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2012年全国高中数学联赛竞赛试卷


山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛(及答案) 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 阳 供题) 解:
x ? 1 2
f (x) ? 1? 2x ? 3 ? 2x ? 2 2
f (x) ? 1? 2x ? 3 ? 2x

的最大值是________________

/>;

(王泽

,其等号仅当

1? 2x ?

3 ? 2x



时成立,
2

所以,f(x)最大= 2

.

2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为 “吉祥数” 将 , 所有吉祥数从小到大排成一列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________. (王继忠 供题) 解:设 x 得 (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x 个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C
C 6 ? 15
4 4 5
1 1

x2 ? xm

为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm≥0

x2 ? xm

为第 C

4 m ?3

个吉祥数.1 x

2

? xm

为第 C

4 m?2

? 5

个,三位吉祥数共

个,
4 6

因以 1 为首位的四位吉祥数共 C 位吉祥数为:

? 15

个,以 2 为首位的前两个四

2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时, 则 f(2012)=______;
f (n) ? n n ?1

. (王 林

供 题) 解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)?(x-2011). 取 x=-1,则 1=2012!a.故
a ? 1 2012!
x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? ( x ? 2 0 1 1) 2 0 1 2 !( x ? 1) x x ?1

,
?

f (x) ?

,

f (2012) ?

2012! 2012 !2013

?

2012 2013

?

2013 2013

?1

.

4.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依 逆时针方向,第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那个点染 红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将 5 个点依次编号 0—4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则第 1 步染红的是 1 号点,第 2 步染红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点. 故共可得 3 个红点. 5.如图, O , I 分别为 ? A B C 的外心、 设 内心, ? B 且
?A
? 60
?

,A B > B C , (李耀
D A

的外角平分线交⊙ O 于 D ,已知 A D

? 1 8 ,则 O I ? _____________.

文 供题) 解: 连接 B I 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 A C 的中点.连
OE

E O I B F C

、 A E 、 C E 、 O C ,由 ? B

? 60

?

,易知 ? A O E 、 ? C O E 均为
? IE ? C E

正三角形.由内心的性质得知: A E

,所以

A

、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 A I 交⊙ O 于 F ,
? 2? O AI

由题设知 D 、O 、F 共线, 于是 ? O E I 又OA ? OD
? O E ? IE

,

? AO D ? 2? AFD ? 2? O AI ? AD ? 18 .

,

, 从而 ? O A D ≌ ? E O I , 故 O I

二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6. 证 明 : 对 任 给 的 奇 素 数 p, 总 存 在 无 穷 多 个 正 整 数 n 使 得 p|(n2n-1). ( 陈 永 高 供题) 证明:取 n=(p-1)k,则由费尔马小定理知 2 ( p ? 1 )k p|(n2n-1)
? ( p ? 1) k ? 2
( p ?1) k

? 1 ( m o dp ) ,所以,

? 1(m o d p ) ? ( p ? 1) k ? 1(m o d p ) ? k ? ? 1(m o d p )

. 取 k=pr-1(r∈N*),即 n=(p-1)(pr-1),就有 ( p ? 1) k 即 p|(n2n-1). 7.如图, 已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点, 延长 BP 交 AD 于 E, 延长 DP 交 AB 于 F,延长 CP 交矩形的外接圆于 G。求证:GE⊥GF.
G
?2
( p ?1 ) k

? 1(m o d p )

(叶中豪 供题)
A

Q P

E

D

证法 1: 设 CG 交 AD 于 Q,由∠GBA=∠GDA 及
F

∠AGB=∠CGD 知△ABG∽△QDG。延长 DF、CB
R

交于 R,由 AD∥BR, AD=BC 得
AF FB ? BC BR

B

C



又由△CPB∽△QPE 及△RPB∽△DPE 得 由①,②得 得
AF FB ? QE ED

BC BR

?

QE ED



,表明 F,E 是△ABG,△QDG 的相似对应点,故

△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 证法 2:联结 GB,GD,令∠GCB= ? ,∠GCD= ? , 由正弦定理得:
? B F s in ? B F P D E s in ? D E P
GB GD ? s in ? s in ? ? B P s in ? P B C D P s in ? P D C

G A Q P F E D

?

s in ? P B C s in ? P D C

?

BF DE

,
B

β α

C

由∠GBF=∠GDE 得△FBG∽△EDG. 所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 8.对于恰有 120 个元素的集合 A.问是否存在子集 A1,A2,?,A10 满 足: (1)|Ai|=36,i=1,2,?,10; (2)A1∪A2∪?∪A10=A; (3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由. 供题) 解:答案:存在. 考虑长度为 10 的 0,1 数列.其中仅 3 项为 1 的恰有 C 1 0 每个作为集合 A 的一个元素. 对每个 j=1,2,?,10,第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 C 9
2 3

(刘裕文

? 120

个,

? 36

个,它

们是集合 Aj 的 36 个元素.对每对 i,j∈{1,2,?,10}(i<j),第 i 项与 第 j 项均为 1 的 0,1 数列恰有 C 8
1

? 8

个,它们是 Ai∩Aj 的元素.

综上知,存在满足条件的 10 个子集. 9.求最小的正整数 m,n(n≥2),使得 n 个边长为 m 的正方形,恰好可 以 割 并 成 (邹 明 供题) 解:依题意 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长分别 为 1,2,?,n 的正方形 ? 12+22+?+n2=nm2,即 6m2=(n+1)(2n+1), 则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6), 由 n2≡0,1,3,4(mod6)知 n≡±1(mod6). 若 6|n+1,设 n=6k-1(k∈N),得 m2=k(12k-1), 因(k,12k-1)=1,所以 k 与 12k-1 都是完全平方数,但 12k-1≡3 (mod4) 矛盾! 若 6|n-1,设 n=6k+1(k∈N),得 m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1, 所以, 3k+1=v2,4k+1=u2,消去 k 得 4v2-3u2=1,v=u=1 时,k=0,n=1,但 n≥2,故 u>1,v>1. 由 4v2-3u2≡1(mod8)知 u,v 为奇数, 直接计算得 umin=15,vmin=13,k=56,所以, m 最小=15?13=195,n 最小=337. 10.设实系数三次多项式 根.
p(x) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

n

个 边 长 分 别 为

1,2, ? ,n

的 正 方 形 .

有三个非零实数

3

求证: 6 a 宏 供题)

3

? 10(a ? 2b ) 2 ? 12ab ? 27c
2

.

(李胜

证明:设 ? , ? , ? 为 p(x)=0 的三个根,由根与系数关系
?? ? ? ? ? ? ? a ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? b ?? ? ? ? ? c ?

得:

3

a ? 2b ? ?
2

2

? ?

2

??

2

.原式 ? 6 a ( a ? 2 b ) ? 1 0 ( a ? 2 b ) 2 ? 2 7 c
2 2
3 2

? 6 ( ? ? ? ? ? )( ?

2

? ?

? ? ) ? 1 0 (?
2

2

? ?

2

? ? ) 2 ? 2 7? ? ?
2

①.

若? 若?
?
2

2

? ?
? ?
2

2

??
??
2

2

? 0
? 0

,则①成立. ,不妨设 | ?
|? | ? |? | ? | ,由①的齐次性,不妨设
2

2

2

2

? ?

??

? 9

,则 ? 2

? 3 , 2? ? ? ?

? ?

2

? 9??

2

? 6

.

①?

2 (? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? 1 0
2

.因
2 2 2 2

[ 2 ( ? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ] ? [ 2 ( ? ? ? ) ? ( 2 ? ? ? ) ? ] ? [ 4 ? ( 2 ? ? ? ) ][( ? ? ? ) ? ? ] ?[ 8? ? ? ? ? ? ) 4 (
2 2

] (? 9 ? 2 ? ) ?

?2 ? ? ) ? ? ? ( (
3 2

)

? ? ( 2 0 ?

)

7 2

? (? ? ? 2 ) ( 2 ? ? ? 7 ) ? 1 0 0 ? 1 0 0

,所以, 2 (?

? ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10

.故

原式成立.

版权所有:21 世纪教育网

2012 年上海市高中数学竞赛
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B 1 C 1 D 1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又 围成一个正六边形 A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 ,如此继续下去,则所有这些 六边形的面积和是 .
B2 E2 B1 A2 F2 A1

F1

2.已知正整数 a 1 , a 2 ,? 的最小可能值是

, a 1 0 满足:

aj ai

?

3 2

,1 ? i ? j ? 1 0

,则 a 1 0

C2 C1

D2

E1

.
D1

3.若 ta n ?

? ta n ? ? ta n ? ?

17 6

, cot ?

? cot ? ? cot ? ? ?

4 5

, cot ?

cot ?

? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ?

17 5

,则 tan ? ? ? ? ? ? ? ?

. 的
A D

4. 已知关于 x 的方程 lg ? k x ? ? 取值范围是 .

则实数 k 2 lg ? x ? 1 ? 仅有一个实数解,

F

5.如图, ? A E F 是边长为 x 的正方形 A B C D 的内接三角形,已知
B E

C

? AEF ? 90? , A E ? a , E F ? b, a ? b

,则 x

?

.

6.方程 2 m

?3 ? 3
n

n ?1

? 2

m

? 13

的非负整数解 ? m , n ? ?

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一 个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率 是 .(用数字作答) 8 . 数 列 ? a n ? 定 义 如 下 : a1
am ? 2 ? 2011 2012

? 1, a 2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 ? n ? 1? n? 2

a n ? 1?

n n? 2

a n , n ? 1, 2 , ?

.若

,则正整数 m 的最小值为

.

二、解答题 9.(本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, A B 线 AC 与 BD 的夹角 ? B O C
? 4 5 ? ,记直线

? x

, BC

? 1 ,对角

AB 与 CD 的距离为 h ( x ) .
D C

求 h ( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A

O B

10.(本题满分 14 分)给定实数 a 值.

