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新疆生产建设兵团一中2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试卷a 理(含解析)


2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高二(上)第一次月考数学试 卷(理科) (A 卷)
一、选择题: 1.直线 ax+2y﹣1=0 与直线 2x﹣3y﹣1=0 垂直,则 a 的值为( A.﹣3 B.﹣ C.2 ) D.3 )

2.设 b、c 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,则下列命题是真命题的是(

A.若 b?

α ,c∥α ,则 b∥c C.若 c∥α ,α ⊥β ,则 c⊥β
2 2 2 2

B.若 b? α ,b∥c,则 c∥α D.若 c∥α ,c⊥β ,则 α ⊥β ) D.4 条 ) D. ) D.m<5

3.圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公切线条数( A.1 条 B.2 条 C.3 条
x y

4.若 M(x,y)在直线上 x+2y+1=0 移动,则 2 +4 的最小值是( A.
2 2

B.

C.

5.若方程 x +y ﹣2x﹣4y+m=0 表示圆,则 m 的取值范围是( A.m≥5 B.m≤5 C.m>5

6.已知点 A(﹣7,1),B(﹣5,5),直线 l:y=2x﹣5,P 为 l 上的一点,使|PA|+|PB| 最小时 P 的坐标为( A.(2,﹣1) ) B.(3,﹣2) C.(1,﹣3) ) C.[0, ] D.[0, D.(4,﹣3)

7.直线 xsinα +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) ]∪( ,π )
2 2

B.[0,

]∪[

,π )

8.直线 xsinθ +ycosθ =1 与圆(x﹣1) +y =9 的公共点的个数为( A.0、1 或 2 B.2 C.1

) D.0 )

9.正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为(

1

A.

B.

C.

D.

10.在圆 x2+y2﹣2x﹣6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A. ) B. C. D.

11.已知点 A(2,3),B(﹣3,﹣2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. B. ) C.k≥2 或 D.k≤2 ,则

12.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.直线 AB 与平面 BEF 所成的角为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值

二、填空题: 13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是 cm3.

2

14.过点(﹣1,﹣2)的直线 l 被圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 截得的弦长为 为 .

,则直线 l 的斜率

15.圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值为 16.若直线 y=x+m 与曲线 y= 围 .



有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范

三、解答题:(请写出必要的文字说明和解题步骤,共 70 分) 17.自点 A(﹣3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆 C: x +y ﹣4x﹣4y+7=0 相切,求光线 l 和反射光线所在的直线方程. 18.已知直线 l1:y=2x+3,l2:y=x+2 相交于点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求以点 C 为圆心,且与直线 3x+4y+4=0 相切的圆的方程; (3)若直线 x+y+t=0 与(2)中的圆 C 交于 A、B 两点,求△ABC 面积的最大值及实数 t 的 值. 19.(1)已知圆 01:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1.P(x,y)为圆 O 上的动点.求 d=x2+y2 的最 大、最小值. (2)己知圆 02.(x+2)2+y2=1.P(x.y)为圆上任﹣点,求 ﹣2y 的最大、最小值. 20.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长均为 2,P 是 BC 的中点,侧面 ACC1A1⊥底面 ABC, 且侧棱 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°. (Ⅰ)证明:直线 A1C∥平面 AB1P; (Ⅱ)求直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值. 的最大、最小值.求 x
2 2

3

21.如图,已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且有|PQ|=|PA|. (1)求 P 点的轨迹方程; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.

22.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (Ⅰ)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若 AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值.

2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高二(上)第一次月考数学试卷(理科)(A 卷)

参考答案与试题解析

4

一、选择题: 1.直线 ax+2y﹣1=0 与直线 2x﹣3y﹣1=0 垂直,则 a 的值为( A.﹣3 B.﹣ C.2 ) D.3

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】利用两条直线垂直的充要条件,建立方程,即可求出 a 的值. 【解答】解:∵直线 ax+2y﹣1=0 与直线 2x﹣3y﹣1=0 垂直, ∴2a+2×(﹣3)=0 解得 a=3 故选 D. 【点评】 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系的应用, 考查计算能力, 属于基础题.

