个i ? ?4k +1|k =0,1,2, ?? ,n-1? 均成立，求证： ? i ? ? n ? x +y i =1 ? i i ?
4n 2

解：引理：对任意正数x,y恒有

1

?1+x ?

2

+

1

?1+y ?

2

?

1 , 1+xy

2 2 2 2 证明： ??1+x ? + ?1+y ? ? ?1+xy ? ? ?1+x ? ?1+y ? ? ? ?

=2 ?1+xy ? +2 ? x+y ??1+xy ? + ? x 2 +y 2 ? ?1+xy ? ? ? x +y ? ? ?1 ? xy ? ? 2 ? x+y ??1+xy ?
2 2

= =1+xy ? x 2 +y 2 ? -2 xy -x 2 y 2 =xy ? x-y ? + ? xy -1? ? 0 ,得证
2 2

其次，令ai =

yi ,则对每一个i ? ?4k +1|k=0,1,2, ?,n-1? ,恒有ai ai +1ai +2 ai +3 =1 xi

将欲证明的不等式每四项一组分成n组，

2 2 ? ? xi ? 4 n ? 1 ? n -1 ? 1 1 1 1 =? ? =? ? + + + ? ? x +y ? i =1 1+a ? k =0 ? 1+a 2 1+a 2 1+a 2 1+a 2 ?,i=4k +1 ? i =1 ? i i ? i ? ? ? ? i ? ? i +1 ? ? i +2 ? ? i +3 ? ? 4n

n -1 ? 1 ? n-1 ? 1 ? ai ai +1 1 ? ?? + + ?= ? ? ? 1+ai +2 ai +3 ? k =0 ? 1+ai ai +1 ai ai +1 +ai ai +1ai +2 ai +3 ? k =0 ? 1+ai ai +1 n -1 ? 1 aa ? =? ? + i i +1 ?=n ai ai +1 +1 ? k =0 ? 1+ai ai +1

三、50分?，求所有正实数x,y使得 ? 正整数之和为66。

x 2 +y2 2 xy x+y , , , xy都是正整数，且这四个 2 x+y 2

解：令a=

x+y 2 xy x 2 +y 2 ,g = xy ,h= ,k = ,易得k ? a ? g ? h,等号成立为x=y 2 x+y 2
66 不合，故k >a >g >h 4

若x =y,显然k =a =g =h=

令a=ca1 ,g =cg1 ,其中c,a1 ,g1 ? N , ? a1 ,g1 ? =1,a1 >g1
h= 2 g 2 cg12 = ,k = 2a 2 ? g 2 =c 2a12 -g12 ,其中 2a12 ? g12 > 2a12 -a12 =a1 2a a1

令c =da1 ,d ? N ,66=a +g +h+k =da12 +da1 g1 +dg12 +da1 2a12 -g12 >2da12 >2a12

? a1 ? 5,1 ? g1 ? a1 ? 5,且2a12 ? g12为完全平方数，易得a1 =5,g1 =1
? d =1,a = ? x=25+10 6 ? x=25-10 6 x+y ? ? =25,g = xy =5 ? ? or ? 2 ? y =25-10 6 ? y =25+10 6 ? ? ? x=25+10 6 ? ? x =25-10 6 ? or ? ? y =25-10 6 ? y =25+10 6 ? ?

经检验满足。所以满足实数 x,y 有 ?

四、50分 ? 在一个13 ? 13的方格表中，每一格子填入数字0或1的其中一个，假设任 ? 意两行和任意两列相交的四个方格中，至少要填入一个0，那么在此方格表内可以 填入数字1的个数最大值为几，并证明你的结论
1 2 证明：设d k 为第k行出现1的个数，则第k行中每两个1一组，共有C dk = d k ? d k -1? 2

组。由已知条件知：某行中出现两个1的一组在其他行不会再出现同一位置的一组
1 1 1 2 于是有： d1 ? d1 -1? + d 2 ? d 2 -1? + ? + d13 ? d13 -1? ? C13 =78 2 2 2

? d12 +d22 +?+d132 ? ? d1 +d2 +?+d13 ? ? 156,设M ? d1 +d2 +?+d13
由柯西M 2 ? ?12 +12 + ? +12 ?? d12 +d 2 2 + ? +d132 ? ? M 2 -13M -13 ? 156 ? 0

?M ?