? 1 ,求函数 f ( x ) ?

( a ? s in x )( 4 ? s in x ) 1 ? s in x

的最小

11.(本题满分 16 分)正实数 x , y , z 满足 9 x y z ? (1) x y (2) x ?
? yz ? zx ?
y? z ? 2

xy ? yz ? zx ? 4

,求证:

4 3





12.(本题满分 16 分)给定整数 n ( ?

3)

,记

f (n)

为集合 ?1, 2 , ? , 2 n

? 1?

的满足如

下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值: (a)
1? A, 2 ? 1? A
n



(b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求
f (3 )

的值;
f (1 0 0 ) ? 1 0 8

(2)求证:



2012 年上海市高中数学竞赛答案
1、
9 4 3

2、92 4、 ? ? ? , 0 ? ? ? 4 ?
a
2

3、11 5、
2

a ? (a ? b )

2

6、 ? 3,

0?,

? 2,

2?

7、

2 5

8、4025

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB
2

? OC

2

?

1 2

( AB

2

? BC ) ?
2

1 2

( x ? 1)
2



① ???????(2 分)

在△OBC 中,由余弦定理
BC
2

? OB
2

2

? OC
2

2

? 2O B ? O C cos ? B O C

, ② ③

所以 由①, ②得

OB ? OC

?

2O B ? O C ? 1 ,

OB ?OC ?

x ?1
2



2

2

???????(5 分) 所以
SA
B C D

? 4 S?

O B C

1 ? 4 ? 2

O B ? O Ci n ? B O C s
x ?1
2

?

2OB ?OC ?



2 x ?1
2



AB ? h(x) ?



2 x ?1
2

所以 由③可得, x 2 因为 O B 2
? OC ?1 ? 0
2

h(x) ?



??????? (10 分)

2x

,故 x

?1.

? 2O B ? O C

,结合②,③可得

1 2

( x ? 1) ? 2 ?
2

x ?1
2



2
1? x ?

2

解得(结合 x

?1)
x ?1
2

2 ?1 .

综上所述, h ( x ) 10.解
f (x) ?
a ? 7 3

?

,1 ?

x ?

2 ?1.
3 ( a ? 1) 1 ? s in x

???????(14 分)
? a ? 2

2x

( a ? s in x )( 4 ? s in x ) 1 ? s in x

? 1 ? s in x ?



当1 ?

时, 0

?

3( a ? 1) ? 2

,此时
? a? 2 ? 2 3 ( a ? 1) ? a ? 2

f ( x ) ? 1 ? s in x ?

3 ( a ? 1) 1 ? s in x

, .

且当 s in

x ?

故 3 ( a ? 1) ? 1 ? ? ? ? 1, 1 ? ? 时不等式等号成立, f m in ( x ) ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2
7 3 3 ( a ? 1) t

???????(6 分) 当a
?

时,

3( a ? 1) ? 2

,此时“耐克”函数 y
3 ( a ? 1) 2

? t?

在? 0,

3 ( a ? 1) ? ?

内是递减,故此时
f m in ( x ) ? f (1) ? 2 ? ? a ? 2 ? 5 ( a ? 1) 2



7 ? 2 3 ( a ? 1) ? a ? 2 , 1 ? a ? ; ? 3 综上所述, f m in ( x ) ? ? ? 7 ? 5 ( a ? 1) , a ? . ? 2 3 ?

???????(14 分)

11.证 (1)记 t

?

xy ? yz ? zx 3

,由平均不等式
3 3 2

xyz ?

?

3

( x y )( y z )( zx )

?

? xy ? yz ? zx ? 2 ? ? ? . 3 ? ?

???????(4 分)
于是 所以
4 ? 9 x y z ? x y ? y z ? z x ? 9 t ? 3t
3 2



? 3t ? 2 ? ? 3t

2

? 3t ? 2 ? ? 0 ,
2 3

2 而 3 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,所以 3 t ? 2 ? 0 ,即 t ?

,从而

x y?

y z ?

4 z? x 3



???????(10 分)

(2)又因为
( x ? y ? z ) ? 3( xy ? yz ? zx ) ,
2

所以 故

(x ? y ? z) ? 4 ,
2

x? y? z ? 2
3



???????(16 分)
A, 7 ? A

12. (1) 解 设集合 A 于 ?1, m , 7 ? ? m

且 ? ?1, 2 , ? , 2 ? 1? , 不满足(b),故

A 满足 (a) (b) 则 1 ? , .
A ? 3.

. 由

? 2, 3, ? , 6 ?

又 ?1, 2, 3, 7 ? , ?1, 2, 4, 7 ? , ?1, 2, 5, 7 ? , ?1, 2, 6, 7 ? , ?1, 3, 4, 7 ? , ?1, 3, 5, 7 ? , ?1, 3, 6, 7 ? ,

?1, 4, 5, 7 ? , ?1, 4, 6, 7 ? , ?1, 5, 6, 7 ? 都不满足 (b),故
而集合 ?1, 2 , 4 , 6 , 7 ? 满足(a),(b),所以

A ? 4

. .

f (3 ) ? 5

???????(6 分) (2)首先证明
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 2 , n ? 3, 4 , ? .


f (n)

事实上,若 A 令B
? A ? ?2

? ?1, 2 , ? , 2 ? 1?
n

,满足(a), (b),且 A 的元素个数为
? 2 ?1
n



n ?1

? 2, 2
n

n ?1

? 1?

,由于 2 n ? 1 ? 2
n ?1

,故

B ? f (n) ? 2 .
? ?1, 2 , ? , 2
n ?1

又 2 n ?1 ? 2

? 2 ( 2 ? 1), 2

n ?1

? 1 ? 1 ? (2

? 2)

,所以,集合 B

? 1?



且 B 满足(a),(b).从而
f ( n ? 1) ? B ? f ( n ) ? 2 .

???????(10 分)

其次证明:
f ( 2 n ) ? f ( n ) ? n ? 1, n ? 3, 4 , ? .


f (n)

事实上, A 设

? ?1, 2 , ? , 2 ? 1?
n n

满足 (a) (b) 且 A 的元素个数为 , ,
2 n n n 2n

. 令

B ? A ? ? 2 ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 1), ? , 2 ( 2 ? 1), 2

? 1? ,

由于 所以 B
? ?1, 2 , ? , 2
2
k ?1

2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1) ? ? ? 2 ( 2 ? 1) ? 2
n 2 n n n

2n

?1,

2n

? 1?
n

,且
k

B ? f ( n ) ? n ? 1 .而
n k n

( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 2 ? 1), k ? 0 , 1, ? , n ? 1
2n



2

? 1 ? 2 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1)
n n n



从而 B 满足(a),(b),于是

f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 .

???????(14 分)


由①,②得 反复利用②,③可得

f ( 2 n ? 1) ? f ( n ) ? n ? 3 .

f (1 0 0 ) ? f (5 0 ) ? 5 0 ? 1 ? f ( 2 5 ) ? 2 5 ? 1 ? 5 1 ? f (1 2 ) ? 1 2 ? 3 ? 7 7 ? f ( 6 ) ? 6 ? 1 ? 9 2
? f (3 ) ? 3 ? 1 ? 9 9 ? 1 0 8 .

???????(16 分)

2012 年浙江省高中数学竞赛试题

参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、 3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn 。则满足不等式 |Sn-n-6|<
1 125

的最小整数 n 是(



A.5 B.6 C.7 D.8 2. O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心, O 的动平面与 PC 交于 S, PA、 设 过 与 PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式
1 PQ ? 1 PR ? 1 PS





A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=
3xn ? 1 3 ? xn

B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数
2005

,则 ? x n =(
n ?1



A.1 4.已知 a =(cos
2 3

B.-1 π, sin
2 3

C.2+ 3

D.-2+ 3

π), OA ? a ? b , OB ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等 ) C.2 D.
3 2

腰直角三角形,则△OAB 的面积等于( A.1
x
2

B.
y
2

1 2

5.过椭圆 C:

?

? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足),延长

3

2

PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取 值范围为( ) A. ( 0 ,
3 3 ]

B. (

3 3

,

3 2

]

C. [

3 3

,1 )

D. (
C A

3 2

,1 )

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 log x=logb(4x-4)的根,则△ABC( )



sin B sin A

都是方程

b

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x , y ) 值依 次记为: ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ? , ( x n , y n ) , ? ; 若程序运行中 输出的一个数组是
( x , ? 1 0 ),

则数组中的 x

?





A.64

B.32

C.16

D.8 , 则动点 P ( a , b ) 所形成平面

8. 在平面区域 ? ( x , y ) 区域的面积为( A. 4 B.8 9. 已知函数

| x |? 1, | y |? 1? 上恒有 a x ? 2 b y ? 2

) C. 16
?
6

D. 32
)? m

f ( x ) ? s in ( 2 x ?

在 ?0,
?

?

? ?
? 2 ?

上有两个零点, m 的取值范围为 ) 则 (
? 1 ? ? , 1? ? 2 ?

A.

?1 ? ? , 1? ? 2 ?

B

?1 ? , 1 ? ? ?2 ?

C.

?1 ? , 1? ? ?2 ?

D.

