tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.4基本不等式的应用(教案)


高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

2.4 基本不等式及其应用(1)
【教学目标】 知识目标: 1.引入两个基本不等式: a ? b ? 2ab (a, b ? R) ,
2 2

a?b ? ab (a, b ? R ? ) ,并给出几 2

何解释. 2.能够利用基本

不等式比较大小或求代数式的取值范围. 能力目标: 掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力. 情感目标: 体会数学公式的内在联系,提高学习数学的兴趣. 【教学过程】
2 2 1.基本不等式 1:对于任意实数 a , b ,有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立.

证明:? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ? 0

? a 2 ? b2 ? 2ab
当 a ? b 时, ? a ? b ? ? 0 ;当 a ? b 时, ? a ? b ? ? 0 ;
2 2

2 2 所以,当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab 的等号成立.

(理解 “当且仅当”的含义) 【例 1】已知 a , b ? R ,求证: a ? b ?
2 2

? a ? b?
2

2

,当且仅当 a ? b 时等号成立.
2

证法一: (作差比较) a ? b ?
2 2

? a ? b?
2

2

a 2 ? b2 ? 2ab ? a ? b ? ? ? ? 0, 2 2

当且仅当 a ? b 时等号成立.
2 2 2 2 2 2 证法二: (利用基本不等式 1) a ? b ? 2ab ? 2 a ? b ? a ? b ? 2ab

?

?

? 2 ? a 2 ? b2 ? ? ? a ? b ?

2

?a ?b ?
2 2

? a ? b?
2

2

,当且仅当 a ? b 时等号成立.

思考题:用不等符号连接 a ? b ,2ab,
2 2

( a ? b) 2 ( a ? b) 2 2 2 ? 2ab 三者的大小: a ? b ? 2 2
a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立. 2

2.基本不等式 2:对于任意正数 a , b ,有

思考:1)如何证明这个不等式; 2)不等式的使用前提,一定要是正数; 3)勿忘等号成立的条件;
-1-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

我们把

a?b 和 ab 分别叫做正数 a , b 的算术平均数和几何平均数. 基本不等式 2 也可 2

叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 2 的几何意义: 如图, AC ? a, BC ? b , DC ? AB 以 a , b 之和为直径的半圆中, 半径 OD 的长度 ? 垂线段 CD 的 长度. 【例 2】已知 ab ? 0 ,求 解:因为 ab ? 0 ,所以

b a ? 的最小值,并指出 a , b 满足什么条件时取到最小值. a b

b a b a b a 与 均正, ? ? 2 ? ? 2 ,即最小值为 2 , a b a b a b

当且仅当

b a ? ? a ? b 时取到最小值. a b

【变式】若改为 ab ? 0 ,则

a b ? 有怎样的最值? b a
b a ? ? a ? ?b 时取到最大值. a b

解:有最大值 ? 2 ,当且仅当 【例 3】 (1)代数式 x ?
2

1 1 2 与 2 的大小关系是: x ? 2 ? 2 2 x x 1 1 与 ? 2 的大小关系是: x ? ? ?2 x x 1 1 2 ?2 与 2 的大小关系是: x ? 4 ? 2 x ?4 x ?4
2

(2)当 x ? 0 时, x ?

(3)代数式 x ? 4 ?
2

【课堂练习】 1.已知实数 a , b ,判断下列不等式中哪些是一定正确的? (1) a ? b ? 2ab
2 2

正确 正确 错误

(2) a ? b ? ?2ab
2 2

(3)

b a ? ?2 a b

2.设 ab ? 0 ,求 |

b a ? | 的取值范围. a b
2 2

[2, ??)
2 2

3.设 a, b ? R ,比较 a ? 4b 与 4ab 的大小、 a ? 4b 与 ? 4ab 的大小,你能对基本不等 式 1 进行推广吗?
-2-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

2 2 2 2 解: 对于任意实数 a , b , 有 a ? b ? 2ab , 当且仅当 a ? b 时等号成立; 有 a ? b ? ?2ab ,

当且仅当 a ? ?b 时等号成立.因此 a 2 ? b 2 ? 2 ab . 【课后作业】 1.如果 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,那么下列不等式中正确的是 A. a ? b ? 2ab
2 2

( D )

B. a ? b ? 2 ab

C.

