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第一讲 元素与集合


第一讲
一.集合的概念

元素与集合

集合是一个原始的概念,是数学中一个不定义的概念.尽管如此,对一个具体的集合而言, 很多情况下我们还是可以采用列举法或描述法给出它的一个准确而清晰的表示. 用描述法表示一个集合基于下面的概括原则: 概括原则 象,即 对任给的一个性质 P,存在一个集合 S,它的元素恰好是具有性质 P 的所有对<

br />
S={ x P( x) } ,

其中 P ( x) 表示“ x 具有性质 P” . 由此,我们知道集合的元素是完全确定的,同时它的元素之间具有互异性和无序性. 集合的元素个数为有限数的集合称为有限集, 元素个数为无限数的集合称为无限集. 如果有 限集 A 的元素个数为 n,则称 A 为 n 元集,记作 A ? n .空集不含任何元素. 例1 设集合 M={ x

ax ? 5 ? 0} x2 ? a

(1)当 a ? 4 时,化简集合 M; (2)若 3 ? M ,且 5 ? M ,求实数 a 的取值范围.

由概括原则我们知道, 判断一个对象 x 是否为集合 S 的元素, 等价于判断 x 是否具有性质 P .

例2

设 A 是两个整数平方差的集合,即 A ? x x ? m2 ? n 2 , m, n ? Z .证明:

?

?

(1)若 s, t ? A ,则 st ? A . (2)若 s, t ? A , t ? 0 ,则

s ? p 2 ? q 2 ,其中 p, q 是有理数. t

二、集合与集合的关系 在两个集合的关系中,子集是一个重要的概念,它的两个特例是真子集和集合相等.从下面 “充分必要条件”的角度来理解子集、真子集和集合相等的概念无疑是十分有益的: 子 集: A ? B ? 对任意 x ? A ,恒有 x ? B ;

真子集: A

B ??

A? B ? ; ?且存在x'? B,但x'? B

集合相等:A=B ? A ? B ,且 B ? A . 容易证明两个集合关系的如下性质: 1. ? ? A, ? A(A≠ ? ) ;

2.A ? B,B ? C ? A ? C; 3. “元集 A 总共有 2 个不同的子集,有 2
n n ?1

个不同的真子集.

例 1 设集合 P ? m ? 1 ? m ? 0 ,Q ? m ? R mx2 ? 4mx ? 4 ? 0对任意实数 则下 x恒成立 , 列关系中成立的是( (A)P Q ) (B)Q P (C)P=Q (D)P ? Q= ?

?

?

?

?

解题切入: 导析:

正确理解集合 Q,并解出 Q.
2

2 对于 Q, 可设 f ( x) ? mx ? 4mx ? 4 , 由 m x ? 4m x ? 4 <0 恒成立, 知函数 f ( x)

图象全位于 x 轴下方, ①当 m ? 0 时, f ( x) ? ?4 显然成立; ②当 m ? 0 时,有 ?

?m ? 0 ? ?1 ? m ? 0 . ?? ? 0

由①、②知 Q ? m ? 1 ? m ? 0 ,故 P 即 A 正确. 评注:

?

?

Q.

利用函数思想解决方程与不等式等问题是最常用的数学思想之一,在平常的学习

中要有意识强化这种重要数学思想的应用. 本题易错点: 容易忽略 m=0 的情况, 习惯地将 f ( x) 视为二次函数,从而出现漏解情况.

相关链接: (1)设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A 不包含于 B ②A 不包含于 B ③A 不包含于 B ④A 不包含于 B

? 对任意 x ? A 有 x ? B ; ? A∩B= ? ; ? A 不包含 B; ? 存在 x ? A 且 x ? B


其中正确命题的序号是 导析: 除③ 评注: 例2 本题综合考查集合的包含关系.

(举特例)取 A={1,2} ,B={1,3} ,排除①②;取 A={1} ,B= ? ,排

设集合 M ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R , N ? ( x, y) x 2 ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集 ) (C)3 (D)4

?

?

?

?