2.设 b、c 表示两条直线,α ,β 表示两个平面,则下列命题是真命题的是(



A.若 b? α ,c∥α ,则 b∥c C.若 c∥α ,α ⊥β ,则 c⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】证明题.

B.若 b? α ,b∥c,则 c∥α D.若 c∥α ,c⊥β ,则 α ⊥β

【分析】由题设条件,对四个选项逐一判断即可,A 选项用线线平行的条件进行判断;B 选 项用线面平行的条件判断;C 选项用线面垂直的条件进行判断;D 选项用面面垂直的条件进 行判断, 【解答】解:A 选项不正确,因为线面平行,面中的线与此线的关系是平行或者异面;

B 选项不正确,因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行;

C 选项不正确,因为两面垂直,与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行,在面内 也可能垂直;

5

D 选项正确,因为线与面平行,线垂直于另一面,可证得两面垂直. 故选 D 【点评】 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系, 求解本题关键是有较好的空间想像能 力, 对空间中点线面的位置关系可以准确判断, 再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理 与条件.

3.圆 O1:x2+y2﹣2x=0 和圆 O2:x2+y2﹣4y=0 的公切线条数( A.1 条 B.2 条 C.3 条

) D.4 条

【考点】两圆的公切线条数及方程的确定. 【专题】直线与圆. 【分析】判断两个圆的位置关系,然后判断公切线条数. 【解答】解:圆 O1:x +y ﹣2x=0 的圆心(1,0)半径为 1;圆 O2:x +y ﹣4y=0 的圆心(0, 2)半径为 2, O1O2=
2 2 2 2 2

=
2

,∵1
2

,∴两个圆相交,
2

所以圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公切线条数:2. 故选:B. 【点评】本题考查两个圆的位置关系,两个圆相离公切线 4 条,相交 2 条,外切 3 条,内切 1 条.

4.若 M(x,y)在直线上 x+2y+1=0 移动,则 2 +4 的最小值是( A. 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. B. C.

x

y

) D.

【分析】根据 M(x,y)在直线上 x+2y+1=0 移动,所以 x+2y=﹣1,然后利用基本不等式求 2x+4y 的最小值. 【解答】解:因为 M(x,y)在直线上 x+2y+1=0 移动,所以 x+2y=﹣1. 所以 2x+4y 所以 2x+4y 的最小值是 故选 B.
6

. .

【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式成立的条件.

5.若方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 表示圆,则 m 的取值范围是( A.m≥5 B.m≤5 C.m>5

) D.m<5

【考点】二元二次方程表示圆的条件. 【专题】计算题;数形结合;直线与圆. 【分析】根据圆的一般式方程 x2+y2 +dx+ey+f=0( d2+e2﹣4f>0),列出不等式 4+16﹣4m >0,求 m 的取值范围. 【解答】解:关于 x,y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 表示圆时,应有 4+16﹣4m>0,解得 m< 5, 故选:D. 【点评】 本题考查二元二次方程表示圆的条件, x +y +dx+ey+f=0 表示圆的充要条件是: d +e ﹣4f>0.
2 2 2 2

6.已知点 A(﹣7,1),B(﹣5,5),直线 l:y=2x﹣5,P 为 l 上的一点,使|PA|+|PB| 最小时 P 的坐标为( A.(2,﹣1) ) B.(3,﹣2) C.(1,﹣3) D.(4,﹣3)

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程;两点间的距离公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】求得点 B(﹣5,5)关于直线 l:y=2x﹣5 的对称点 B′的坐标,用两点式求得 AB′ 的方程,再由直线 AB′的方程和直线 l 的方程联立方程组,求得点 P 的坐标.

【解答】解:设点 B(﹣5,5)关于直线 l:y=2x﹣5 的对称点 B′(m,n),

则由,求得

,可得 B′(11,﹣3),

∴AB′的直线方程为:y=﹣ (x﹣11)﹣3. 与 y=2x﹣5 联立方程可得点 P 的坐标为(2,﹣1), 故选:A.
7

【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,利用了垂直、和中点在 对称轴上这两个条件,求两条直线的交点坐标,属于基础题.

7.直线 xsinα +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π ) ]∪( ,π ) B.[0, ]∪[ ,π )

) C.[0, ] D.[0,

【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题. 【分析】由直线的方程可确定直线的斜率,可得其范围,进而可求倾斜角的取值范围.