1 1 2 ? ? a b ab

D.

b a ? ?2 a b
( A )

2.设 x ? y ? 0 ,则下列各式中正确的是

x? y ? xy ? y 2 x? y ? y ? xy C. x ? 2
A. x ? 3.函数 f ( x) ? A. 4

x? y ? x ? xy ? y 2 x? y ? xy ? x ? y D. 2
B. 的最小值是 ( D ) D. 不能确定

x2 ? k ? 1 x2 ? k

C. k |b| 与 2 ? | ab | 的大小. 4.已知 a, b ? R ,比较 | a | ? 2 B. 2 解: | a | ?

b |b| ? 2 ? | ab | ,当且仅当 a ? 时等号成立. 2 2

3 2 5.已知 a ? 0 ,求证: a ? a ? 2a ,并指出等号成立的条件.

6.已知 a ? 0 , b ? 0 ,求证:

a b

?

b a

? a ? b ,并指出等号成立的条件.

-3-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

2.4 基本不等式及其应用(2)
【教学目标】 知识目标: 1.掌握两个基本不等式及其变形; 2.能够利用基本不等式证明简单的不等式; 3.能够利用基本不等式求有关问题的最大值或最小值. 能力目标: 掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力. 情感目标: 体会数学知识的逻辑性和灵活性,提高数学思维. 【教学过程】 1.知识回顾:
2 2 基本不等式 1 :对任意实数 a , b , a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立.

基本不等式 1 的变形: ab ? (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ,当且仅当 a ? b 时等号成立. 2 2

基本不等式 2: 对任意正数 a , b , a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立. 当积 ab 为定值时,和 a ? b 有最小值,当且仅当 a ? b 时等号成立; 当和 a ? b 为定值时,积 ab 有最大值,当且仅当 a ? b 时等号成立. 使用基本不等式 2 时,注意检验“一正二定三等号”的口诀. 2.例题: 【例 1】求 x ?

8 ,( x ? 0) 的最小值. x

解: 4 2 ,当且仅当 x ? 2 2 时等号成立. 【变式 1】求 x ?

8 ,( x ? 0) 的最值. x

解:最大值 ?4 2 ,当且仅当 x ? ?2 2 时等号成立. 【变式 2】求 x ?

8 , ( x ? 1) 的最小值. x ?1

解: 4 2 ? 1 ,当且仅当 x ? 2 2 ? 1 时等号成立. 【例 2】求

x2 ? 6 x2 ? 2

的最小值.

解: 4 ,当且仅当 x ? ? 2 时等号成立.

-4-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

【例 3】当 x ? 0 时,求

x2 ?1 的最小值. x

解: 2 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立. 【变式 1】当 x ? 0 时,求

x 的最大值. x ?1
2

解:

1 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立. 2 x 的取值范围. x ?1
2

【变式 2】当 x ? 0 时,求

? 1? ? 0, 2 ? ? ?

(选讲) 【例 4】求

x 2 ? 2x ? 1 , ( x ? 1) 的最小值. x ?1

解: 8 ,当且仅当 x ? 3 时等号成立. 小结:形如 f ( x ) ?

1 的最值,要注意检验 f ( x ) 的正负,并考察等号成立的条件. f ( x)
1 时的最大值. 2

【例 5】求 2 x(1 ? 2 x ) ,当 0 ? x ?

解:

1 1 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 4 4
1 时的最大值. (程度较好的班级可以先出此题) 2

【变式 1】求 x(1 ? 2 x ) ,当 0 ? x ?

解:

1 1 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 8 4 1 时的最大值. 2

【变式 2】求 3 x(1 ? 2 x ) ,当 0 ? x ?