合 M∩N 中元素的个数为( (A)1 解题切入: (B)2

关键是分清数集与点集.
2 2 2

(数形结合) : M 是由单位圆 x ? y ? 1 上的点组成, 而 N 是由抛物线 y ? x 上的点组成. 画 图可知 M∩N 中的公共元素(即交点)有两个, 故选 B. 评注: 性. 相关链接: 设 A,B,I 为 3 个非空集合,且满足 A ? B ? I ,则以下各式中错误的是( (A) ( I A)∪B=I (C ) ( I B)∩A= ? (B) ( I A)∪( I B)=I (D) ( I A)∩( I B)= I B ) 利用数形结合思想,可避开复杂的运算过程,从而提高同学们的解题速度与准确

导析:由 A ? B 知( I A) ? I B, ∴( I A)∪( I B)= I A ∵A≠ ? , ∴ I A≠I,故 B 错.

例3

设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ( a, b ? R ) ,集合 A={ x x ? f ( x), x ? R } ,

B

={ x x ? f ? f ( x)?, x ? R } . (1)证明: A ? B ; (2)当 A={-l,3}时,求集合 B. 分析 欲证 A ? B ,只需证明方程 x ? f ( x) 的根必是方程 x ? f ? f ( x) ? 的根.

例 4

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 设关于 x 的不等式 x ? 和 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 ? 2 2

(a ? R) 的解集依次为 A、B,求使 A ? B 的实数 a 的取值范围.
分析 要由 A ? B 求出 a 的范围,必须先求出 A 和 B.





1.已知三元实数集 A= ?x, xy, x ? y?,B= 0, xy , y ,且 A=B,则 x 2005 ? y 2005 等于( (A)0 (B)2 (C)1 (D)-l

?

?

) .

2.集合 M ? u u ? 12m ? 8n ? 4l, m, n, l ? Z 与 N ? u u ? 20 p ? 16q ? 12r, p, q, r ? Z 的关 系为( ) . (B)M ? N,N ? M (C)M N (D)N M

?

?

?

?

(A)M=N

3. 设 A ? ?x, y ? 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2 ,B ? ?x, y ? x ? 10, y ? 2, y ? x ? 4 是直角坐标平面 xOy 上的点集.则 C ? ?? (A)6

?

?

?

?

?? x1 ? x 2 y1 ? y 2 , 2 2 ? ?
(B)6.5

? ? ? ( x1 , y1 ) ? A, ( x 2 , y 2 ) ? B ? 所成图形的面积是( ? ?
(C)2 ? (D)7

) .

4.已知非空数集 M ? {1,2,3,4,5} ,则满足条件“若 x ? M ,则 6 ? x ? M ”的集合 M 的个数是( (A)3 个 ) . (B)7 个 (C)15 个 (D)31 个 .

5.集合 ? x ? 1 ? log 1 10 ? ?

? ?

x

? 1 , x ? 1且x ? N ? 的真子集的个数是 2 ?

6 . 已 知 A ? x x 2 ? 4x ? 3 ? 0, x ? R , B ? x 2

?

?

?

1? x

? a ? 0, x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R . 若


?

A ? B ,则实数 a 的取值范围是
7 .已知 M ? x x ? a ? 1, a ? N
2

?

?

?, N ? ?x x ? b

2

? 4b ? 5, b ? N ? ,则 M 与 N 的关系

?





8.非空集合 S 满足: (1)S ? {1,2,?,2n+1} ,n? N ; (2)若 a ? S ,则有 2n ? 2 ? a ? S . 那么,同时满足(1) 、 (2)的非空集合 S 的个数是 .
?

9.集合 A ? ?x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ?,计算 A 中的二元子集两元素之和组成集合 B={3,4,5,6, 7,8,9,10,11,13} .则 A= .

10.设集合 M={1,2,3,?,1000} ,现对 M 的任一非空子集 X,令 a X 表示 X 中最大数与 最小数之和.求所有这样的 a X 的算术平均值.

11.用 ? ( x ) 表示非空的整数集合 S 的所有元素的和.设 A={ a1 , a 2 ,?, a11 }是正整数的集合, 且 a1 ? a2 ? ? ? a11 ;又设对每个正整数 n≤1500,都存在 A 的子集 S,使得 ? ( x) =n.求 a10 的最小可能值. 分析 要求 a10 的最小值,显然应使 ? ( x) =1500.又由题设,应使 a11 尽可能大,且前 10 个

数之和不小于 750,故取 a11 =750.考虑整数的二进制表示,由 1+2+?+27=255 知,前 8 个 数应依次为 1,2,4,8,16,32,64,128.这时 a9 ? a10 =495,从而有 a10 =248.

1.设 E={1,2,3,?,200},G={ a1 , a2 ,?, a100 } ? E,且 G 具有下列两条性质: (1)对任何 1≤i<j≤100,恒有 ai ? a j ? 201; (2)

?a
i ?1

100

i

? 10080.