【解答】解:直线 xsinα +y+2=0 的斜率为 k=﹣sinα , ∵﹣1≤sinα ≤1,∴﹣1≤k≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0, 故选 B 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,属基础题. ]∪[ π ,π )

8.直线 xsinθ +ycosθ =1 与圆(x﹣1) +y =9 的公共点的个数为( A.0、1 或 2 B.2 C.1

2

2

) D.0

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直 线的距离 d,比较 d 与 r 的大小关系确定出直线与圆的位置关系,即可得出公共点的个数.

【解答】解:由圆的方程得到圆心坐标为(1,0),半径 r=3, ∵圆心到直线 xsinθ +ycosθ =1 的距离 d= ∴直线与圆相交,即交点有 2 个. 故选 B =1﹣sinθ <3=r,

8

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小来确定,当 d>r 时,直线与圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切(其中 d 为 圆心到直线的距离,r 为圆的半径).

9.正四面体 PABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 AB 的中点 M,得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 【解答】解:如图,取 PB 中点 N,连接 CM、CN、MN. ∠CMN 为 PA 与 CM 所成的角(或所成角的补角), 设 PA=2,则 CM= CN= ,MN=1,

,由余弦定理得: .

∴cos∠CMN= 故选 C.

【点评】过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角) 就是异面直线所成的角. 求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线, 把异 面问题转化为共面问题来解决.

9

10.在圆 x +y ﹣2x﹣6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( A. ) B. C. D.

2

2

【考点】圆的标准方程;两点间的距离公式. 【专题】数形结合;直线与圆. 【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径,根据图形可知,过点 E 最长的弦为直径 AC,最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦 BD,根据两点间的距离公式求出 ME 的长度, 根据垂径定理得到 E 为 BD 的中点, 在直角三角形 BME 中, 根据勾股定理求出 BE, 则 BD=2BE,然后利用 AC 与 BD 的乘积的一半即可求出四边形 ABCD 的面积. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得:(x﹣1)2+(y﹣3)2=10, 则圆心坐标为(1,3),半径为 根据题意画出图象,如图所示: 由图象可知: 过点 E 最长的弦为直径 AC, 最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦, 则 AC=2 MB= ,ME= = =2 , ,又 AC⊥BD, ×2 =10 . , ,

所以 BD=2BE=2 所以四边形 ABCD 的面积 S= ACBD= ×2 故选 B.

【点评】 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用, 灵活运用两点间的距离公式化简求 值,是一道中档题.学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.

11.已知点 A(2,3),B(﹣3,﹣2).若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
10

A. 【考点】直线的斜率.

B.

C.k≥2 或

D.k≤2

【分析】首先求出直线 PA、PB 的斜率,然后结合图象即可写出答案. 【解答】解:直线 PA 的斜率 k= =2,直线 PB 的斜率 k′= = ,

结合图象可得直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≥2 或 k≤ . 故选 C.

【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况.

12.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= 下列结论中错误的是( )

,则

A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.直线 AB 与平面 BEF 所成的角为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 【考点】直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角. 【专题】综合题.

11

【分析】对于 A,AC⊥平面 BB1D1D;通过直线 EF 平行直线 AB,判断 EF∥平面 ABCD;直线 AB 与平面 BEF 所成的角即为直线 AB 与平面 BD1 所成的角;只需找出两个特殊位置,即可判断 D 是不正确的,综合可得答案. 【解答】解:对于 A,∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE? 平面 BB1D1D,∴AC⊥BE.故 A 正确.

对于 B,∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在直线 D1B1 上运动,∴EF∥平面 ABCD.故 B 正确.

对于 C,直线 AB 与平面 BEF 所成的角即为直线 AB 与平面 BD1 所成的角,故为定值.故 C 正 确. 对于 D,当点 E 在 D1 处,F 为 D1B1 的中点时,异面直线 AE,BF 所成的角是∠OEB,当 E 在上 底面的中心时,F 在 C1 的位置,异面直线 AE,BF 所成的角是∠OE1B 显然两个角不相等,故 D 不正确. 故选 D.

【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直,考查线面角、线线角,考查空间 想象能力,逻辑思维能力,是中档题.