解:

3 1 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 8 4 a cx ( b ? cx ) ,则 cx ? b ? cx ?b 为定值,可利用 c

小结:形如 ax(b ? cx ) 求最值,可变形为 基本不等式求解.

【例 6】若 x ? 0, y ? 0 ,且 4 x ? y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值. x y
-5-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

1 ? x? ? ? 6 解: (乘 1 法)最小值为 9 ,当且仅当 ? 时等号成立. ?y ? 1 ? 3 ?
注意:在这里连用两次基本不等式是错误的. 【变式 1】若 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值. x y

解: 2 ,当且仅当 ?

?x ? 1 时等号成立. ?y ? 1
2 3 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y

【变式 2】若 x ? 0, y ? 0 ,且

解: 5 ? 2 6 ,当且仅当 ?

? ?x ? 2 ? 6 时等号成立. ? ?y ? 3 ? 6

小结:乘 1 法即把已知条件中的“1”乘在所求式子后面,达到出现“互倒和”形式的目的. 【课堂练习】 1.已知 0 ? x ? 1 ,求当 x 取何值时,

x(1 ? x) 的值最大.
最大值为

x ? 0.5

2.正数 x, y, x ? y ? 1 ,求 xy 的最大值. 3.设 x ? R , 求 2 x ?
?

1 4

8 的最小值. x ?1

最小值为 6

(选做)4.设 x ? 2, 求 【课后作业】 1. 当 x ? 0 时, x ? 当 x ? 0 时, x ?

x2 ? 4 x ? 5 的最小值. 2x ? 4

最小值为 1

1 1 的范围是 ?2,??? ;当 x ? 0 时, x ? 的范围是 ?? ?,?2?; x x

1 的范围是 ?? ?,?2? ? ?2,??? x 1 2. 若 a ? 3 ,则 a ? 有最__小___值,是____5_____,此时 a =___4____. a ?3
若 x ? 0 ,则

x2 ? 9 有最__大___值,是____-6______,此时 x =___-3____. x
2

3. 对任意实数 x, x ?

4 ? 3 ,等号成立的条件是____ x ? ?1 __________. x ?1
2

4. 代数式 x(4 ? x) 有最____大____值,是____4____,此时 x =____2___.

-6-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

5.已知 x ? ?1 ,求当 x 取何值时, x ? 解:当且仅当 x ? 1 时, x ?

4 的值最小. x ?1

4 的值最小值是 3 x ?1

6.已知 x, y ? R ? ,且 x ? y ? 1 ,求

1 2 ? 的最小值,并指出此时 x, y 的取值. x y

解: 3 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 ?1, y ? 2 ? 2 时,等号成立 7.当 x ? 0 时,求

3x 的最大值. x ?4 3x 3 解:当且仅当 x ? 2 时, 2 的最大值是 4 x ?4
2

8. 设 a, b ? R, 且a 2 ? b2 ? 1,求 ab 及 a ? b 的取值范围. 解: [?

1 1 , ],[ ? 2, 2] 2 2

-7-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

2.4 基本不等式及其应用(3)
【教学目标】 知识目标: 基本不等式的应用,不等式证明及应用题. 能力目标: 掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力. 情感目标: 体会数学知识的逻辑性和灵活性,提高数学思维. 【教学过程】
2 2 2 【例 1】求证:对任意实数 a, b, c ,有 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,当且仅当 a ? b ? c 时

等号成立.

【例 2】若 x, y ? R? ,且 x ? y ? 1 ,求证: (1) xy ?

1 ; 4

(2) ? 1 ?

? ?

1 ?? 1? ?1? ? ? 9 ; ? x ?? y?
4 4

(选讲) (3) x ? y ?

1 . 8

【例 3】某新建居民小区欲建一面积为 700 平方米的矩形绿地, 在绿地四周铺设人行道,设计要求绿地长边外人行道宽 3 米,短 边外人行道宽 4 米,如图所示,怎样设计绿地的长与宽,才能使 人行道的占地面积最小?(结果精确到 0.1 米) 解: 长 30.6 米, 宽 22.9 米, 此时人行道的占地面积最小为 414 .6 平方米.