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数字的平方和为一个定数. 跟着的是死算, 我 x a1^2+a2^2+……+a100^2+(201-a1)^2+(201-a2)^2+……+(201-a100)^2=200x(20 0+1)x(2x200+1)/6=2686700 平 方和公式------↑ 2(a1^2+a2^2+……+a100^2)-402(a1+a2+……+a100) + 100x(201^2) = 2686700 ==> a1^2+a2^2+……+a100^2=1349380 因为奇数的平方除以 4 余 1 , 偶数的平方被 4 整除, 而 1349380 除以 4 余 0,也就是说 1349380 被 4 整除 那么 G 中奇数必定是 4 的倍数,才满足平方和被 4 整除

2.称有限集 S 的所有元素的乘积为 S 的“积数” ,给定数集 M={ 所有含偶数个元素的子集的“积数”之和.

1 1 1 , ,?, }.求集 M 的 2 3 100

构造函数 F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知 X,X^3,X^5...X^97 的系数和 即为数集 M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和; 设 F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99; 则 F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100; F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2; 所以 a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200 选 A。

这了打字方便,先规定个符号,记含有 n 个元素的子集的积数合为 An, 构建函数 f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)??(x+1/100) 则 f(1)=3/2*4/3*5/4*??*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*(-99/100)=-1/100 将 f(x)展开得 f(x)=x^99+A1x^98+A2x^97+??+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+??+A99=101/2 f(-1)=-1+A1-A2+A3-??-A98+A99=-1/100 设 A1+A3+A5+??A99=m,A2+A4+A6+??+A98=n 则 1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得 n=50.51 即为答案

3.考虑实数 x 在 3 进制中的表达式.K 是区间[0,1]内所有这样的数 x 的集合,并且 x 的每位数 字是 0 或 2.如果 S= x ? y x, y ? K ,求证:S= z 0 ? z ? 2 =[0,2].

?

?

?

?

4.设 S={1,2,3,4}, n 项的数列: a1 , a2 ,?, an 有如下性质:对于 S 的任何一个非空子集 B (B 的元素个数记为 B ) ,在该数列中有相邻的 B 项恰好组成集合 B.求 n 的最小值.

首先证明 S 中的每个数在数列 a1,a2,?,an 中至少出现 2 次.事实上,若 S 中 的某个数在这个数列中只出现 1 次,由于含这个数的二元子集共有 3 个,但在数列 中含这个数的相邻两项至多只有两种取法,因而 3 个含这个数的二元子集不可能都 在数列相邻两项中出现. 由此可见 n≥8. 另一方面,8 项数列:3,1,2,3,4,1,2,4 满足条件,因此,所求最小值 为 8.

5.设集合 M={1,2,3,?,1000},现对 M 的任一非空子集 X,令 ?x 表示 X 中最大数与最 小数之和.求所有这样的 ?x 的算术平均值.

对于任意一个集合,用 1001 减去每个元素的值,得到一个新集合。如果这个集合就 是原来的集合,那么这个集合一定是由一对对加起来是 1001 的数组成,显然最大最 小之和是 1001.如果不是的话,这两个集合的最大最小(共四个数)之和是 2002, 而且这两个集合对应,平均数也是 1001.所有的集合只有这两种,所以 1001
解: 将 M 中非空子集进行配对,对每个非空子集 X 包含于 M,令 X'={1001-x| x 属于 x},则当 X1 也是 M 的非空子集,且 X 不等于 X1 时,有 X'不等于 X'1,于是所有非空子集除{1,2,3,...,1000}以外,分两类: (1)X'不等于 X, (2)X'=x. 对于(2)中的 X,必有 a(x)=1001. 对于(1)中的每一对 X 与 X',有 a(x)+a(x')=1001×2=2002. 由此可见,所有 a(x)的算术平均值为 1001.

6.设 S 为满足下列条件的有理数集合: (1)若 a ? S , b ? S ,则 a ? b ? S , ab ? S ; (2)对任一个有理数 r,3 个关系 r ? S ,?r ? S , r ? 0 中有且仅有一个成立. 证明:S 是由全体正有理数组成的集合.