二、填空题: 13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是 cm3.

【考点】由三视图求面积、体积.
12

【专题】计算题. 【分析】利用三视图复原的几何体以及三视图的数据,求出几何体的体积即可.

【解答】解:三视图复原的几何体是四棱锥,底面对角线长为 2 的正方形,一条侧棱垂直底 面直角顶点,高为的棱锥. 正方形的面积为: 所以所求几何体的体积为: 故答案为: . 【点评】 本题考查三视图与几何体的直观图的关系, 正确判断几何体是特征与形状是解题的 关键. . 2×2= (cm3),

14.过点(﹣1,﹣2)的直线 l 被圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 截得的弦长为 为 1或 .

2

2

,则直线 l 的斜率

【考点】直线与圆的位置关系;直线的斜率. 【专题】计算题. 【分析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标和圆的半径 r,由弦长及半径,利用垂径 定理及勾股定理求出圆心到直线 l 的距离 d,设出直线 l 的斜率,由直线 l 过(﹣1,﹣2), 表示出直线 l 的方程,利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程,求出方程的解得到 k 的值,即为直线 l 的斜率. 【解答】解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1, ∴圆心坐标为(1,1),半径 r=1, 又弦长为 , = ,

∴圆心到直线 l 的距离 d=

设直线 l 的斜率为 k,又直线 l 过(﹣1,﹣2), ∴直线 l 的方程为 y+2=k(x+1),即 kx﹣y+k﹣2=0, ∴ = ,即(k﹣1)(7k﹣17)=0,

13

解得:k=1 或 k=

, .

则直线 l 的斜率为 1 或 故答案为:1 或

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,点到直线 的距离公式, 以及直线的点斜式方程, 当直线与圆相交时, 常常根据垂径定理由垂直得中点, 进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造至直角三角形,利用勾股定理来解决问题.

15.圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值为 4 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= ﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r,从而可求 【解答】解:∵圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣25=0 的距离 d= ∴圆 x +y =1 上的点到直线 3x+4y﹣25=0 距离的最小值是 AC=5﹣r=5﹣1=4 故答案为:4
2 2

,圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y

【点评】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用, 解题的关键是把所求的距离转化为求 圆心到直线的距离,要注意本题中的 BC 是满足圆上的点到直线的距离的最大值

14

16.若直线 y=x+m 与曲线 y= . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】曲线 y=

有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围

表示一个半圆,当直线 y=x+m 与半圆相切时,求得 m 的值;当直

线 y=x+m 过点(﹣2,0)时,求得 m 的值;当直线 y=x+m 过点(2,0)时,求得 m 的值,数 形结合可得 m 的范围. 【解答】解:曲线 y= 即 x2+y2=4 (y≥0),

表示以原点为圆心,半径等于 2 的半圆,如图. 当直线 y=x+m 与半圆相切时,由 2= ,可得 m=2 ,或 m=﹣2 (舍去).

当直线 y=x+m 过点(﹣2,0), 把点(﹣2,0)代入直线 y=x+m 可得 0=﹣2+m,故 m=2. 当直线 y=x+m 过点(2,0), 把点(2,0)代入直线 y=x+m 可得,0=2+m,故 m=﹣2. 数形结合可得,当直线 y=x+m 与曲线 y= 一个公共点时, 则 m 的取值范围是: 故答案为: . , 有且只有

15

【点评】本题主要函数的零点的定义,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.

三、解答题:(请写出必要的文字说明和解题步骤,共 70 分) 17.自点 A(﹣3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆 C: x +y ﹣4x﹣4y+7=0 相切,求光线 l 和反射光线所在的直线方程. 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】化简圆的方程为标准方程,求出关于 x 轴对称的圆的方程,设 l 的斜率为 k,利用 相切求出 k 的值即可得到光线 l 和反射光线所在的直线方程. 【解答】解:根据对称关系,首先求出点 A 的对称点 A′的坐标为(﹣3,﹣3),其次设过 A′的圆 C 的切线方程为 y=k(x+3)﹣3 根据 d= =1,即求出圆 C 的切线的斜率为 k= 或 k=
2 2

进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x﹣3y+3=0 或 3x﹣4y﹣3=0 最后根据入射光与反射光线关于 x 轴对称,求出入射光线所在直线方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y﹣3=0.

