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2013-2014学年河南省安阳一中高一(下)期末数学试卷解析


2013-2014 学年河南省安阳一中高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?南昌校级模拟)已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,那么 tanα 的值等 于( A. ﹣ ) B. ﹣ C. D.

2. (5 分)

(2014 春?文峰区校级期末)已知向量 =(1,2) , =(2,﹣1) ,下列结论中不 正确的是( A. ∥ ) B. ⊥ C.| |=| | D. | + |=| ﹣ |

3. (5 分) (2004?陕西)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168 D.192



4. (5 分) (2014?长安区校级三模)等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an} 前 9 项的和 S9 等于( ) A.99 B.66 C.297 D.144 5. (5 分) (2013 秋?珠海期末)在△ ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于( A.1:2:3 B.3:2:1 C.2: :1 D.1: :2 6. (5 分) (2014?天津学业考试)在△ ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则其面积等于( A.12 B. C.28 D. )



7. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)下列各函数中,最小值为 2 的是( ) A. B. y=x+ y=sinx+ ,x∈(0,2π) C. y= D.y= + ﹣2

8. (5 分) (2011?高州市校级模拟)若﹣2x +5x﹣2>0,则 ( ) A.4x﹣5

2

等于

B.﹣3

C.3
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D.5﹣4x

9. (5 分) (2013 秋?和平区期末) 要得到函数 的图象( ) A. 向右平移 个单位 C. 向右平移 个单位

的图象, 只需将函数 y=cos2x

B.

向左平移

个单位 个单位

D. 向左平移

10. (5 分) (2004?湖南)已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 大值,最小值分别是( ) A.4 ,0 B.4,4 C.16,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最

D.4,0

11. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 2 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m 等于( ) A.38 B.20 C.10 D.9

12. (5 分) (2014?城厢区校级一模)△ ABC 的外心为 O,AB=2,AC=3,BC= 等于( A. ) B.3 C.2 D.

,则

?

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末) 设 x, y∈R 且 + =1, 则 x+y 的最小值为
+



14. (5 分) (2014?顺义区二模)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小

值为

. }为等

15. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ 差数列,则 a5= .

16. (5 分) (2014?河南)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测 点,从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°,以及∠ MAC=75°;从 C 点 测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.
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三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ )求 cosB 的值; (Ⅱ )边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 18. (12 分) (2013 春?扬州期末)已知 cosβ=﹣ ,sin(α+β)= ,α∈(0, π) . (1)求 cos2β 的值; (2)求 sinα 的值. 19. (12 分) (2014?河南)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.
2

) ,β∈(



20. (12 分) (2014?赫山区校级模拟)设向量 =( ]. (1)若| |=| |,求 x 的值;

sinx,sinx) , =(cosx,sinx) ,x∈[0,

(2)设函数 f(x)= ? ,求 f(x)的最大值及单调递增区间. 21. (12 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A﹣B) cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣ . (Ⅰ )求 sinA 的值; (Ⅱ )若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

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22. (12 分) (2014?房山区一模)在等差数列{an}中,a1+a2=7,a3=8.令 bn=

,数列

{bn}的前 n 项和为 Tn. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式和 Tn; (Ⅱ )是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 的 m,n 的值;若不存在,请说明理由.

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2013-2014 学年河南省安阳一中高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015?南昌校级模拟)已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,那么 tanα 的值等 于( A. ﹣ ) B. ﹣ C. D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 分析: 由角的正弦值和角所在的象限, 求出角的余弦值, 然后, 正弦值除以余弦值得正切值. 解答: 解:∵ sinα= 且 α 是第二象限的角,
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∴ ∴

, ,

故选 A 点评: 掌握同角三角函数的基本关系式,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值 及恒等式证明.本题是给值求值.

2. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)已知向量 =(1,2) , =(2,﹣1) ,下列结论中不 正确的是( A. ∥ ) B. ⊥ C.| |=| | D. | + |=| ﹣ |

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量模的求法、向量平行、垂直的条件逐项判断可得答案. 解答: 解:∵ =(1,2)?(2,﹣1)=2﹣2=0,∴ ,故 B 正确;
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, , 故 D 正确;

,∴

,故 C 正确; , ∴ ,

因为 1×(﹣1)﹣2×2=﹣5≠0,所以 与 不平行,所以 A 错误,
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故选 A. 点评: 本题考查平面向量垂直、平行的充要条件,属基础题,熟记有关条件是解决问题的关 键. 3. (5 分) (2004?陕西)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168 D.192 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质可知
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等于 q ,列出方程即可求出 q 的值,利用

3

即可求出 a1

的值, 然后利用等比数列的首项和公比, 根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出{an} 的前 4 项和. 解答: 3 解:因为 = =q =27,解得 q=3