10. 已知 a ? [ ? 1,1] ,则 x 2 A.
x ? 3或x ? 2

? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0

的解为(

) D.
1? x ? 3

B.

x ? 2

或x

?1

C.

x ? 3或x ?1

二、填空题(每题 7 分.共 49 分) 11.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 12.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 13.设 n 是正整数,集合 M={1,2,?,2n}.求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 14.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 15.我们注意到 6!=8?9?10,试求能使 n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n 为__________. 16. 对每一实数对(x, y), 函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。 f(-2)=-2, 若 试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=__________. 17.已知 a, b, c∈R+,且满足
kabc a ? b ? c

≥(a+b)2+(a+b+4c)2,则 k 的最小值为__________.。

三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

19.已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ;

(3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

20.已知椭圆

x 5

2 2

?

y 4

2 2

? 1 ,过其左焦点 F 1 作一条直线交椭圆于

A,B 两点,D ( a , 0 )

为 F 1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰 好过
F 1 ,求

a 的值。

附加题 (每题 25 分,共 50 分) 21. 如图,已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线与△ABC 的外接圆交于点 D,以 CD 为直径 的圆分别交 BC,CA 于点 P、Q,求证:线段 PQ 平分△ABC 的周长。 E A Q D

B

P

C

22. (50 分) 求所有实多项式 f 和 g, 使得对所有 x∈R, (x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。 有:

参考答案
一、选择题 1.由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为8 [1 ? ( ? 1 3 1 3 ) ]
n

1 3

的等比数列,∴

Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=
1?
n-1

=6-6?(-

1 3

)n ,∴|Sn-n-6|=6?(

1 3

)n<

1 125

,得:

3 >250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 2.设正三棱锥 P-ABC 中,各侧棱两两夹角为α ,PC 与面 PAB 所成角为β ,则 vS-PQR=
△ PQR

1 3

S

? h=

1 1 ( PQ?PRsin α )?PS? sin β 。 另一 方面, 记 O 到 各面 的距 离为 d, 则 3 2 1 1 3
△PRS

vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, S△PQR?d=
3

?d+

1 3

S△PRS?d+

1 3

△PQS

?d=

d 3

?

1 2

PQ?PRsin

α +

d 3

?

1 2

PS ? PRsin α +

d 3

?

1 2

PQ ? PS ? sin α , 故 有 : PQ ? PR ? PS ? sin β
1 PQ 1 PR 1 PS sin ? d

=d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS),即

?

?

?

=常数。故选 D。

xn ?

3 3 3 xn

3. n+1= x
1? 3

, xn=tanα n, n+1=tan(α n+ 令 ∴x

?
6

), ∴xn+6=xn, x1=1, 2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x

2005

x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,??,∴有 ? x n ? x 1 ? 1 。故选 A。
n ?1

4.设向量 b =(x, y),则 ?

? ( a ? b )( a ? b ) ? 0 ? ? | a ? b |? | a ? b | ?



? 1 3 1 3 ) ? ( ? x ? ,? y ? ? 0 ?( x ? , y ? ? 2 2 2 2 即? 1 2 3 2 1 2 ? (x ? ) ? ( y ? ) ? (x ? ) ? ( y ? ? 2 2 2 ?
3 2 1 2

,即 ?
3 2 )
2

?x ?

2

? y

2

?1

?x ? ?

. ∴b ? (

3 2

,

1 2

) 或

3y

(?

,

) ,∴S△AOB=

1 2

| a ? b || a ? b | =1。

5.设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λ PH,
3 (1 ? ? ) ? x ? ? x1 ? ? 所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q ? PQ 1? ? ?y ? y ? 1
HP ?1

点轨迹为 C。 6. log 由

[ x ? 3 (1 ? ? )] 3?
2

2

?

y

2

? 1 ,所以离心率 e=

3? 2

2

? 2

2

3?

?

1?

2 3?
2

?[

3 3

,1 ) 。故选

b

x=logb(4x-4)得:2-4x+4=0, x 所以 x1=x2=2, C=2A, 故 sinB=2sinA, A+B+C=180°, 因

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA ≠0,所以 sin2A=
1 4

,而 sinA>0,∴sinA=

1 2

。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。

7. 经计算 x

? 32

。正确答案为 B
| x |? 1, | y |? 1? 的四个边界点(—1,—1),(—1,1),(1,
? 2

8. 平面区域 ? ( x , y )

—1),(1,1)满足 a x ? 2 b y

,即有

a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ? a ? 2b ? 2, ? a ? 2b ? 2

由此计算动点 P ( a , b ) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A 9.问题等价于函数
?1

f ( x ) ? s in ( 2 x ?

?
6

) 与直线 y ? m

在 ?0,
?

?

? ?
? 2 ?

上有两个交点, 所以 m

的取值范围为 ?

? , 1? ?2 ?

。正确答案为 C
2

10.不等式的左端看成 a 的一次函数, f ( a ) ? ( x ? 2 ) a ? ( x ? 4 x ? 4 )



f ( ? 1) ? x ? 5 x ? 6 ? 0 , f (1) ? x ? 3 x ? 2 ? 0 ? x ? 1
2 2

或x

? 3。

正确答案为 C。
. 二、填空题
?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? 3 。?x ? 2 y ? 0 ? ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? ( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ?

11.

由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 12.46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同
2
1 1 1 1 1 4 数字时, 能组成 C 3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。 abcd 中恰有 4 个不同数字时, 能组成 A 4 =24

个不同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 13. 解考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,?,2n}. P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以 k≥n+3. 将 M 的元配为 n 对,Bi=(i,2n+1-i),1≤i≤n. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 B i , B i , B i 同属于
1 2 3

A(i1、i 2、i 3 两两不同). 又将 M 的元配为 n-1 对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 C i 同属于 A,
4

这一对 C i 必与 B i , B i , B i 中至少一个无公共元素,这 4 个元素互不相同,且和为
4
1 2 3

2n+1+2n=4n+1,最小的正整数 k=n+3 14.
13 ? 1 2 , 21 ? 1 2 1? 2 21 1? 2 21

。 ①若 t2-4>0, t<-2 或 t>2, 即 则由
t

t ?1
2

? 4
21 2

>x(|x|≤1)恒成立, 得
t
1? 2

t ?1
2

? 4

? 1,

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

? t ?

,从而

1?

<t<-2 或 2<t<

21

。②若

t2-4=0, t=2 符合题意。 则 ③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由
t
?1? 2 13 ? 1 2 21 ? 1 2 13 ?1? 2

t ?1
2

? 4

<x(|x|≤1)恒成立, 得
t
?1? 2 13

t ?1
2

? 4

? ?1 ,

t+1>-t2+4; t2+t-3>0,解得:t<

或 t>

13

,从而

<t<2。综上所述,

t 的取值范围是:

<t<



15.23.。 16.1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1,再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时, f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1, 即对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,??,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 17.解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2 ac +2 2 bc )2=
(a ? b)
2

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

? (a ? b ? 4c) abc

2

? (a ? b ? c)

≥ 8 (5

1
3

2a b c

2

2

2

) ? (5

5

a b c 2
4

2

2

) ? 100 。

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 三、解答题 18.以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0), 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。所以 x=
2 2

o ? r

± r ? 2 r ? 3 , ∴tan∠MAN=
2

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

?

x ? r ? h x ? r ? h o ? h o ? h 1? ? x ? r ? h x ? r ? k

?

o ? h

?

2 rh (x ? k)
2

? r

2

? h

2

? (? r
2

2 rh ? 2r ? 3)
1 n
2

? ? r
2

2 rh h
2

? h

2

? k

2

? 3 ? 2r ? 2k

r

2

? 2r ? 3

, 令 2m=h2+k2-3 , tan ∠ MAN=
2

, 所 以 m+r ? k

r

2

? 2 r ? 3 =nhr , ∴

m+(1-nh)r= ? k r ? 2 r ? 3 ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对
? m ? ? 3 k (1 ) ? 2 于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以 ? 2 m (1 ? nh ) ? 2 k ( 2 ) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0, ? 2 2 (1 ? nh ) ? k ( 3 ) ?
2 2

由(3)式,得 n=

1 h

。由 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN=

1 n

=h=± 3 。所以∠

MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。 19.(1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(xa 2b

)2+

a

2

,∴f(

a 2b

)=

a

2

4b

4b

≤1,∵a>0, b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证:(必要性),对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b ≥-1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 ? f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(
1 b

)≤1。 a? 即

1 b

-

≤1,∴a≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性):因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0, 1],可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤ 1,即 ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1; a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1.

20. F1 ( ? 3, 0 ), 左 准 线 方 程 为 x

? ?

25 3

; A B 方 程 为 y ? k ( x ? 3 )( k 为 斜 率 )





? y ? k ( x ? 3) ? 2 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? x 2 y ? ?1 ? 16 ? 25
150k
2 2

? ( 1 6?

2k 5 x ) ?
2 2

1 k5 0 ? x
2

2k 2 ? 5
2

? 0 0 4

0

得 x1 ?

x2 ? ?

16 ? 25k

, x1 x 2 ? ?

225k

2

? 400
2

16 ? 25k

? y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? ?
2

256k

2 2

16 ? 25k

----------------------10 分 设 M (?
25 3 , y 3 ), N ( ? 25 3 , y 4 ) 。由 M、A、D 共线 y 3 ?
( 3 a ? 2 5 ) y1 3 ( a ? x1 ) ,同 理 y 4 ? (3 a ? 2 5 ) y 2 3(a ? x2 )





????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1 M ? ( ? , y 3 ), F1 N ? ( ? , y 4 ), 由 已 知 得 F1 M ? F1 N ? F1 M ? F1 N ? 0 3 3

, 得
256 9

y3y

? ? 4

256 9

,而 y 3 y

? 4

( 3 a ? 2 5 ) y1 y 2
2

9 ( a ? x 1 )( a ? x 2 )

,即 ?

256k

2 2

16 ? 25k

?

(3a ? 25)

2

9 ( a ? x 1 )( a ? x 2 )

=?