【点评】本题考查点、直线和圆的对称问题,直线与圆的关系,是基础题.

18.已知直线 l1:y=2x+3,l2:y=x+2 相交于点 C. (1)求点 C 的坐标;
16

(2)求以点 C 为圆心,且与直线 3x+4y+4=0 相切的圆的方程; (3)若直线 x+y+t=0 与(2)中的圆 C 交于 A、B 两点,求△ABC 面积的最大值及实数 t 的 值. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】(1)联立直线方程,解方程可得交点 C; (2)运用直线和圆相切的条件:d=r,由圆的标准方程可得所求圆的方程; (3)方法一、运用三角形的面积公式,结合正弦函数的值域,可得最大值,再由点到直线 的距离公式,可得 t 的值; 方法二、运用弦长公式和基本不等式可得面积的最大值,再由点到直线的距离公式,可得 t 的值. 【解答】解:(1)由 (2)圆心 C(﹣1,1), 半径
2

,解得

,∴C(﹣1,1);


2

所以圆 C 的方程为(x+1) +(y﹣1) =1. (3)方法一:因 ,

显然当 sin∠ACB=1,即∠ACB=90°时,S△ABC 取到最大值 , 此时,直角△ABC 的斜边 AB 上的高为 又圆心 C 到直线 x+y+t=0 的距离为 由 ,解得 t=1 或 t=﹣1. , ,

方法二:设圆心 C 到直线 x+y+t=0 的距离为 d,H 为 AB 的中点,连结 CH, 因弦 AB 的长为 ,



=



当且仅当 d2=(1﹣d2),即



时取等号,S△ABC 取到最大值 ,

17

因 由

, ,解得 t=1 或 t=﹣1.

【点评】本题考查直线和直线的交点的求法,圆的方程的求法,以及直线和圆相切的条件和 相交的弦长求法,考查点到直线的距离公式的运用,属于中档题.

19.(1)已知圆 01:(x﹣3) +(y﹣4) =1.P(x,y)为圆 O 上的动点.求 d=x +y 的最 大、最小值. (2)己知圆 02.(x+2) +y =1.P(x.y)为圆上任﹣点,求 ﹣2y 的最大、最小值. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】(1)求得圆 01 的圆心和半径,d=x +y 表示与原点 O 的距离的平方,由圆的性质, 可得最值; (2)求得圆 02 的圆心和半径, 表示点(x,y)与点 A(1,2)的斜率,由直线和圆相
2 2 2 2

2

2

2

2

的最大、最小值.求 x

切的条件:d=r,计算即可得到最值;再令 x﹣2y=t,由直线和圆相切的条件,计算即可得 到最值. 【解答】解:(1)圆 01:(x﹣3) +(y﹣4) =1 的圆心 O1(3,4),半径 r=1,
2 2

d=x +y 表示与原点 O 的距离的平方,即有 最小值为 OO1﹣r=5﹣1=4, 则 d 的最大值为 36,最小值为 16;

2

2

的最大值为 OO1+r=5+1=6,

(2)圆 02:(x+2) +y =1 的圆心 O2(﹣2,0),半径为 1, 表示点(x,y)与点 A(1,2)的斜率,设为 k, 即有 kx﹣y+2﹣k=0, 由直线和圆相切,d=r 即 =1,

2

2

解得 k=



18



的最大值为

,最小值为

; =1,

令 x﹣2y=t,由直线和圆相切的条件,可得 解得 t=﹣2+ 或﹣2﹣ , ,最小值为﹣2﹣ .

即有 x﹣2y 的最大值为﹣2+

【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查相切的条件:d=r,以及点到直线的距离公式 的运用,考查运算能力,属于中档题.

20.如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长均为 2,P 是 BC 的中点,侧面 ACC1A1⊥底面 ABC, 且侧棱 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°. (Ⅰ)证明:直线 A1C∥平面 AB1P; (Ⅱ)求直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题. 【分析】(Ⅰ)连接 A1B 交 AB1 于 Q,则 Q 为 A1B 中点,连接 PQ,证出 PQ∥A1C 后即可证出直 线 A1C∥平面 AB1P; (Ⅱ)取 A1C1 中点 M,连 B1M、AM,则 B1M⊥A1C1,B1M⊥平面 ACC1A1.∠B1AM 为直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角. 再得出∠A1AC 为 AA1 与平面 ABC 所成的角,即∠A1AC=60°,在 Rt△B1MA 中求解即可.