又 a1=

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值, 是一 道中档题. 4. (5 分) (2014?长安区校级三模)等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an} 前 9 项的和 S9 等于( ) A.99 B.66 C.297 D.144 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 已知两式相加结合等差数列的性质可得(a1+a9)=22,整体代入求和公式可得. 解答: 解:∵ a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴ 两式相加可得 (a1+a9) + (a4+a6) + (a3+a7) =3 (a1+a9) =39+27=66, 解之可得 (a1+a9) =22,
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故 S9=

=

=99,

故选:A. 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,得出(a1+a9)=22 是解决问题的关键,属中档 题. 5. (5 分) (2013 秋?珠海期末)在△ ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于( A.1:2:3 B.3:2:1 C.2: :1 D.1: :2
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考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形内角和定理,结合 A:B:C=1:2:3,算出 A=
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,B=

且 C=

,从 ,

而得出△ ABC 是直角三角形. 由三角函数在直角三角形中的定义算出 c=2a 且 b= 即可得到 a:b:c 的值. 解答: 解:∵ 在△ ABC 中,A:B:C=1:2:3, ∴ 设 A=x,则 B=2x,C=3x, 由 A+B+C=π,可得 x+2x+3x=π,解之得 x= ∴ A= ,B= 且 C= ,可得△ ABC 是直角三角形 =

∵ sinA= = ,∴ c=2a,得 b=

因此,a:b:c=1: :2 故选:D 点评: 本题给出三角形三个角的比值,求它的三条边之比.着重考查了三角形内角和定理、 三角函数在直角三角形中的定义等知识,属于基础题. 6. (5 分) (2014?天津学业考试)在△ ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则其面积等于( A.12 B. C.28 D. )

考点: 解三角形;正弦定理的应用;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 已知三条边长利用余弦定理求得 cosC= ,再利用同角三角函数的基本关系求得
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sinC=

,代入△ ABC 的面积公式进行运算.

解答: 解:在△ ABC 中,若三边长分别为 a=7,b=3,c=8, 由余弦定理可得 64=49+9﹣2×7×3 cosC, ∴ cosC= , ∴ sinC= ∴ S△ABC= , = ,

故选 D. 点评: 本题考查余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,求出 sinC= 关键.
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的值是解题的

7. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)下列各函数中,最小值为 2 的是( ) A. B. y=x+ y=sinx+ ,x∈(0,2π) C. y= D. y= + ﹣2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 通过举反例,排除不符合条件的选项 A、B、C,利用基本不等式证明 D 正确,从而 得出结论. 解答: 解:当 x=﹣1 时,y=x+ =﹣2,故排除 A.当 sinx=﹣1 时,y=sinx+ =﹣2,故排
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除 B. 当 x=0 时,y= = ,故排除 C.

对于 y=

+

﹣2, 利用基本不等式可得 y≥2

﹣2=2, 当且仅当 x=4 时, 等号成立,

故 D 满足条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成立 的条件.通过举反例,排除不符合条件的选项,得到符合条件 的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题.
2

8. (5 分) (2011?高州市校级模拟)若﹣2x +5x﹣2>0,则 ( ) A.4x﹣5

等于

B.﹣3

C.3

D.5﹣4x

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 2 先由﹣2x +5x﹣2>0 得出 x 的取值范围,再将
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化简成:|2x

﹣1|+2|x﹣2|的形式,最后利用绝对值的定义化简即得. 2 解答: 解:由﹣2x +5x﹣2>0 得: <x<2. ∴ 则 =|2x﹣1|+2|x﹣2| =2x﹣1+2(2﹣x) =3.
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故选 C. 点评: 本小题主要考查函数的值、根式、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,属 于基础题.

9. (5 分) (2013 秋?和平区期末) 要得到函数 的图象( ) A. 向右平移 个单位 C. 向右平移 个单位

的图象, 只需将函数 y=cos2x

B.

向左平移

个单位 个单位

D. 向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 设 y=f(x)=cos2x,可求得 f(x﹣ )=cos(2x﹣
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) ,从而得到答案.

解答: 解:设 y=f(x)=cos2x, 则 f(x﹣ )=cos2(x﹣ )=cos(2x﹣ ) , 个单

∴ 要得到函数 y=cos(2x﹣

)的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象向右平移

位, 故选 C. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,属于中档题.

10. (5 分) (2004?湖南)已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 大值,最小值分别是( ) A.4 ,0 B.4,4 C.16,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最

D.4,0

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 分析: 先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值.
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解答: 解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= =

,2sinθ+1) ,

,最大值为 4,最小值为 0.

故选 D. 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,三角函数的最值,是中档题.

