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2012学年第一学期闸北区高三数学质量调研卷(文理)


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闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷
考生注意: 1.本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效; 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在 规定区域内贴上条形码; 3.本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

/>
一、填空题: (60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 6 分,否则一律得零分.
2 1.已知 ( a ? i ) ? 2 i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ?

. . .

6 2.已知 (1 ? px ) 的展开式中, x 的系数为 80 ,则 p ?
2 5

3. ?a n ? 是公比为 设
x
2

1 2
2

的等比数列, lim ( a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 2 n ? 1 ) ? 4 , a 1 ? 且 则
n? ?

4.设双曲线

?

y

? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 且与双曲线的一条渐近线平

9

16

行的直线与另一条渐近线交于点 B ,则 ? AFB 的面积为 5.函数 f ( x ) ? ?
?2
1? x



,   x ? 0,

? f ( x ? 1 ), x ? 0 .

则 f (3.5) 的值为



6.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 ? ( 0 ? ? ? 45 ) ,在海面上向山顶的方向行进
m

?

?

米后,测得山顶 C 的仰角为 90 ? ? ? ,则该山的高度为
2

米. (结果化简)

? 7.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q ( 2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离

之和取得最小值时,点 P 的坐标为



8.甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且 每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有 9. 【理】设不等式 log a (1 ?
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种. .

1 x

) ? 1 的解集为 D ,若 ? 1 ? D ,则 D ?

1

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中国领先的中小学教育品牌 【文】若实常数 a ? ?1, ?? ? ,则不等式 log a (1 ? 10. 【理】 设函数 f ( x ) ? ?
? x ? 2 ,   x ? 0,
x

1 x

) ? 1 的解集为



? ? 2 sin 2 x , x ? 0 .
x

则方程 f ( x ) ? x ? 1 的实数解的个数为
2



? x ? 2 , x ? 0, ? 2 【文】设函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x ) ? x ? 1 有实数解的个数为 ?2 ? x ,   x ? 0. ?



二、选择题: (15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11. 【理】曲线 x ? y ? 6 x ? 0 ( y ? 0 ) 与直线 y ? k ( x ? 2 ) 有公共点的充要条件是(
2 2



? 3 ? A .k ? ? ? , 0 ? ; ? 4 ?
2 2

4? ? B .k ? ? 0 , ? ; 3? ?

3? ? ; C .k ? ? 0 , ? 4? ?

? 3 3? D .k ? ? ? , ? . ? 4 4?

【文】圆 x ? y ? 1 与直线 y ? k x ? 2 没有公共点的充要条件是(
A .k ? (?
C . k ? (?
2, 2)



B .k ? (?? , ? D . k ? (?? , ?

2)? (

2 , ?? ) 3, ?? )

3,

3)

3) ? (

12.已知向量 a , b 满足: | a |? | b |? 1 ,且 | k a ? b |? 向量 b 的夹角的最大值为(
A.

.则向量 a 与 3 | a ? kb |(k ? 0 )


B .

?
6



?
3



C .

5? 6



D .

2? 3



13.以下四个命题中,真命题的个数为( ①集合 ?a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ? 的真子集的个数为 15 ;



②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角; ③设 z 1 , z 2 ? C ,若 z 1 ? z 2 ? 0 ,则 z 1 ? 0 且 z 2 ? 0 ;
2 2

④设无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?a n ? 一定是常数列.
A .0 ; B .1 ;
C .2 ;

D .3 .

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中国领先的中小学教育品牌 三、 解答题: (本题满分 75 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) ? cos x (sin x ? cos x ) , x ? R . (1)请指出函数 f ( x ) 的奇偶性,并给予证明;
?

(2)当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ( x ) 的取值范围. ? 2?

? ?

15. 【理】 (本题满分 14 分) 如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内 种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个 形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区 域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为
800 平方米,问:应怎样设计试验田 ABCD 的长与宽,

才能使其占地面积最小?最小占地面积是多少? 【文】 (本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 如图, 某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内 种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三 个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种 植区域之间设有 1 米宽的非种植区.已知种植区的占地 面积为 800 平方米. (1)设试验田 ABCD 的面积为 S , AB ? x ,求函数 S ? f ( x ) 的解析式; (2)求试验田 ABCD 占地面积的最小值.