,

整理得

(1 ? k )(1 6 a ? 4 0 0 ) ? 0 ? a ? ? 5 , 又 a ? ? 3, 所 以 a ? 5 。
2 2

----------

A Q

D

B

P

C

附加题 21 证:如图,连结 DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB, 则∠EAC=∠DBC+∠DCB,即:2∠DAC=∠DBC+∠DCB;又∠DAC=∠DBC,则:∠OBC= ∠DCB;故△DBC 为等腰三角形,因 OP⊥BC,则 CP=
1 2

BC。在圆内接四边形 ABCD 中, BD=CD , 则 :
AQ BP ? AD BD
1 2

由 托 勒 密 定 理 得 : AC ? BD=BC ? AD+AB ? CD , 因 AC-AB= AQ=
BC ? AD BD BP ? AD BD ? 2 BP ? AD BD AC ? AB 2 )? 1 2

,又 DQ⊥AC,则△ADQ∽△BDP,所以

,即: BC=

。故 AC-AB=2AQ,即 AQ= BC=
1 2

。从而:CQ+CP=(AC-AQ)+

(AC-

AC ? AB 2

(AB+BC+CA)。

22.设 w 是 1 的非实的立方根,满足 w2+w+1=0,则 g(w2+w+1)g(0)=0,设α 为-1 的非实的立 方根,则 f(α 2-α +1)=f(0)=0,故可设:f(x)=x?a(x);g(x)=x?b(x)。因此原条件可化为: a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令 x=-y,得:a(y2+y+1)=b(y2-y+1), 1]。下面证明无穷多个 n 使得: a(n2+3n+3)=a(1) 。 由 n=1 可 得 : a(1)=a(7) , 假 设 a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n ≥ 2) , 则 a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。由于多项式 a(x)-a(1)有无穷多个根,所以 a(x)-a(1)是零多项式,即 a(x)为常数,因 此 f(x)=kx,类似可知:g(x)=kx。

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、设集合 S ? ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ? , T ? ? x | x ? 2 |? 3 ? ,则 S ? T =( A、 { x | ? 5 ? x ? ? 1} B、 { x | ? 5 ? x ? 5} C、 { x | ? 1 ? x ? 1} )

D 、 { x | 1 ? x ? 5} ) D、
?
2

2、正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中 B C 1 与截面 B B 1 D 1 D 所成的角是( A、
?
6
2

B、

?
4

C、

?
3

3、已知 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 , g ( x ) ? k x ? 1 , 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x ) ? g ( x ) 在 R 上恒成立”的( )

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ? 1 的面积为 S 1 ,作 ? 1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 ,面 积为 S 2 ,如此下去作一系列的正三角形 ? 3 , ? 4 , ? ,其面积相应为 S 3 , S 4 , ? , 设 S 1 ? 1 , T n ? S 1 ? S 2 ? ? ? S n ,则 lim T n =(
n ? ??


3 2
|MO | |MF |

A 、

6 5

B 、

4 3

C、

D 、2

2 5、设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则

的最大值

为(

) A 、
3 3

B 、

2 3

3

C、

4 3

D 、 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 r 的一 个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2 r C、 3 12 r D、 3 15 r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
A F E B D

C

7、如图,正方形 A B C D 的边长为 3, E 为 D C 的 中点, A E 与 B D 相交于 F ,则 F D ? D E 的值是
???? ????



8、 ( x ? x ?
2

1 x

) 的展开式中的常数项是
6

.(用具体数字作答)
( a n ? 1) 4
2

9、 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 满足 S n ?

, S 2 0 的值为 则 .



10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角 A , B 满足 ta n ( A ? B ) ? 2 ta n A ,则 ta n B 的最大值是



12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 a b c d e , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x ) ? s in x ? (I)求函数 f ( x ) 在 [ 0 ,
3 cos x ? 1 ,



?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c a

(II)若实数 a , b , c 使得 af ( x ) ? bf ( x ? c ) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

的值.

? 14、已知 a , b , c ? R ,满足 a b c ( a ? b ? c ) ? 1 ,

(I)求 S ? ( a ? c )( b ? c ) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

15、 直线 y ? k x ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A 、 两点, 直线 l 经过点 ( ? 2 , 0 ) 和 A B B
2 2

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

n 2 16、设函数 f n ( x ) ? x (1 ? x ) 在 [ , 1] 上的最大值为 a n ( n ? 1, 2 , 3, ? ).

1

2

(I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n ( n ? 2 ) ,都有 a n ?
1 (n ? 2)
2

成立;
7 16

(III)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?

成立.

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?
3 2

6、D

8、 ? 5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、解:(I)由条件知 f ( x ) ? 2 s in ( x ? 由0 ? x ? 所以 x ? 当x ?
?
6

?
3

)?1, 1 2 ? s in ( x ?

(5 分)
?
3 )?1

?
2

知,

?
3

? x?

?
3

?

5? 6

,于是
1 2

?
2

时, f ( x ) 有最小值 2 ?

?1? 2;

时, f ( x ) 有最大值 2 ? 1 ? 1 ? 3 .

(10 分)

(II)由条件可知
2 a s in ( x ?

?
3

) ? 2 b s in ( x ?

?
3

? c ) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,

∴ 2 a s in ( x ?

?
3

) ? 2 b s in ( x ?

?
3

) ? cos c ? 2b cos( x ?

?
3

) ? s in c ? ( a ? b ? 1) ? 0

∴ 2 ( a ? b c o s c ) ? s in ( x ?
? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ? b s in c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?

?
3

) ? 2 b s in c ? c o s ( x ?

?
3

) ? ( a ? b ? 1) ? 0

(15 分)

由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 s in c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b co s c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 s in c ? 0 ,则 c o s c ? 1 (舍去), c o s c ? ? 1 , 解得 a ? b ?
1 2 , c ? ( 2 k ? 1 ) ? ,所以,
b cos c a
2

? ?1 .

(20 分)
1 ab

14、解:(I)因为 ( a ? c )( b ? c ) ? a b ? a c ? b c ? c ? a b ? ( a ? b ? c ) c ? a b ?
1 ab

(5 分)

? 2

ab ?

? 2 ,等号成立的条件是 a b ? 1 ,

当 a ? b ? 1, c ?

2 ? 1 时, S 可取最小值 2.

(10 分)

(II)当 S 取最小值时, a b ? 1 ,从而 c ( a ? b ? c ) ? 1 ,
2 即 c ? ( a ? b ) c ? 1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 a b ? 2

(15 分)

从而 c ?

?t ?

t ? 4
2

或者 c ?

?t ?

t ?4
2

? 0 (舍去)

2
?t ? t ? 4
2

2
2 t ? 4 ?t
2

故c?

?

在 t ? [ 2 , ? ? ) 单减,

2

所以在 t ? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 .

(20 分)

15、解:将直线 y ? k x ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 方程联立得 ?
2 2

? y ? kx ? 1 ?x ? y
2 2

?1

化简得 ( k ? 1) x ? 2 k x ? 2 ? 0 ①
2 2

(5 分)

? 2 2 ? ? ? 4 k ? 8 ( k ? 1) ? 0 ? 2k ? ? 0 ,解得 1 ? k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x 1 ? x 2 ? ? 2 k ?1 ? 2 ? ? 0 ? x1 ? x 2 ? 2 k ?1 ?

2 .(10 分)

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则有 x 1 ? x 2 ? ?
2k k
2 2

2k k
2

?1
2



y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ?

?1

? 2 ? ? k

2

?1

故 A B 的中点为 ( ?
k

k
2

?1

,? k ?1
2

1
2

?1

), ( x ? 2 ) ,其在 y 轴的截距 b ? 2k ?2
2

所以直线 l 方程为 y ?
2k

?k ? 2

?k ?2

, (15 分)

当1 ? k ? 所以 b ?
2k

2 时, 2 k

2

? k ? 2 ? 2(k ?

1 4

) ?
2

17 8

,其取值范围是 ( ? 1, 2 ?
2 ) ? (2, ?? )

2)

?2
2

?k ?2

的取值范围是 ( ? ? , ? 2 ?



(20

分)
' n ?1 2 n n ?1 16、解:(I) f n ( x ) ? n x (1 ? x ) ? 2 x (1 ? x ) ? x (1 ? x ) [ n (1 ? x ) ? 2 x ] ,

' 当 x ? [ ,1] 时,由 f n ( x ) ? 0 知 x ? 1 或者 x ?

1

n n? 2


1 8
1 16

(5 分) ; ;

2

当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时, ∵x?[ ,
1

n n? 2
n n? 2

?
?

1 3
1 2

?[

1 2

,1] ,又 f 1 (

1 2

) ?
) ?

1 8

, f n (1) ? 0 ,故 a 1 ?
1

?[

1 2

,1] ,又 f 2 (

1 2

16

, f n (1) ? 0 ,故 a 2 ?

n n? 2

?[

1 2

,1] ,
'

n

2 n? 2

) 时, f n ( x ) ? 0 ; x ? ( n n? 2

n n? 2

,1) 时, f n ( x ) ? 0 ;
'

∴ fn ( x) 在 x ?

处取得最大值,即 a n ? (

n n ? 2

) (

n

2 n ? 2

) ?
2

4n

n n?2

(n ? 2)

?1 ? , ( n ? 1) ?8 综上所述, a n ? ? . n 4n ? , (n ? 2) ? (n ? 2 )n?2 ?

(10 分)

(II)当 n ? 2 时,欲证
2 n 2 n

4n

n n?2

(n ? 2)
1 2

?

1 (n ? 2)
2

2

,只需证明 (1 ?
2 n

2 n

) ? 4
n

∵ (1 ?

) ? Cn ? Cn ?(
n 0 1

) ? Cn ?( ? 4 n
2

2 n

) ?? ? Cn ?(
n

)

n

? 1? 2 ?

n ( n ? 1) 2

? 1? 2 ?1 ? 4
1

所以,当 n ? 2 时,都有 a n ?

(n ? 2)

2

成立.

(15 分)

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 S n ?
?

1 8
1 8

?

1 16

? a3 ? a4 ? ? ? an
1 5
2

?

1 16

?

?

1 6
2

?? ?

1 (n ? 2)
2

?
?

1 8
1 8

?
?

1 16
1 16

?(
? 7 16

1 4

?
?

1 5
7 16

)?(

1 5

?

1 6

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n? 2

)

1 4

. (20 分)

所以,对任意正整数 n ,都有 S n ?