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11. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 2 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m 等于( ) A.38 B.20 C.10 D.9 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 可得:am﹣1+am+1=2am,代入 am﹣1+am+1﹣am =0 中,即可求出第 m 项的值,再由求和 公式代入已知可得 m 的方程,解之可得. 解答: 解:根据等差数列的性质可得:am﹣1+am+1=2am,
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则 am﹣1+am+1﹣am =am(2﹣am)=0, 解得:am=0 或 am=2, 若 am 等于 0,显然 S2m﹣1= =(2m﹣1)am=38 不成立,故有 am=2, ∴ S2m﹣1=(2m﹣1)am=4m﹣2=38, 解得 m=10. 故选 C 点评: 本题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值的 能力,属中档题.

2

12. (5 分) (2014?城厢区校级一模)△ ABC 的外心为 O,AB=2,AC=3,BC= 等于( A. ) B.3 C.2 D.

,则

?

考点: 平面向量数量积的运算. 分析: 可得 = = ( ) ,故
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= (

)?(

) ,代入数值可得.

解答: 解:∵ △ ABC 的外心为 O,延长 AO,交 BC 于 D,则 D 为 BC 中点, ∴ = 故 = ( = × ( = ( )= ( )? ( )= (3 ﹣2 )=
2 2

) , )

故答案为 D 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,属中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)设 x,y∈R 且 + =1,则 x+y 的最小值为 4 .
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+

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 x+y=(x+y) ( + )=2+ + ,再利用基本不等式求得 x+y 的最小值.
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解答: + 解:由题意 x,y∈R 且 + =1 可得,x+y=(x+y) ( + )=2+ + ≥2+2

=4,

当且仅当 x=y=2 时,等号成立,故 x+y 的最小值为 4, 故答案为:4. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的成立条件以及检验等号成立条 件,属于基础题.

14. (5 分) (2014?顺义区二模)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小

值为 ﹣3 . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的平面区域,由 z=2x+y 可得 y=﹣2x+z,则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小,结合图象可求 z 的最小值 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分 由 z=2x+y 可得 y=﹣2x+z,则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越 小 由题意可得,当 y=﹣2x+z 经过点 C 时,z 最小
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,可得 A(﹣1,﹣1) ,

此时 z=﹣3 故答案为:﹣3.

点评: 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件 下的最值的求解, 解题的关键是明确 z
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的几何意义 15. (5 分) (2014 春?文峰区校级期末)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ 差数列,则 a5= . }为等

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质建立条件关系,即可得到结论. 解答: 解:若数列{ }为等差数列,设 b = ,
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n

则 b3= 则 2b5=b3+b7= 即 b5= = ,

,b7= ,

,则 b5=



解得 a5= , 故答案为: 点评: 本题主要考查等差数列性质的应用,构造新的等差数列是解决本题的关键. 16. (5 分) (2014?河南)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测 点,从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°,以及∠ MAC=75°;从 C 点 测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= 150 m.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ ABC 中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC;△ AMC 中,由条件利用正 弦定理求得 AM;Rt△ AMN 中,根据 MN=AM?sin∠ MAN,计算求得结果. 解答: 解:△ ABC 中,∵ ∠ BAC=45°,∠ ABC=90°,BC=100,
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∴ AC=

=100



△ AMC 中,∵ ∠ MAC=75°,∠ MCA=60°, ∴ ∠ AMC=45°,由正弦定理可得
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,解得 AM=100



Rt△ AMN 中,MN=AM?sin∠ MAN=100 ×sin60°=150(m) , 故答案为:150. 点评: 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题. 三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分) (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ )求 cosB 的值; (Ⅱ )边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ )在△ ABC 中,由角 A,B,C 成等差数列可知 B=60°,从而可得 cosB 的值;
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(Ⅱ ) (解法一) ,由 b =ac,cosB= ,结合正弦定理可求得 sinAsinC 的值;

2

(解法二) ,由 b =ac,cosB= ,根据余弦定理 cosB= 可得△ ABC 为等边三角形,从而可求得 sinAsinC 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, ∴ cosB= ;…6 分 (Ⅱ ) (解法一) 由已知 b =ac,根据正弦定理得 sin B=sinAsinC, 又 cosB= , ∴ sinAsinC=1﹣cos B= …12 分 (解法二) 由已知 b =ac 及 cosB= ,
2 2 2 2

2

可求得 a=c,从而

根据余弦定理 cosB= ∴ B=A=C=60°, ∴ sinAsinC= …12 分

解得 a=c,

点评: 本题考查数列与三角函数的综合,着重考查等比数列的性质,考查正弦定理与余弦定 理的应用,考查分析转化与运算能力,属于中档题.

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18. (12 分) (2013 春?扬州期末)已知 cosβ=﹣ ,sin(α+β)= ,α∈(0, π) . (1)求 cos2β 的值; (2)求 sinα 的值.