定义满足如果 a∈A,b∈A ,那么 a± b∈A,且 ab∈A,且 a/b∈A 的集合 A 为“闭集”, N,Z,Q,R 是否为闭集? 举反例就可 对 N 为自然数: 令 a=1,b=2 ,因为 a/b=1/2 不属于 N ,所以 N 不是闭集 对 Z 为整数: 令 a=1,b=2,因为 a/b=1/2 不属于 Z ,所以 Z 不是闭集 对 Q 显然 有理数和有理数的四则运算都为有理数,所以 Q 是闭集 R 时实数,显然是闭集

7 . S1 , S 2 , S 3 为非空整数集合,对于 1 、 2 、 3 的任意一个排列 i, j , k ,若 x ? Si , y ? S j ,则

x ? y ? Sk ;
(1)证明:3 个集合中至少有两个相等. (2)3 个集合中是否可能有两个集合无公共元素?

设 x ∈ s1,且 y ∈ s2 那么 x-y ∈s3。 根据已知条件, 因为 x-y ∈ s3,且 x ∈ s1 所以-y ∈ s2。 同理可证,-x ∈ s1,以及 y-x∈ s3 因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对(一正一负)出现的。 容易知道,x+y ∈ s3,-x-y∈ s3。 如果某个集合(如 S2)中含有元素 0,那么由 x-0=x,知道 S1 和 S3 的元素全 部相同,S1=S3。 如果 x(∈ S1),y(∈ S2)都不是 0, 那么 S3 中的元素 x+y 和 x-y 中必有一个的绝对值小于 x 和 y 中绝对值较大的一个 (分 同号和异号讨论)。 设|x|>|x-y|,那么取 S2 中的 y 和 S3 中的 x-y 重复使用上述规则, 从而得到一串绝对值递减的数列:|x|,|x-y|,|x-2y|,…… 但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到 0(无穷递降法)。 所以,我们证明了必然有一个集合中含有 0 元素。

8.若 x ≥1, x x ? x0 , x0 ? (k k , (k ? 1) k ?1 ) ? Q ,其中 k ? N .求证: x ? Q C . (其中, Q 为
*

有理数集, Q C 为无理数集)

集合与函数综合问题 例 1、数集 M 由 2003 个不同的实数组成,对于 M 中任何两个不同的元素 a 和 b,数 是有理数.证明:对于数集 M 中任何一个数 a, (2003 年俄罗斯数学奥林匹克试题) 都是有理数. 都

[分析及答案] 分析:欲证

是一个有理数,只需把

表示为几个有理数的和即可.

证明:设 a,b,c 是数集 M 中任意三个两两不同的元素,由题设知

都是有理数,于是

是有理数.

是有理数,从而

是有理数,进而

是有理数.所以

是有理数.

例 2、 称有限集 S 的所有元素的乘积为 S 的“积数”. 给定数集 有含偶数个元素的子集的“积数”之和. [分析及答案] 分析:数集 M 的所有子集的积数之和为

求数集 M 的所

设数集 M 的所有含偶数个元素的子集的积数和为 x,所有含奇数个元素的子集的积数之和为 y,



只需再建立一个关于 x,y 的方程,就可解出 x,y.

解答:设数集 M 的所有含偶数个元素的子集的积数之和为 x,所有含奇数个元素的子集的积数 之和为 y,则

构造函数 F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*...*(x-1/100),由定义可知 X,X^3,X^5...X^97 的系数和 即为数集 M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和; 设 F(X)=a0+a1*x+a2*x^2+....a98*x^98+x^99; 则 F(1)=a0+a1+....+a98+1=1/2*2/3*...*99/100=1/100; F(-1)=a0-a1+.....+a98-1=-3/2*4/3*...100/99*101/100=-101/2; 所以 a1+a3+...+a97=[F(1)-F(-1)-2]/2=4851/200 选 A。

这了打字方便,先规定个符号,记含有 n 个元素的子集的积数合为 An, 构建函数 f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)??(x+1/100) 则 f(1)=3/2*4/3*5/4*??*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*(-99/100)=-1/100 将 f(x)展开得 f(x)=x^99+A1x^98+A2x^97+??+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+??+A99=101/2 f(-1)=-1+A1-A2+A3-??-A98+A99=-1/100 设 A1+A3+A5+??A99=m,A2+A4+A6+??+A98=n 则 1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得 n=50.51 即为答案