成立.

2012 新疆维吾尔自治区高中数学竞赛
高二试题卷 时间 120 分钟 总分:150 分 第一题:选择题(有 6 小题,每小题 5 分总 30 分) 1.设 x ? y ? z ? 小值为:( A.
3 8

?
12

,且x ? y ? z ?

?
2

,则乘积 c o s x ? s i n y ? c o sz 的最大值减去两倍的最


3 4

B.

C.

3 2

D. 3

2.过抛物线焦点下的直线交抛物线与 P,Q 两点,P,Q 的垂直平分线交抛物线的对称轴于 R, 则
PQ F R

的值为:( B.4

) C.3 D.2
2 3

A.5

3.已知正四棱柱的对角线长为 2 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 的体积为:( ) A.2 B.4 C.8

则该正四棱柱

D.16
3 4

4.袋中盛有 3 个白球和若干个红球, 现在从中任取 2 个求, 若取的白球个数的期望值等于 则袋中红球的个数为:( ) A.1 B.3 C.5 D.7 5.已知复数 z ? x ? y i ( x , y ? R , x ?
( x , y ) 的轨迹是:(



1 2

),满足 z ? 1 ? x 那么 Z 在复平面上对应点,



A.圆 B. 抛物线 C.椭圆 D.双曲线 6.在正方体的八个顶点中任取四个顶点,这四个点可以连成四面体的概率为:( A.
27 35



B.

28 35

C.

29 35

D.

6 7

第二题:填空题(共有 6 小题 每小题 9 分总 54 分) 7.在数列 ?a n ? 中,已知 a 3 ? 18 , a n ? 1 ? 3 a n ,则 a 1 =__________. 8.当 x ? 4 时,函数 y ? x ?
1 x ?1

的最小值=__________.

9.若直线 l 经过 P(1,-3),它与两坐标轴围成等腰直角三角形,则 l 的方程是: ______________________________. 10.若方程
x
2

k ? 2

?

y

2

6 ? k

? 1 表示的曲线不是双曲线,则 k 的取值范围是:__________.

11.正四面体内切球半径为 2,则此正面体体积为:__________. 12.将一骰子抽掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ? 1)上为单调减函数的概率为:__________. 第三题:(总有 4 答题,总 66 分) 13.(本大题 15 分) 解不等式:
m 3 x
3

? 2 nx ? 4 在(-1,

x ? 3x ? 10 ? 8 ? x
2

14.(本大题 15 分) 直线 x tan ? 交椭圆
( x ? 3) 9
2

?

( y ? 2) 4

2

? 1 于 P1 , P 2 两点, ? 为直线的倾斜角

(1)求 ? 的取值范围

(2)求线段 p 1 p 2 中点的轨迹方程。

15.(本大题 18 分) 如图,在斜三菱柱 ABC- A 1 B 1 C 1 中,∠ A 1 AB = ? A 1 AC ,AB=AC, A 1 A ? A 1 B ? a 侧面 B 1 BCC 中点 与底面 ABC 所成的二面角为 120
0

1

,E,F 分别为棱 B 1 C 1 , A 1 A 的

(1) 求 A 1 A 与底面 ABC 所成的角; (2) 求经过 A 1 , A , B , C 四点的球的体积;

16.(本大题 18 分) 8 位歌手参加艺术节,准备为他们安排 M 次演出,每次由其中四位登台表演,要求 8 位歌手 中任意两位同时演出的次数一样多,请设计一中方案,使演出次数 M 最小

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2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ? [ ? 3, 3] 时,函数 2、在 ? A B C 中,已知 A C
f ( x ) ? | x ? 3 x | 的最大值为__18___.
3

???? ???? ???? ??? ? ? B C ? 12, A C ? B A ? ?4, 则 AC ?

___4____.

3、从集合 ? 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为 _____
3 10

_______.
? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0

4、 已知 a 是实数, 方程 x 2 的值为_____ 2
2

的一个实根是 b( i 是虚部单位) 则 | a ,

? bi |

___.
x
2

5、在平面直角坐标系 x O y 中,双曲线 C :

?

y

2

? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且

12

4

倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点.若 ? F A B 的面积为 8

3 ,则直线的斜

率为___

1 2

____.

6、已知 a 是正实数, k ? a

lg a

的取值范围是___ [1, ? ? ) _____.

7、在四面体 A B C D 中, A B ? A C ? A D ? D B ? 5 , B C ? 3 , C D ? 4 该四面体的 体积为_____ 5 8 、 已 知

3 _______.
等 差 数 列

?an?











?bn ?


n ?1





a 1 ? b1 ? 3 , a 2 ? b 2 ? 7 , a 3 ? b 3 ? 1 5 , a 4 ? b 4 ? 3 5 , 则 a n ? b n ? ___ 3

? 2 n ___.

(n ? N )
*

7 7 9、将 2 7 , 3 7 , 4 7 , 4 8 , 5 5 , 1 , 5 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数,
则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为 3 1 ,三边 a , b , c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组
( a , b , c ) 的个数为__24___.

二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ? A B C 中,角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c ,证明: (1) b c o s C ? c c o s B ? a

(2)

cos A ? cos B a ?b

2 s in ? c

2

C 2

12 、 已 知 a , b 为 实 数 , a ? 2 , 函 数 f ( x ) ? | ln x ?

a x

| ?b( x ? 0) . 若

f (1) ? e ? 1, f ( 2 ) ?

e 2

? ln 2 ? 1 .

(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若实数 c , d 满足 c ? d , c d ? 1 ,求证: f ( c ) ? f ( d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线
O M 上有一动点 B , A B ? 1, O B ? 1 .线段 A B 交圆 O 于另一点
C , D 为线段的 O B 中点.求线段 C D 长的取值范围.

14、设是 a , b , c , d 正整数, a , b 是方程 x ? ( d ? c ) x ? c d ? 0 的两个根.证明:存在边
2

长是整数且面积为 a b 的直角三角形.

二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷 (2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30) 考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分 120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 空间四点 A ,B ,C ,D 两两间的距离均为 1,点 P 与点 Q 分别在线段 AB 与 CD 上 运动,则点 P 与点 Q 间的最小距离为____________; 2.向量 为坐标原点,动点 满足 则点 构成的图形的面积 为 3. 设有非空集合 且当 时,必有 ,这样的集合 A 的个数是_____________; 4.设 其中 表示不超过 的最大整数,若 有三个不同的实数根,则实数 的取值范围是 5. 11 位数的手机号码,前七位数字是 1390931,若余下的 4 个数字只能是 1、3 、5 且都至 少出现 1 次, 这样的手机号码有___________个; 6.若 则 的最大值是 ; 7.设函数 ,满足 且对任意 都有 ,则 ; 8.实数 满足 ,则 的最大值为 ; 二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9.已知数列 满足 ,且 。 (1)求数列 的通项公式; (2)设 为非零常数,若数列 是等差数列,记 ,求 10.M 是抛物线 的准线上任意点,过 M 作抛物线的切线 ,切点分别为 A、B(A 在 x 轴上 方)。 (1)证明:直线 AB 过定点; (2)设 AB 的中点为 P,求|MP|的最小值。

11.设 为正实数,且 ,求证:

12.某校数学兴趣小组由 m 位同学组成, 学校专门安排 n 位老师作为指导教师. 在该小组的 一次活动中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出 一个问题,并且每位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出 了 51 个问题.试求 m , n 的值.

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2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高一年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅, 只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。) 1.已知集合 A ? { x | x ? a }, B ? { x | x ? b }, a , b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 1 . 2 . 已 知 正 项 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 q ? 1 , 且 a 2 , a 4 , a 5 成 等 差 数 列 , 则
a1 ? a 4 ? a 7 a3 ? a6 ? a9 ?

3? 2

5



3.函数

f (x) ? x

x ?1
2

? 4x ? 7

的值域为 [ 0 ,

6 6

].

4. 已知 3 sin

2

? ? 2 sin

2

3 ? ? 1 , (sin ? ? cos ? )

2

? 2 (sin ? ? cos ? )

2

? 1 , sc 则o

2 (? ? ? ) ? ?

1 3



5.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数,
?an ? , a n ?1 ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ? a n 为偶数 a n 为奇数 , ,

如果 a 1

? a 2 ? a 3 ? 29

,则 a 1

?

5


? 2b

6.在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边长 a , b , c 满足 a ? c

,且 C

? 2A

,则 sin

A ?

7 4



7.在△ ABC 中, AB 则
p q

? BC ? 2

, AC

? 3

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO

? p AB ? q AC



的值为

3 2



8.设 x 1 , x 2 , x 3 是方程 x 3

? x ?1? 0

的三个根,则 x 1

5

? x2 ? x3
5

5

的值为

-5



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a 1 ? 1 ,

a 2 ? 8 ,求 { a n } 的通项公式.

解 在已知等式两边同时除以

a n a n ?1

,得

1?

a n?2 a n ?1

? 4 1?

a n ?1 an

? 3



所以

1?

an?2 a n ?1

? 1 ? 4( 1 ?

a n ?1 an

? 1) .

------------------------------------------4 分 令bn 数
? 1? a n ?1 an ?1

,则 b 1 ,

? 4 , b n ?1 ? 4 b n

,即数列 { b n } 是以 b 1 =4 为首项,4 为公比的等比 以
b n ? b1 ? 4
n ?1





? 4

n

.

------------------------------------------8 分 所 以
1? a n ?1 an ?1 ? 4
n

,



a n ? 1 ? [( 4

n

? 1)

2

? 1] a n

.

------------------------------------------12 分 于是,当 n
a n ? [( 4
n ?1

?1
2

时,
? 1 ] a n ? 1 ? [( 4
k ?1
n ?1

? 1)
n ?1

? 1)

2

? 1 ] ? [( 4

n?2

? 1)

2

? 1] a n ? 2

n ?1

?? ?