4

绿地 3

【例 4】求证:周长相等的矩形中,正方形的面积最大. 证明:设矩形的周长为常数 C ,长与宽分别为 a , b , 则a ?b ?

b

C 为定值. 2

a

C a ? b 2 C2 ) ? 面积 S ? ab ? ( ,当且仅当 a ? b ? 时等号成立, 4 2 16
此时矩形为正方形,面积最大值为

C2 . 16
-8-

高一第一学期数学教案

基本不等式及其应用

【课堂练习】 1.已知 a, b, c ? R? ,求证: a ? b ? c ?

ab ? bc ? ca .

2.已知 x, y ? R? ,且 x ? 2 y ? 1 ,求证: xy ?

1 ,并指出等号成立的条件. 8

【课后作业】 1. 设 a, b, c ? R? ,求证:

b?c c?a a?b ? ? ?6 a b c

2. 已知 x, y ? R ? ,求 k ?

x? y x? y

的最大值.

解: 2 ,当且仅当 x ? y 时,等号成立

3. 直角三角形的面积为 4 cm ,求此三角形周长的最小值. 解: 4 2 ? 4(cm) ,当且仅当 a ? b ? 2 2cm 时,等号成立

2

4. 用一根长为 l 的铁丝制成一个矩形框架,当长、宽分别为多少时,框架的面积最大? 解:长、宽分别为

l l2 时,框架的最大面积为 4 16

5. 建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低造价是多少元? 解:1760 元,长 2 米、宽 2 米

-9-


推荐相关:

2.4基本不等式的应用(教案)

2.4基本不等式的应用(教案)_数学_高中教育_教育专区。高一第一学期数学教案 基本不等式及其应用 2.4 基本不等式及其应用(1)【教学目标】 知识目标: 1.引入两个...


2.4(2)基本不等式及其应用

2.4(2)基本不等式及其应用_数学_高中教育_教育专区。高一数学 第二章 不等式 2.4(2)基本不等式及其应用 b?R ) 【教学目标】 1、 进一步掌握两个基本不等式:...


数学:第2章《不等式》学案(沪教版高一上)

数学:第2章《不等式》教案... 数学:2.2《一元...数学:2.4基本不等式及其... 数学:2.4《截距法解...2x ? 答案:C 【常见误区】 1.在运用均值不等式...


课堂教学中的预设与生成--基本不等式教学案例(魏巍)+2014年5月12日

2.4 运用规律、解决问题 师:基本不等式与我们学习过的其它公式有所不同。我们...强调生成的动态性, 意味着上课不是执行教案而是教案 再创造的过程;不是把心思...


中职数学(基础模块)教案

不等式的基本性质 知识目标:⑴理解不等式的基本性质;⑵了解不等式基本性质的应用...次不等式的解法. 教学难点:一元二次不等式的解法. 课时安排:2 课时. 2.4 ...


不等式教案

[生]设这棵树至少生长 x 年其树围才能超过 2.4 m,得 3x+5>240 议一议 ...●教学重点 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不...


高一数学基本不等式及其应用2

三、课堂小结 略四、作业布置 1、习题 2.4 1、2、4、7 2、思考题 均值不等式链的几何解释. 五、教学设计说明 本堂课是《基本不等式及其应用》的第二节课,...


高一上教案03不等式

数学:2.4基本不等式及... 暂无评价 5页 2下载券 高一上教案-2.5-不等式的...教学重点、难点:应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明,特别是反证法...


2014新北师大版八年级数学下册第二章不等式教案

2014新北师大版八年级数学下册第二章不等式教案_数学...3 ㎝, 这棵树至少生长多少年其树围才能超过 2.4m...难点:不等式性质3的应用。 【学习过程】 模块一 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com