13+ 132 ? 4 ? ?13 ? 156? 2

? 52,以下可以构造出M ? 52的例子

因为，可以填入数字1的个数最大值为52，以下就是例子

补充试题：
1、求出全部数a,b,c,d ,使函数f(x)=4x3 -dx对于x ? [?1.1]满足不等式 f (x) ? 1,

? 2 ? :函数g (x)=4 x3 +ax 2 +bx+c对于x ? [?1,1]满足 g (x)
? ? 解：由已知 ? ?|f ? |f (1)|=|4-d | ? 1

?1

??1 ? d ? 3 ?? ,故d =3,令x= cos a,既得d =3符合 1 d ?1? ? ? |= 4 ? ? ? 1 ? 3 ? d ? 5 8 2 ?2?
1 g (x) ? g(-x) 2

对于x ? [-1,1]有|g (x)| ? 1,故 | g (-x)| ? 1,从而知 4 x3 +bx = ? 1 1 ?|g(x)|+|g (-x)|? ? ? 2=1,由以上知b=-3 2 2

于是有 4x 3 +ax 2 -3x +c ? 1,令x =1或-1得 1+a +c ? 1, -1+a +c ? 1

? a +c =0,c=-a,令x ?
? a =c =0

1 1 a , - ,得-1 ? ?1 ? -a, 2 2 4

a 1+ -a ? 1 4

2、对每个k ? N * ,求最小的正整数m>1使得存在f(x) ? Z ? x? ,使得f (x)-1至少 .
有一个整数根，而f (x) ? m恰有k不同的整数根

解：存在满足条件的f (x),并设x1 ,x2 ,?,xk 为f(x)-m的k个不同整数根，可写
f (x)-m= ? x-x1 ?? x-x2 ? ? ? x-x k ? q ? x ? ,q ? x ? ? Z ? x ? , 于是m= ? f (x)-1? +1 ? ? x-x1 ? ? ? x-xk ? q ? x ? ,由于f (x)-1有整数根，设? 为其整数根，则m=1 ? ?? -x1 ??? ? x 2 ? ? ?? -xk ? q ? x ?

? m>1,知- ?? ? x1 ???? ? xk ? q ? x ? >0,于是数? -x1,??? -xk ? 是k个不同的非零整数
?k ? ?k ? ?k? ?k ? 易得 ?? -x1 ??? -x 2 ? ? ?? -xk ? ? ? ? ! ? ? !,故m ? ? ? ! ? ? !+1 ?2? ?2? ?2? ?2? ?k ? ?k ? 再证明:m= ? ? ! ? ? !+1时存在这样的多项式， ?2? ?2?
当k 为偶数时，设k =2n,则m= ? n!? +1,令f (x)= ? ?1?
2 n-1

? x+1?? ? x+n ?? x-1?? ? x-n ? +m
n

当k 为奇数时，设k=2n +1,则m =n!? n+1? !+1,令f (x)= ? -1?

? x+1?? ? x+n ?? x-1?? ? x- ? n+1? ? +m即可

3、设am ? m=1,2, ?? 都是十进制中的非零数字，数z= 求证：z不是任何一个整系数多项式的根

a a1 a2 + 2! + ? + m ! + ? 10 10 10m

证：设存在f (x)=bn x n +bn -1 x n -1 + ? +b0 ? Z ? x ? ,使得f (z )=0,记zm =?
这里pm ? N * ,则 lim zm =z,并且对任意m ? N * ,z m ? ? 0,1?
m??

ai p = m! i! 10m i =1 10

m

但是： f (zm )=f ? zm ? ? f (z )= ? zm -z ? ?bn ? zm n -1 +zm n -2 z + ? +z n -1 ? +bn -1 ? zm n -2 + ? +z n -2 ? + ? +b1 ? ? ? 于是存在M ? n ? bn + bn -1 + ? + b1 ? >0,使得 f (zm ) < zm -z1 ? M ,由于 f (x)只有有限个根，故存在m0 ? N* ,使m ? m 0时，均有f ? zm ? ? 0

q 1 ? p ? ? f ? zm ? =bm ? m ! ? + ? +b0 = ,q ? Z ,q ? 0,从而 f ? zm ? ? n (m!) n m 10 ? 10 ? ?10m! ?
? zm -z ? a a 1 1 ? 1 ? ,由zm的定义，又有 zm ? z = (m +1 + ?m +2 ?! ? ? 9 ? (m +1)! + (m +2)! ?? n (m!) m +1)! m +2 M ? 10 10 10 10 ? 10 ?

n

1 1 ? 1 ? ? 9 ? (m +1)! + (m +1)!+1 + ?? ? (m +1)!-1 10 ? 10 ? 10
1 1 1 1 1 于是， （m+1)!-1 ? ? n (m!) ,这要求 （m+1?n)m!-1 ? ,当m ? +?时，不能成立，矛盾 10 M 10 10 M