?
k ?1

[( 4

? 1)

2

? 1] a 1 ?

?
k ?1

[( 4

k ?1

? 1)

2

? 1]


?1 , ? n ?1 an ? ? k ?1 2 [( 4 ? 1 ) ? 1 ], ?? ? k ?1 n ? 1, n ? 2.





,

------------------------------------------16 分 10.已知正实数 a , b 满足 a 2 ,且 a 3
?
2
m ? cos
3

?b

2

?1

?b

3

? 1 ? m ( a ? b ? 1)

3

,求 m 的最小值.

解 令 a ? c o s ? , b ? s in ? , 0 ? ? ?
? ? sin
3

,则
2

? ?1
3

(cos ? ? sin ? ? 1 )

?

(cos ? ? sin ? )(cos

? ? cos ? sin ? ? sin
3

2

?)?1

(cos ? ? sin ? ? 1 )

. -------------------------

---------------5 分 令
c

x ? cos ? ? sin ?
x
2





x ?

2 sin( ? ?

?
4

) ? (1 ,

2]





? s o

? is ?

?1 n 2

.------------------------------10 分

于是
x (1 ? m ? x
2

?1 2
3

)?1 ?

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1)
3

3

( x ? 1)

?

2? x? x 2 ( x ? 1)

2 2

?

2? x 2 ( x ? 1)

?

3 2 ( x ? 1)

?

1 2



-----------------

-------------15 分 因为函数 因
f (x) ? 3 2 ( x ? 1) ? 1 2
m

在 (1,

2]

上单调递减,所以 的 最

f (

2 ) ? m ? f (1 )

. 值 为







f(

2) ?

3

2 ?4 2



------------------------------------------20 分 ,其中 a 且a .若在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上

11.设

f ( x ) ? lo g a ( x ? 2 a ) ? lo g a ( x ? 3 a )

? 0

?1

f ( x ) ? 1 恒成立,求 a

的取值范围.
5a 2 a [( ? ). 2 4
2



f ( x )?

l oa g x ( ?
2

a x5?

a 6?
2

)

a

lx? o g

]

由?

? x ? 2a ? 0, ? x ? 3a ? 0,

得x

? 3a

, 由题意知 a ? 3 ? 3 a , a 故

?

3 2

, 从而 ( a ? 3 ) ?

5a 2

?

3 2

(a ? 2) ? 0 ,







5a g ( x ?) x ? ( 2

2

?

a

2

)







[ a ? 3, a ? 4 ]







递 增

.

4

------------------------------------------5 分 (1) 0 ? a ? 1 , f ( x ) 在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递减, 若 则 所以 的最大值为
f ( a ? 3 ) ? log
a

f (x)

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上

(2a

2

? 9a ? 9)


(2a
2

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上不等式 从而 2 a 2 结
0 ? a ?1
? 9a ? 9 ? a

f ( x ) ? 1 恒成立,等价于不等式 log

a

? 9a ? 9) ? 1

成立,

,解得 a

?

5? 2

7

或a

?

5? 2

7


0 ? a ?1

合 .
a ? 3 2



------------------------------------------10 分 ,则
f (x)

(2)若 1 ? 上的最大值为

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上单调递增,所以
2

f (x)

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ]

f ( a ? 4 ) ? log

a

(2 a

? 12 a ? 16 )

.
(2a
2

在区间 [ a ? 3 , a ? 4 ] 上不等式 从而 2 a 2 易 合. 综
( 0 ,1) .
? 12 a ? 16 ? a

f ( x ) ? 1 恒成立,等价于不等式 log

a

? 12 a ? 16 ) ? 1

成立,

,即 2 a 2
13 ?

? 13 a ? 16 ? 0

,解得 ,

13 ? 4

41

? a ?

13 ? 4

41

. 不 符



41 4

?

3 2









------------------------------------------15 分 a 知 : 的 取 值 ------------------------------------------20 分







版权所有: 高考资源 2012

年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅, 只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。) 1.函数
f (x) ? x x ?1
2

? 4x ? 7
2

的值域为________________.
i ? ?1 n
2

2 . 已 知
c o2 (? ? ? ) ? s

3s

i ?n ? 2 s



3 (sin ? ? cos ? )

2

? 2 (sin ? ? cos ? )

2

?1

, 则

_______________.
?an ? , ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ? a n 为偶数 a n 为奇数 , ,

3.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数, a n ? 1 则 a1
?

如果 a 1

? a 2 ? a 3 ? 29




? {1, 2 , 3 , ? ,12 }

4. 设集合 S

,A

? {a 1 , a 2 , a 3 }

是 S 的子集, 且满足 a 1

? a2 ? a3

,a 3

? a2 ? 5



那么满足条件的子集 A 的个数为 5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C : 于
M,N
x a
2 2


? y b
2 2

? 1( a ? b ? 0 )

交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异
? 1 3

的任一点.若直线

PM , PN

的斜率之积为

,则椭圆

C

的离心率为

_______________. 6.在△ ABC 中, AB 则
p q

? BC ? 2

, AC

? 3

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO

? p AB ? q AC



的值为_______________. 7.在长方体 ABCD
? A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知 AC ? 1 , B 1 C ?
? p

2 , AB

1

,则长方体的体积最大

时, p 为_______________.
2012

8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? [
k ?0

2012 ? 2 2
k ?1

k

]?



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a 1 ? 1 ,

a 2 ? 8 ,求 { a n } 的通项公式.

10.已知正实数 a , b 满足 a 2

?b

2

?1

,且 a 3

?b

3

? 1 ? m ( a ? b ? 1)

3

,求 m 的取值范围.

11.已知点 E ( m , n ) 为抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

内一定点,过 E 作斜率分别为 k 1 , k 2 的两条

直线交抛物线于 A , B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k 1 ? k 2 ? ? 1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k 1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0 , ? 为常数),证明:直线 MN 过定点.

网(21 世纪教育网)

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅, 只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。) 1.函数
f (x) ? x x ?1
2

? 4x ? 7

的值域为 [ 0 ,

6 6

].

2. 已知 3 sin

2

? ? 2 sin

2

3 ? ? 1 , (sin ? ? cos ? )

2

? 2 (sin ? ? cos ? )

2

? 1 , sc 则o

2 (? ? ? ) ? ?

1 3



3.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数,
?an ? , a n ?1 ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ? a n 为偶数 a n 为奇数 , ,

如果 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a 1 ? 5 . 4. 设集合 S ? {1, 2 , 3 , ? ,12 } ,A ? { a 1 , a 2 , a 3 } 是 S 的子集, 且满足 a 1 那么满足条件的子集 A 的个数为 5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :
x a

? a2 ? a3

,a 3

? a2 ? 5



185
2 2


2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异
6 3
? p AB ? q AC

于 M , N 的任一点.若直线 PM

, PN

的斜率之积为 ?

1 3

,则椭圆 C 的离心率为



6.在△ ABC 中, AB 则
p q

? BC ? 2

, AC

? 3

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO



的值为

3 2



7.在长方体 ABCD
2 3 3

? A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知 AC ? 1 , B 1 C ?

2 , AB

1

? p

,则长方体的体积最大

时, p 为 1 ?



2012

8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? [
k ?0

2012 ? 2 2
k ?1

k

]?

2012



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分)
2 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a 1 ? 1 ,

a 2 ? 8 ,求 { a n } 的通项公式.

解 在已知等式两边同时除以

a n a n ?1

,得

1?

a n?2 a n ?1

? 4 1?

a n ?1 an

? 3



所以

1?

an?2 a n ?1

? 1 ? 4( 1 ?

a n ?1 an

? 1) .

------------------------------------------4 分 令bn 数
? 1? a n ?1 an ?1

,则 b 1 ,

? 4 , b n ?1 ? 4 b n

,即数列 { b n } 是以 b 1 =4 为首项,4 为公比的等比 以
b n ? b1 ? 4
n ?1





? 4

n

.

------------------------------------------8 分 所 以
1? a n ?1 an ?1 ? 4
n

,



a n ? 1 ? [( 4

n

? 1)

2

? 1] a n

.

------------------------------------------12 分 于是,当 n
a n ? [( 4
n ?1

?1
2

时,
? 1 ] a n ? 1 ? [( 4
k ?1
n ?1

? 1)
n ?1

? 1)

2

? 1 ] ? [( 4

n?2

? 1)

2

? 1] a n ? 2

n ?1

?? ?

?
k ?1

[( 4

? 1)

2

? 1] a 1 ?

?
k ?1

[( 4

k ?1

? 1)

2

? 1]


?1 , ? n ?1 an ? ? k ?1 2 [( 4 ? 1 ) ? 1 ], ?? ? k ?1 n ? 1, n ? 2.





,

------------------------------------------16 分 10.已知正实数 a , b 满足 a 2 ,且 a 3
?
2
m ? cos
3

?b

2

?1

?b

3

? 1 ? m ( a ? b ? 1)

3

,求 m 的取值范围.

解 令 a ? c o s ? , b ? s in ? , 0 ? ? ?
? ? sin
3

,则
2

? ?1
3

(cos ? ? sin ? ? 1 )

?

(cos ? ? sin ? )(cos

? ? cos ? sin ? ? sin
3

2

?)?1

(cos ? ? sin ? ? 1 )

. -------------------------

---------------5 分 令
x ? cos ? ? sin ?





x ?

2 sin( ? ?

?
4

) ? (1 ,

2]





cos ? sin ? ?

x

2

?1 2

.------------------------------10 分

于是
x (1 ? m ? x
2

?1 2
3

)?1 ?

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1)
3

3

( x ? 1)

?

2? x? x 2 ( x ? 1)

2 2

?

2? x 2 ( x ? 1)

?

3 2 ( x ? 1)

?

1 2



-----------------

-------------15 分 因为函数 又
m?[ 3 2 ?4 2 , 1 4 )
f (x) ? 3 2 ( x ? 1) ? 1 2

在 (1,
2) ?