19

【解答】(Ⅰ)解:连接 A1B 交 AB1 于 Q, 则 Q 为 A1B 中点,连接 PQ, ∵P 是 BC 的中点,∴PQ∥A1C.? ∵PQ? 平面 AB1P,A1C?平面 AB1P, ∴A1C∥平面 AB1P. ?

(Ⅱ)取 A1C1 中点 M,连 B1M、AM, 则 B1M⊥A1C1. ∵平面 ACC1A1⊥平面 ABC, ∴平面 ACC1A1⊥平面 A1B1C1. ∴B1M⊥平面 ACC1A1. ∴∠B1AM 为直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成的角. 在正△A1B1C1 中,边长为 2,M 是 A1C1 中点,∴ ∵面 ACC1A1⊥平面 ABC, ∴∠A1AC 为 AA1 与平面 ABC 所成的角,即∠A1AC=60°. 在菱形 ACC1A1 中,边长为 2,∠A1AC=60°,M 是 A1C1 中点, ∴AM =2 +1 ﹣2×2×1×cos120°=7,∴ 在 Rt△B1MA 中, ∴ , . . ? ,从而
2 2 2

? . ?

?

.? .

∴直线 AB1 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为

20

【点评】本题考查空间直线和平面平行关系的判定,线面角的定义及求解.考查空间想象能 力、推理论证能力,计算能力.

21.如图,已知圆 O:x +y =1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且有|PQ|=|PA|. (1)求 P 点的轨迹方程; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.

2

2

【考点】轨迹方程;直线和圆的方程的应用. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】(1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形,利用|PQ|=|PA|,求 P 点的轨迹方程;

(2)表示出|PQ|,利用配方法求|PQ|的最小值; (3 以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的最小 值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,即可求出半径最小的圆的方程. 【解答】解 (1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形, 又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2, 所以 a2+b2=1+(a﹣2)2+(b﹣1)2,故 2x+y﹣3=0.
21

(2)由|PQ| =|OP| ﹣1=a +b ﹣1=a +9﹣12a+4a ﹣1=5a ﹣12a+8=5(a﹣1.2) +0.8,

2

2

2

2

2

2

2

2

得|PQ|min=



(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的最 小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径,圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l′与 l 的 交点 P0,所以 r= ﹣1,

又 l′:x﹣2y=0,联立 l:2x+y﹣3=0 得 P0( , ). 所以所求圆的方程为(x﹣ ) +(y﹣ ) =(
2 2

﹣1) .

2

【点评】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.

22.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (Ⅰ)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若 AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(Ⅰ)要证平面 PAC⊥平面 PBC,只要证明平面 PBC 经过平面 PAC 的一条垂线 BC 即可,利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明 BC⊥平面 PAC;

(Ⅱ)因为平面 PAB 和平面 ABC 垂直,只要在平面 ABC 内过 C 作两面的交线 AB 的垂线,然 后过垂足再作 PB 的垂线, 连结 C 和后一个垂足即可得到二面角 C﹣PB﹣A 的平面角, 然后在 作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:如图,
22

由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA? 平面 APC,AC? 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)解:过 C 作 CM⊥AB 于 M, 因为 PA⊥平面 ABC,CM? 平面 ABC,所以 PA⊥CM, 故 CM⊥平面 PAB. 过 M 作 MN⊥PB 于 N,连接 NC. 由三垂线定理得 CN⊥PB. 所以∠CNM 为二面角 C﹣PB﹣A 的平面角. 在 Rt△ABC 中,由 AB=2,AC=1,得 在 Rt△ABP 中,由 AB=2,AP=1,得 因为 Rt△BNM∽Rt△BAP,所以 . , . , .

故 MN=

. .故 cos . .

又在 Rt△CNM 中,

所以二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值为

【点评】 本题考查了平面与平面垂直的判定, 考查了二面角的平面角及其求法, “寻找垂面, 构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法,此题是中档题.

23

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