例 3、设集合 Sn={1,2,…,n}.若 X 是 Sn 的子集,把 X 中的所有数的和称为 X 的“容量”(规 定空集的容量为 0) .若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集. (1)求证:Sn 的奇子集与偶子集个数相等; (2)求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等; (3)当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.(1992 年全国高中数学联赛试题) [分析及答案] 分析:要证明两个集合的元素的个数一样多,一种方法是直接把这两个集合的元素个数算出来, 另一种方法是在这两个集合之间建立一个一一对应.本题我们将用后一种方法来解. 解答: (1)设 A 是 Sn 的任一奇子集,构造映射 f 如下:

(注:A—{1}表示从集合 A 中去掉 1 后得到的集合) 所以,映射 f 是将奇子集映为偶子集的映射. 易知,若 A1,A2 是 Sn 的两个不同的奇子集,则 f(A1)≠f(A2) ,即 f 是单射. 又对 Sn 的每一个偶子集 B, 若 1∈B, 则存在 A=B\{1}, 使得 ( f A) =B; 若 , 则存在

使得 f(A)=B,从而 f 是满射. 所以,f 是 Sn 的奇子集所组成的集到 Sn 的偶子集所组成的集之间的一一对应,从而 Sn 的奇子

集与偶子集个数相等,故均为

个.

(2)设 an(bn)表示 Sn 中全体奇(偶)子集容量之和. 若 n(≥3)是奇数, 则 Sn 的奇子集由如下两类: ( 1) Sn-1 的奇子集; (2) Sn-1 的偶子集与集{n} 的并,于是得 an=an-1+(bn-1+n·2n-2) ,① 又 Sn 的偶子集可由 Sn-1 的偶子集和 Sn-1 的奇子集与{n}的并构成,所以 bn = bn-1+(an-1+n·2n-2) ,② 由①,②,便得 an= bn. 若 n(≥4)是偶数,同上可知 an=an-1+(an-1+n·2n-2) , bn = bn-1+(bn-1+n·2n-2) , 由于 n-1 是奇数,由上面已证 an-1= bn-1,从而 an = bn. 综上即知,an = bn,n=3,4? (3)由于 Sn 的每一个元素均在 2n-1 个 Sn 的子集中出现,所以,Sn 的所有子集容量之和为 2n-1(1+2+?+n)=2n-2n(n+1). 又由(2)知,an=bn,所以

说明(2)的证明中,建立了递推关系.这也是解决“计数”问题的一个有效方法.

例 4、设 A 是集合 S={1,2,…1000000}的一个恰有 101 个元素的子集.证明:在 S 中存在数 t1, t2,…t100,使得集合 际数学奥林匹克试题) [分析及答案] 证明:考虑集合 D={x-y|x,y∈A},则 中,每两个的交集为空集. (2003 年国



,设

,则 a=x+ti,a=y+tj,其中 x,y∈A,则 ti-tj=y-x∈D.

若 ti-tj∈D,即存在 x,y∈A,使得 ti-tj=y-x,从而 x+ti= y+tj,即 所以, 的充要条件是 ti-tj∈D.于是,我们只需在集合 S 中取出 100 个元素,使得

其中任意两个差都不属于 D. 下面用递推方法来取出这 100 个元素. 先在 S 中任取一个元素 t1,再从 S 中取一个 t2,使得 这是因为取定 t1

后,至多有 10101 个 S 中的元素不能作为 t2,从而在 S 中存在这样的 t2.若已有 k(≤99)个 S 中 的元素 t1,t2,?,tk 满足要求,再取 tk+1,使得 t1,?,tk 都不属于 tk+1+D={ tk+1+x|x ∈D},这是因为 t1,t2,?,tk 取定后,至多有 10101k≤999999 个 S 中的数不能作为 tk+1, 故在 S 中存在满足条件 tk+1.所以,在 S 中存在 t1,t2,?,t100,其中任意两个的差都不属 于 D. 综上所术,命题得证. 说明:条件|S|=106 可以改小一些.一般地,我们有如下更强的结论: 若 A 是 S={1,2,?,n}的 k 元子集,m 为正整数,满足条件 n>(m-1) t1,?,tm,使 Aj={x+tj|x∈A},j=1,?m 中任意两个的交集为空集. 则存在 S 中的元素

例 5、求函数 解答:由题设可得 x2-3x+2=y2-2xy+x2, 即(2y-3)x=y2-2.

的值域. (2001 年全国高中数学联赛试题) ,所以

由上式知



故 x0≤1,于是

综上,所求的函数的值域为

说明:我们先求出了 y 的范围

,这是不是函数的值域呢?第二部分说明了对于

中的任意一个数 y0,总存在一个 x0,使得

,这就证明了

函数的值域是


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