2]

上单调递减,所以
2 ?4 2

f (

2 ) ? m ? f (1 )

. 以

f (1 ) ?

1 4

, f(

3







--------------------------------------20 分

11.已知点 E ( m , n ) 为抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

内一定点,过 E 作斜率分别为 k 1 , k 2 的两条

直线交抛物线于 A , B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k 1 ? k 2 ? ? 1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k 1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0 , ? 为常数),证明:直线 MN 过定点. 解
2

AB

所在直线的方程为 x

? t1 ( y ? n ) ? m

,其中 t 1

?

1 k1

,代入 y 2

? 2 px

中,得

y ? 2 p t1 y ? 2 p t1 n ? 2 p m ? 0 ,

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则有 y 1

? y 2 ? 2 pt 1

,从而

x 1 ? x 2 ? t1 ( y 1 ? y 2 ? 2 n ) ? 2 m ? t1 ( 2 p t1 ? 2 n ) ? 2 m .
2 则 M ( p t1 ? n t1 ? m , p t1 ) .

CD

所在直线的方程为 x

? t2 ( y ? n) ? m

, 其中 t 2

?

1 k2

2 , 同理可得 N ( p t 2 ? n t 2 ? m , p t 2 ) .

-----------------------------------------5 分 (1)当 n
| EN | ? | pt |

? 0

2 2 时,E ( m , 0 ) ,M ( p t 1 ? m , p t 1 ) , N ( p t 2 ? m , p t 2 ) ,| EM

| ? | pt 1 |

1 ? t1

2



2

1? t2
? ?1

2


? ?1

又 k1 ? k 2
S ? 1 2
p 2
2

,故 t 1 ? t 2

,于是△ EMN 的面积
2

| E M | ? | E N |?

1 2

| p t1t 2 |

(1 ? t 1 )(1 ? t 2 ) ?
2 2

p 2

2

?

2 ? t1 ? t 2
2

2

?

?

4 ? p ,
2

当且仅当 | t 1 所 以

|? | t 2 |? 1

时等号成立.
EMN





















p

2

.

------------------------------------------10 分 (2) k MN
? p (t1 p (t1 ? t 2 )
2

? t 2 ) ? n (t1 ? t 2 )

2

?

1 (t1 ? t 2 ) ? 1 n p



MN

所在直线的方程为 y ?

pt 1 ?

(t1 ? t 2 ) ?

n p

? [ x ? ( pt 1

2

? nt 1 ? m ]




y (t1 ? t 2 ? n p ) ? pt 1 t 2 ? x ? m


t1 ? t 2

------------------------------------------15 分
n p t1 ? t 2

又 k1 即

? k2 ?

1 t1

?

1 t2 p

? ?

, t1t 2 即
ny p

?

?

, 代入上式, y ( t1 ? t 2 ? 得

)? p?

?

? x? m ,

( t 1 ? t 2 )( y ?

?

) ? x?

? m





p ? ?y ? ? ? m ? 0 ,即 ? y? ? 0 时,有 x ? n p ? ?x ? m ? ? ?

p

ny

为方程的一组解,


(m ? n


p



线

MN









?

,

?

)



------------------------------------------20 分

2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 ? A B C 中,? C ? 在

?
2

,?B ?

?
6

,A C ? 2 ,M 为 A B 中点, ? A C M 沿 C M 将

折起,使 A , B 之间的距离为 2 4、若锐角? 满足

2 ,则点 M 到面 A B C 的距离为_________________.
? 2 3 ta n 1? 0
o

1 ta n

?

?
2

t a,则角? 的度数为 n 2

_________________. 5 、 函 数

? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? d , 若 a, b, c, 互 不 相 同 , 且 f (x) ? ? 2 2 70 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ,则 a b c d 的取值范围是_________________.

6、各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a 1 ? 8 ,则 2 a 8 ? a 7 的最小值 为_________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 顶点 A 出发, 沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的 最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、

?x?















x















? lo g 2 1 ? ? ? lo g 2 2 ? ? ? lo g 2 3 ? ? ? ? ? lo g 2 2 0 1 2 ? ?
?
3
(1)求证:平面 E A B ? A B C D 平面; (2)求二面角 A ? E C ? D 的余弦值.

_________ .

二 、 ( 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? A B C D 地 面 为 菱 形 , 且 的

?ABC ?

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2 .

三、(本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证:

ln (1 ? x ) x

(2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

1 ? kx 1? x

成立,求实数的值.

四、(本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x 1 ? 1 且 x n ? 1 ? 1 ?
1 xn ? 2

1 xn ? 1

(1)设 a n ?

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

(2)设 b n ? x n ?

2 ,数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?

2 2

.

五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆

x

2

过 ? y ? 1 ,P 是圆 x ? y ? 1 6 上任意一点, P
2

2

2

4
??? ??? ? ? 点作椭圆的切线 P A , P B ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.

2012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 2+x x>0 1.{5 x=0 则 f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为 x 2 x<0 (A) 8. (B) 11. (C)13·1/4 (D)15·1/2 2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式 ax? +bx+c 的不同的两个根,则 a、b、c 之间的关 系是 (A) b?=a?-4ac (B) b?=a?+4ac (C) b?=a?-2ac (D) b?=a?+2ac 3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x? -2x,则 f(x)在 x ∈[-4,-2]上的最小值为 (A)-1/9 (B)-1/3 (C)1/3 (D)1/9 + + 4. 定义在正整数集 Z 上的函数 f,对于每一个 n∈Z 和无理数 π=3.14159265358...满足 f(n)= { k?的末位数字, (π 的小数点后第 n 位数字 k≠0) 3 (π 的小数点后第 n 位数字 k=0) 若函数 f(f(n)的值域记为 M ,则 A 1 M B 5 M C 6 M D 9 M

5.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,以 C 为圆心,CB 为 半径作圆交 AB 边于 M,交 AC 边于 N,P 为 CM 与 BN 的交点,若 AN=1,则 S△CPN-S△BPM 等于 (A)1/8 (B)√3/8 (C)1/4 (D) √3/4

6.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当 x∈(-1,0)时,f(x)>0, 若 P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0);则 P,Q,R 的大小关系为 (A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R. 二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1、求 log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值 2. 已知 f(x)是四次多项式,且满足 f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求 f(6)的值 3.若[x]表示不超过 x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012 的自然数 n 的值 4、如图,半径为 1 的两个等圆相交,在圆的公共部分 作一内接正方形 ABCD。如果圆心距 O1O 等于 1,试求 正方形 ABCD 的面积.

5.求

的值 6.在单位正方形 ABCD 中,分别以 A、B、C、D 四点为圆心,以 1 为半径画弧,如右图所示.交点为 M,N,L,K,求阴影部分 的面积.

7、已知二次函数 f(x)满足 f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求 f(100)的值 8、上底 BC=2,下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于点 O,彼此外切于点 O 的两个圆分别 切直线 AD 于点 A 和 D,交 BC 分别于点 A 和 D,交 BC 分别交于点 K 和 L,求 AK?+DL? 的值

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2012 年河北省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选 择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号 填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)
1. 已知 ? ? [
5? 4 , 3? 2 ] ,则 1 ? s i n 2? ?
1 ? s i n 2? 可化简为(

D



A. 2 s in ? 解答:因为 ? ? [
4

B. ? 2 s in ?
5? , 3? 2

C.

? 2 cos ?

D. 2 c o s ?
1 ? s in 2 ? = c o s ? ? sin ? ? c o s ? ? sin ?

] ,所以 1 ? s in 2 ? ?

? 2 c o ? 。正确答案为D。 s

2.如果复数 ? a ? 2 i ? ? 1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( A. 2
B. 2
2

C



C.
2

?2

D. ? 2 2

解答:由题意得

2?

a ? 4 ? 4 ? a ? ? 2 。正确答案为C。
A或x? B

3. 设 A , 为两个互不相同的集合, B 命题 P:x ? A ? B , 命题 q:x ? 则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 过椭圆
x
2



? y

2

2

? 1 的右焦点 F 2

作倾斜角为 4 5 ? 弦 AB,则

AB

为(

C



A.

2 3

6

B.

4 3

6

C.

4 3

2

D.

4 3

3

解答:椭圆的右焦点为(1,0),则弦AB为 y
3 x ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0 , x 2 ?
2

? x ? 1,

代入椭圆方程得 。正确答案为C。

4 3

? AB ?

2 ( x1 ? x 2 )

2

?

4 3

2

5. 函数

?1 ? 5 f (x) ? ? x ? 5 ?1

?x

x ? 0 x ? 0

,则该函数为(

A



A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )
2 2 2 2 2 2 3 1 1

正视图 A. 4+
5? 2

侧视图 B. 4+
3? 2

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?
?
2

C. 4+

?
2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 以该几何体的体积为 2 ? 2 ? 1 ? 3 ?
?

),所

?
2

? 4?

5? 2

。正确答案为 A。

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x , y ) 值依 次记为: ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ? , ( x n , y n ) , ? ; 若程序运行中 输出的一个数组是 A.64 答案 经计算 x
?
( x , ? 1 0 ),

则数组中的 x

?

( B ) D.8
? 2

B.32 C.16 3 2 。正确答案为 B。
| x |? 1, | y |? 1?

8. 在平面区域 ? ( x , y )

上恒有 a x ? 2 b y A )

,则动点

P ( a , b ) 所形成平面区域的面积为(

A. 4

B.8

C. 16

D. 32

解答:平面区域 ? ( x , y )

| x |? 1, | y |? 1? 的四个边界点(—1,—1),
? 2

(—1,1),(1,—1),(1,1)满足 a x ? 2 b y
a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ? a ? 2b ? 2, ? a ? 2b ? 2

,即有

由此计算动点 P ( a , b ) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 ( C )
f ( x ) ? s in ( 2 x ?