) ,β∈(



考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用二倍角的余弦函数公式化简 cos2β,将 cosβ 的值代入计算即可求出值; (2)由 cosβ 的值,以及 β 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinβ 的值, 再由 α 与 β 的范围求出 α+β 的范围,根据 sin(α+β)的值求出 cos(α+β)的值, sinα=[(α+β)﹣β],利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即 可求出值. 解答: 解: (1)∵ cosβ=﹣ ,
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∴ cos2β=2cos β﹣1=﹣ ; (2)∵ cosβ=﹣ ,β∈( ∵ α∈(0, ) ,β∈( ,π) ,∴ sinβ= ,π ) ,∴ α+β∈( , ) , =﹣ , × = . = ,

2

又 sin(α+β)= ,∴ cos(α+β)=﹣

则 sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ= ×(﹣ )+

点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的 余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 19. (12 分) (2014?河南)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.
2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)解出方程的根,根据数列是递增的求出 a2,a4 的值,从而解出通项; (2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和. 2 解答: 解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的根为 2,3.又{an}是递增的等差数列,
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故 a2=2,a4=3,可得 2d=1,d= , 故 an=2+(n﹣2)× = n+1,
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(2)设数列{

}的前 n 项和为 Sn,

Sn=

,①

Sn= ① ﹣② 得

,②

Sn=

=



解得 Sn=

=2﹣



点评: 本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.

20. (12 分) (2014?赫山区校级模拟)设向量 =( ]. (1)若| |=| |,求 x 的值;

sinx,sinx) , =(cosx,sinx) ,x∈[0,

(2)设函数 f(x)= ? ,求 f(x)的最大值及单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先根据题意分别表示出两向量的模,取得 sinx 的值,进而求得 x. (2)表示出函数 f(x)的表达式,进而利用二倍角公式和两角和公式化简,进而根 据三角函数的图象和性质求得函数的最大值和单调增区间. 2 2 2 2 解答: 解: (1)依题意知 3sin x+sin x=cos x+sin x=1
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∴ sin x= , ∵ x∈[0, ∴ sinx= , x= . sinxcosx+sin x=
2

2

].

(2)f(x)= ? =

sin2x﹣ cos2x+ =sin(2x﹣

)+ ,

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f(x)max=1+ = , 由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,

∴ 函数的单调增区间为[kπ﹣

](k∈Z) .

点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,向量的数量积计算.考查了对基础知识的 综合运用. 21. (12 分) (2013?四川)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A﹣B) cosB﹣sin(A﹣B)sin(A+C)=﹣ . (Ⅰ )求 sinA 的值; (Ⅱ )若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的含义与物理意义;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值,然 后求 sinA 的值; (Ⅱ )利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余
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弦定理求出 c 的大小,然后求解向量 解答: 解: (Ⅰ )由 可得 即 即 , ,



方向上的投影. , ,

因为 0<A<π, 所以 (Ⅱ )由正弦定理, . ,所以 , . = ,

由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影:

=ccosB=
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点评: 本题考查两角和的余弦函数, 正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基 本知识,考查计算能力转化思想. 22. (12 分) (2014?房山区一模)在等差数列{an}中,a1+a2=7,a3=8.令 bn= ,数列

{bn}的前 n 项和为 Tn. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式和 Tn; (Ⅱ )是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 的 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )利用等差数列通项公式求出首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式.由
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= Tn. (Ⅱ )由(Ⅰ )知, ,

,利用裂项求和法能求出数列{bn}的前 n 项和为



,假设存在正整数 m、

n, (1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列,从而得到 由此能求出存在满足条件的正整数 m、n,此时 m=2,n=10. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )设数列{an}的公差为 d, 由 ,得 ,



解得 a1=2,d=3, ∴ an=2+3(n﹣1)=3n﹣1, (3 分) ∵ = ∴ = = . (6 分) , , , = = ,

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,

假设存在正整数 m、n, (1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列,
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,即[

]=

2

, (2 分)

经化简,得
2 2 2



∴ (3m+2) n=15m n+10m , 2 2 ∴ (﹣3m +6m+2)n=5m , (*) (3 分) 当 m=2 时, (*)式可化为 2n=20,所以 n=10, (5 分) 2 2 当 m≥3 时,﹣3m +6m+2=﹣3(m﹣1) +5≤﹣7<0, 又∵ 5m >0,∴ (*)式可化为 n=
2



所以此时 n 无正整数解. (7 分) 综上可知,存在满足条件的正整数 m、n,此时 m=2,n=10. 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法, 考查满足条件的实数是否存在的判断与 求法,注意裂项求和法的合理运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有:涨停;wyz123;sllwyn;lincy;ywg2058;caoqz;733008; wfy814;qiss;szjzl;maths;xintrl;wsj1012;zlzhan(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 24 日

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