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第一讲 元素与集合


第一讲
一.集合的概念

元素与集合

集合是一个原始的概念,是数学中一个不定义的概念.尽管如此,对一个具体的集合而言, 很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示. 用描述法表示一个集合基于下面的概括原则: 概括原则 象,即 对任给的一个性质 P,存在一个集合 S,它的元素恰好是具有性质 P 的所有对<

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S={ x P( x) } ,

其中 P ( x) 表示“ x 具有性质 P” . 由此,我们知道集合的元素是完全确定的,同时它的元素之间具有互异性和无序性. 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集, 元素个数为无限数的集合称为无限集. 如果有 限集 A 的元素个数为 n,则称 A 为 n 元集,记作 A ? n .空集不含任何元素. 例1 设集合 M={ x

ax ? 5 ? 0} x2 ? a

(1)当 a ? 4 时,化简集合 M; (2)若 3 ? M ,且 5 ? M ,求实数 a 的取值范围.

由概括原则我们知道, 判断一个对象 x 是否为集合 S 的元素, 等价于判断 x 是否具有性质 P .

例2

设 A 是两个整数平方差的集合,即 A ? x x ? m2 ? n 2 , m, n ? Z .证明:

?

?

(1)若 s, t ? A ,则 st ? A . (2)若 s, t ? A , t ? 0 ,则

s ? p 2 ? q 2 ,其中 p, q 是有理数. t

二、集合与集合的关系 在两个集合的关系中,子集是一个重要的概念,它的两个特例是真子集和集合相等.从下面 “充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的: 子 集: A ? B ? 对任意 x ? A ,恒有 x ? B ;

真子集: A

B ??

A? B ? ; ?且存在x'? B,但x'? B

集合相等:A=B ? A ? B ,且 B ? A . 容易证明两个集合关系的如下性质: 1. ? ? A, ? A(A≠ ? ) ;

2.A ? B,B ? C ? A ? C; 3. “元集 A 总共有 2 个不同的子集,有 2
n n ?1

个不同的真子集.

例 1 设集合 P ? m ? 1 ? m ? 0 ,Q ? m ? R mx2 ? 4mx ? 4 ? 0对任意实数 则下 x恒成立 , 列关系中成立的是( (A)P Q ) (B)Q P (C)P=Q (D)P ? Q= ?

?

?

?

?

解题切入: 导析:

正确理解集合 Q,并解出 Q.
2

2 对于 Q, 可设 f ( x) ? mx ? 4mx ? 4 , 由 m x ? 4m x ? 4 <0 恒成立, 知函数 f ( x)

图象全位于 x 轴下方, ①当 m ? 0 时, f ( x) ? ?4 显然成立; ②当 m ? 0 时,有 ?

?m ? 0 ? ?1 ? m ? 0 . ?? ? 0

由①、②知 Q ? m ? 1 ? m ? 0 ,故 P 即 A 正确. 评注:

?

?

Q.

利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一,在平常的学习

中要有意识强化这种重要数学思想的应用. 本题易错点: 容易忽略 m=0 的情况, 习惯地将 f ( x) 视为二次函数,从而出现漏解情况.

相关链接: (1)设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A 不包含于 B ②A 不包含于 B ③A 不包含于 B ④A 不包含于 B

? 对任意 x ? A 有 x ? B ; ? A∩B= ? ; ? A 不包含 B; ? 存在 x ? A 且 x ? B


其中正确命题的序号是 导析: 除③ 评注: 例2 本题综合考查集合的包含关系.

(举特例)取 A={1,2} ,B={1,3} ,排除①②;取 A={1} ,B= ? ,排

设集合 M ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R , N ? ( x, y) x 2 ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集 ) (C)3 (D)4

?

?

?

?

合 M∩N 中元素的个数为( (A)1 解题切入: (B)2

关键是分清数集与点集.
2 2 2

(数形结合) : M 是由单位圆 x ? y ? 1 上的点组成, 而 N 是由抛物线 y ? x 上的点组成. 画 图可知 M∩N 中的公共元素(即交点)有两个, 故选 B. 评注: 性. 相关链接: 设 A,B,I 为 3 个非空集合,且满足 A ? B ? I ,则以下各式中错误的是( (A) ( I A)∪B=I (C ) ( I B)∩A= ? (B) ( I A)∪( I B)=I (D) ( I A)∩( I B)= I B ) 利用数形结合思想,可避开复杂的运算过程,从而提高同学们的解题速度与准确

导析:由 A ? B 知( I A) ? I B, ∴( I A)∪( I B)= I A ∵A≠ ? , ∴ I A≠I,故 B 错.

例3

设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ( a, b ? R ) ,集合 A={ x x ? f ( x), x ? R } ,

B

={ x x ? f ? f ( x)?, x ? R } . (1)证明: A ? B ; (2)当 A={-l,3}时,求集合 B. 分析 欲证 A ? B ,只需证明方程 x ? f ( x) 的根必是方程 x ? f ? f ( x) ? 的根.

例 4

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 设关于 x 的不等式 x ? 和 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 ? 2 2

(a ? R) 的解集依次为 A、B,求使 A ? B 的实数 a 的取值范围.
分析 要由 A ? B 求出 a 的范围,必须先求出 A 和 B.





1.已知三元实数集 A= ?x, xy, x ? y?,B= 0, xy , y ,且 A=B,则 x 2005 ? y 2005 等于( (A)0