?
6

)? m

在 ?0,
?

?

? ?
? 2 ?

上有两个零点,则 m 的取值范围为

A.

?1 ? ? , 1? ? 2 ?

B

?1 ? , 1 ? ? ?2 ?

C.

?1 ? , 1? ? ?2 ?

D.

? 1 ? ? , 1? ? 2 ? ? ?

解答:问题等价于函数
?1

f ( x ) ? sin ( 2x ?

?
6

) 与直线 y ? m

在 ?0,

? ?
? 2 ?

上有两个交点,

所以 m 的取值范围为 ?

? , 1? ?2 ?

。正确答案为 C。 的解为( C ) D.
2

10. 已知 a ? [ ? 1,1] ,则 x 2 A.
x ? 3或x ? 2

? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0

B.

x ? 2

或x

?1

C.

x ? 3或x ?1

1? x ? 3

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, 由
2 2

f (a ) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)

f ( ? 1) ? x ? 5 x ? 6 ? 0 , f (1) ? x ? 3 x ? 2 ? 0 ? x ? 1

或x

? 3。

正确答案为C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) 11. 函数
f ( x ) ? 2 s in x 2 ? 3 c o s x 的最小正周期为______4 ? ____。

解答:最小正周期为 4 ? 。

12. 已知等差数列 ? a n ? 前 15 项的和 S 1 5 =30,则 a 1 ?

a 8 ? a 1 5 =____6_______.

解答:由 S 1 5 ? 3 0 ? a 1 ? 7 d ? 2 ,而 a 1 ? a 8 ? a 1 5 ? 3 ( a 1 ? 7 d ) ? 6 。

13. 向量 a 解答:

?

? (1, s i n ? )

,b

?

? (c o s ? ,
2

3)

,?
3)
2

?R
?

,则

? ? a ?b

的取值范围为 [1,3] 。
3 s in ? )

? ? a ?b ?

(1 ? c o s ? ) ? ( s in ? ?

5 ? 2 (c o s ? ?

=

5 ? 4 s in (

?
6

??)

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 A B C

? A1 B 1 C 1 ,底面 ? A B C

是正三角形,P,E 分别为 B B 1 , C C 1 上
? PE

的动点(含端点),D 为 BC 边上的中点,且 P D 为_ 9 0 ? _。

。则直线 A P , P E 的夹角

解答:因为平面 ABC⊥平面 B C C 1 B 1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 B C C 1 B 1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 9 0 ? 。

15.设 x , y 为实数,则 解答: 5 x 2
2 2

max
5 x ? 4 y ? 10 x
2 2

(x

2

? y ) ?
2

_____4________。

? 4y

2

? 10 x ? 4 y
2

2

? 10 x ? 5 x
2

2

? 0 ? 0 ? x ? 2
2 2 2

4(x ? y ) ? 10 x ? x

? 2 5 ? (5 ? x ) ? 2 5 ? 3 ? x ? y

? 4

16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭 其中的 300 只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条 件的关灯方法共有___ C 1370100 _______种。(用组合数符号表示) 解答: 问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯, 所以共有 C 1370100 种关灯方法。 17. 设 x , y , z 为整数,且 x 解答:将 z
? y ? z ? 3, x
3 3

? y

3

? z

3

? 3

,则 x 2

? y

2

? z

2

?

_3 或 57_。

? 3 ? x ? y 代入 x
8 x? y

? y

3

? z

3

? 3

得到

xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?

,因为 x , y 都是整数,所以

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 后两个方程组解得 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解; ? ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16
x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4 , z ? ? 5 。所以 x
2

? y

2

? z

2

?

3 或 57。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a
? 2

,求 y

? ( x ? 2) x
2

在[ a ,

2 ] 上的最大值和最小值。

解答:当 x

? 0 , y ? ? ( x ? 1) ? 1,
2

当 x ? 0 , y ? ( x ? 1) ? 1, 由此可知 y m a x ? 0 。
2 当 1 ? a ? 2 , y m in ? a ? 2 a ;

---------------------------------- 5 分 ---------------------------------- 10 分

当1 ?

2 ? a ? 1, y m in ? ? 1 ; 2 , y m in ? ? a ? 2 a 。
2

当a ? 1?

---------------------------------- 17 分

19. 给 定 两 个 数 列 ? x n ? , ? y n ? 满 足
y n ?1 1 ? 2 y n ?1
2

x0 ? y0 ? 1



xn ?

x n ?1 2 ? x n ?1

( n ? 1)



yn ?

( n ? 1 ) 。证明对于任意的自然数

n,都存在自然数

jn

,使得

yn ?x

jn



解答:由已知得到:
1 xn 1 xn ?1? 2 x n ?1 ? 1 xn 1 2
n ?1

? 1 ? 2 (1 ?

1 x n ?1

)? {

1 xn

? 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2,

所以 分

?1? 2

n ?1

? xn ?

?1



----------------- 5

又由已知, y n
1 y0

?1?

( y n ? 1 ? 1) 1? 2y

2

?

yn ? 1 yn

? (

y n ?1 ? 1 y
n ?1

) ? 1?
2

1 yn

? (1 ?

1 y n ?1

)

2

n ?1

由1 ?

? 2 ? 1?

1 yn

? 2

2

n

? yn ? 2 2

1 n ?1



所以取 j n ? 2

n

? 1 即可。

------------------- 17 分

20. 已知椭圆

x 5

2 2

?

y 4

2 2

? 1, 过其左焦点 F 1 作一条直线交椭圆于

A, 两点, ( a , 0 ) B D

为 F 1 右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰 好过
F 1 ,求

a 的值。
? ? 25 3 ; A B 方 程 为 y ? k ( x ? 3 )( k 为 斜 率 )

解答: F1 ( ? 3, 0 ), 左 准 线 方 程 为 x





? y ? k ( x ? 3) ? 2 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? x 2 y ? ?1 ? 16 ? 25
150k
2 2

? ( 1 6?

2k 5 x ) ?
2 2

1 k5 0 ? x
2

2k 2 ? 5
2

? 0 0 4

0

得 x1 ?

x2 ? ?

16 ? 25k

, x1 x 2 ? ?

225k

2

? 400
2

16 ? 25k

? y 1 y 2 ? k ( x 1 ? 3 )( x 2 ? 3 ) ? ?
2

256k

2 2

16 ? 25k

----------------------10 分

设 M (?

25 3

, y 3 ), N ( ?

25 3

, y 4 ) 。由 M、A、D 共线 y 3 ?

( 3 a ? 2 5 ) y1 3 ( a ? x1 )

,同 理 y 4 ?

(3 a ? 2 5 ) y 2 3(a ? x2 )





????? ???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 F1 M ? ( ? , y 3 ), F1 N ? ( ? , y 4 ), 由 已 知 得 F1 M ? F1 N ? F1 M ? F1 N ? 0 3 3

, 得
256 9

y3y

4

? ?

256 9

,而 y 3 y

4

?

( 3 a ? 2 5 ) y1 y 2
2

9 ( a ? x 1 )( a ? x 2 )

,即 ?

256k

2 2

16 ? 25k

?

(3a ? 25)

2

9 ( a ? x 1 )( a ? x 2 )

=?

,

整理得

(1 ? k )(1 6 a ? 4 0 0 ) ? 0 ? a ? ? 5 , 又 a ? ? 3, 所 以 a ? 5 。
2 2

--------------17 分

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分) 21. 在锐角三角形 ABC 中, A ?
?

?
3

, 设在其内部同时满足 PA
1

? PB

和 PA

? PC



点 P 的全体形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。证明三角形 ABC
3

为等边三角形。 解答:做 ? A B C 的外接圆 O,做 OE
边形 AEOF。又
? AB 于 , OF ? AC 于 , OM ? BC 于 M , 则 G 为四 E F

A

E

F

O

C B
S四 边 形 AEOF ? 1 3
1 3

M

D

S ?ABC , 2 S四 边 形 AEOF ? 2 S ?AEO ? 2 S ?AOF ? S ?AOB ? S ?AOC
S ?ABC 。

所以 S ? O B C ? 分

--------------------------10

由 已 知 ? BO C ? 120 ,则 ? O BC ? 30 ,则 OM=

?

?

1 2

R(R为 ?ABC外 接 圆 半 径 )

作 AD ? BC于 D ,则 AD ? AO ? OM ? S ?ABC ? 1 2 ? 3R 2

3 2

R

等号成立当且仅当 A、 M 共线, ? A B C 为等边三角形。 O、 即 B C ? 3 S ?OBC , --------------------------25 分

22. 设 a , b , c ?

R

?

,且

a ?

b ?

c ? 3

。求证:
? c ? a 2 ? c ? a ? 3 2

a ? b 2? a ? b

?

b ? c 2 ? b ? c



并指明等号成立的条件。
n n 2

证明:由柯西不等式 ?
i ?1

ai

(? ai ) ?
i ?1 n

2

得到
bi

bi

?
i ?1

a ? b 2 ? a ? b

?

b ? c 2 ? b ? c

?

c ? a 2 ? c ? a

?

(

a?b ?

c?b ?

a ? c)

2

6 ? 2(a ? b ? c)

(1) --------------------10 分

(1)式右边的分子= 2 ( a ? b ? c ) ? 2 ( a ? b
2

c?b ?

c?b

a ? c ?
2

a ? c

c ? b)

= 2(a ? b ? c) ? 2( b ? b (a ? c) ? ac ? ? ) ? 2(a ? b ? c) ? 2( b ? 2b ac ? ac ? ? )
? 2 ( a ? b ? c ) ? 2 (b ? ac ? a ? bc ? c ? a b ) ? 3(a ? b ? c ) ? ( a ? b ? c)
2

? 3( a ? b ? c ? 3) 。

--------------------------20 分 --------------------------25

等号成立条件是 a ? b ? c ? 1 。结论成立。 分


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