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第十三篇 推理证明、算法、复数第1讲 合情推理与演绎推理


第1讲
【2013 年高考会这样考】

合情推理与演绎推理

演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

1.从近年来的新课标高考来看,高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现,主 要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论,试题的难度以低、中档题 为主. 2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题. 【复习指导】 本讲复习时, 要注意做好以下两点: 一要联系具体实例, 体会和领悟归纳推理、 类比推理、 演绎推理的原理、内涵及特点,并会用这些方法分析、解决具体问题.二由于归纳、类比、 演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系, 所以复习时要有意识地培养逻辑分析 等方面的训练.

一条规律 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则,只抓住一点表面 现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误. 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证 明. (2)演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严 基础梳理 密性,书写格式的规范性. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 解析 答案 B.32 C.33 D.27 ).

1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等差数列,所以 x=20+12=32. B

2.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○?,按 这种规律往下排,那么第 36 个圆的颜色应是( A.白色 C.白色可能性大 解析 ). B.黑色 D.黑色可能性大

由题干图知, 图形是三白二黑的圆周而复始相继排列, 是一个周期为 5 的三白二黑

2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为
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的圆列,因为 36÷ 5=7 余 1,所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同,即白色. 答案 A

3.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 解析 答案 B.1 ③正确. B ). C.2 D.3

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析 根据题意知,分子都是 x,分母中的常数项依次是 2,4,8,16,?可知 fn(x)的分母中

x 常数项为 2n,分母中 x 的系数为 2n-1,故 fn(x)= n . ?2 -1?x+2n 答案 x . ?2 -1?x+2n
n

?1? 4.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=?3?x 是指数函数(小前提),所以函数 y ? ? ?1? =?3?x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ? ? A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 解析 “指数函数 y=ax 是增函数”是本推理的大前提,它是错误的,因为实数 a 的取值 ).

考向一 【例 1】?观察下列等式:

归纳推理

可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含有 n 的代数式表示). [审题视点] 第二列的右端分别是 12,32,62,102,152,与第一列比较可得. 解析 第二列等式的右端分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,∵1,3,6,10,15,?第 n 项

范围没有确定,所以导致结论是错误的. 答案 A x (x>0) x+2

an 与第 n-1 项 an-1(n≥2)的差为:an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,?, an-an-1=n,各式相加得, an=a1+2+3+?+n,其中 a1=1,∴an=1+2+3+?+n,即 an= +1)2. 答案 1 2 2 4n (n+1) 所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规 律,从而得到一般结论. 【训练 1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5+ 12.5<
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5.(2011· 山东)设函数 f(x)= 观察:f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x))= f3(x)=f(f2(x))= x , x+2

n?n+1? 2 1 ,∴an=4n2(n 2

x , 3x+4 x , 7x+8

x f4(x)=f(f3(x))= ,?? 15x+16

2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m,n 都成立的条件不等式________. 解析 观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开方数的和等于 20,不等式


考向三

演绎推理

n+2 【例 3】?数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈N+).证明:
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

的右边都是 2 10,因此对正实数 m,n 都成立的条件不等式是:若 m,n∈R ,则当 m+ n=20 时,有 m+ n<2 10. 答案 若 m,n∈R+,则当 m+n=20 时,有 m+ n<2 10 考向二 类比推理 【例 2】?在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三 1 角形面积为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四 个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”. [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出 结论. 解析 三角形的面积类比为四面体的体积, 三角形的边长类比为四面体四个面的面积, 内
四面体

(2)Sn+1=4an. [审题视点] 在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完 成.大前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省略,而采取 某种简明的推理模式. 证明 n+2 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴ Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1
? ?

?Sn? 故? n ?是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论)

1 1 切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中2类比为三维图形中的3,得 V +S2+S3+S4)r. 答案 1 V 四面体 ABCD=3(S1+S2+S3+S4)r.

ABCD=

1 3(S1

(大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· ·n-1 S n-1 n-1 =4an(n≥2),(小前提) 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

(1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有 的认识为基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 【训练 2】 已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m<n,m,n∈N*), b· n-a· m 则 am+n= ”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且 bm=a,bn=b(m<n, n-m m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到 bm+n=________. 答案 ?b? n ? a·a? ? ?n-m
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演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题 时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.

【训练 3】 已知函数 f(x)= (1)判定函数 f(x)的奇偶性;

2x-1 (x∈R). 2x+1

归纳推理与类比推理. 一、归纳推理 【示例】? (2011· 陕西)观察下列等式 1=1
x x

(2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明. 解 (1)对?x∈R 有-x∈R,并且 f(-x)= 2 -1 1-2 2 -1 = =-f(x),所以 f(x)是奇 -x x=- x 2 +1 1+2 2 +1
-x

2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为________.

函数. (2)法一 f(x)在 R 上单调递增,证明如下: 任取 x1,x2∈R,并且 x1>x2, f(x1)-f(x2)= = = 2x1-1 2x2-1 - 2x1+1 2x2+1

?2x1-1??2x2+1?-?2x2-1??2x1+1? ?2x1+1??2x2+1? 2?2x1-2x2? . ?2x1+1??2x2+1?

∵x1>x2,∴2x1>2x2>0, 即 2x1-2x2>0,又∵2x1+1>0,2x2+1>0. 2?2x1-2x2? ∴ >0. ?2x1+1??2x2+1? ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在 R 上为单调递增函数. 法二 2x 1ln x f′(x)= x >0 ?2 +1?2


二、类比推理 【示例】? 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数 T16 列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,______,T 成
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等比数列.

∴f(x)在 R 上为单调递增函数.

难点突破 25——高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比推理的考查主要以填空题的形 式出现,难度为中等,常常以不等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查
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