16. 【理】 (本题满分 15 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分)
精锐教育网站:www.1smart.org 3 精锐教育· 教学管理部

中国领先的中小学教育品牌 假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念, 但还没有学习过对数的相关概 念 . 由 指 数 函 数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 在 实 数 集 R 上 是 单 调 函 数 , 可 知 指 数 函 数
x

f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) 存在反函数 y ? f
x

?1

x ( x ) , ? ? 0 , ??

?. 请你依据上述假设和已知,

在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题: (1)对于任意的正实数 x 1 , x 2 ,都有 f (2)函数 y ? f
?1 ?1

( x1 x 2 ) ? f

?1

( x1 ) ? f

?1

(x2 ) ;

( x ) 是单调函数.

【文】 (本题满分 15 分,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 6 分) 设定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x ) 在区间 ( ?? , 0 ) 上是减函数. (1)求证:函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , ?? ) 上是单调减函数; (2)试构造一个满足上述题意且在 ( ?? , ?? ) 内不是单调递减的函数. (不必证明)

17. 【理】 (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分) 设点 F 1 ( ? c , 0 ) ,F 2 ( c , 0 ) 分别是椭圆 C :
x a
2 2

? y

2

? 1 ( a ? 1 ) 的左、 右焦点,P 为椭圆 C

上任意一点,且 PF 1 ? PF 2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设定点 D ( m , 0 ) ,已知过点 F 2 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 交于 A 、 B 两点,满 足 AD ? BD ,求 m 的取值范围.

【文】 (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分) 设点 F 1 , F 2 分别是椭圆 C :
x
2

? y

2

? 1 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点.

2

(1)求数量积 PF 1 ? PF 2 的取值范围; (2)设过点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线

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中国领先的中小学教育品牌 与 x 轴交于点 G ,求点 G 横坐标的取值范围.

18. 【理】 (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分)
? 若数列 ?b n ? 满足:对于 n ? N ,都有 b n ? 2 ? b n ? d (常数) ,则称数列 ?b n ? 是公差为 d

的准等差数列.如:若 c n ? ?

? 4 n ? 1,当 n 为奇数时; ? 4 n ? 9 ,当 n 为偶数时 .

则 ?c n ? 是公差为 8 的准等差数列.

(1)求上述准等差数列 ?c n ? 的前 9 项的和 T 9 ;
? (2)设数列 ?a n ? 满足: a 1 ? a ,对于 n ? N ,都有 a n ? a n ? 1 ? 2 n .求证: ?a n ? 为准等

差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 ?S n ? 有 连续的两项都等于 50 .若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

【文】 (本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)
? 若数列 ?b n ? 满足:对于 n ? N ,都有 b n ? 2 ? b n ? d (常数) ,则称数列 ?b n ? 是公差为 d

的准等差数列.如:若 c n ? ?

? 4 n ? 1,当 n 为奇数时; ? 4 n ? 9 ,当 n 为偶数时 .

则 ?c n ? 是公差为 8 的准等差数列.

(1)求上述准等差数列 ?c n ? 的第 8 项 c 8 、第 9 项 c 9 以及前 9 项的和 T 9 ;
? (2)设数列 ?a n ? 满足: a 1 ? a ,对于 n ? N ,都有 a n ? a n ? 1 ? 2 n .求证: ?a n ? 为准等

差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 63 ? 2012 ,求 a 的取值范围.

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闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷答案
一、1. ? 1 ;
?1

2.2;

3.3;
?

4.
1

10 3



5. 2 2 ;

6. m tan 2 ? ;
2

1

7. ?

? , 1? ; ? ? 4 ?

8.20;

9. ?

? ,0 ? ; ?1? a ?

10. (理) 3 ; (文)2.

二、11.C.

12.B.
2

13.B. (3 分)

三、14.解: f ( x ) ?

? ? 1 ? sin ? 2 x ? ?? 2 4 ? 2 ?
2 ?1 2 ?? ? ? ? f? ? ,? f ( x ) 是非奇非偶函数. ? 8 ?

(1)? f ? ?
?

?

? ?

1 ? ? ? ? 8 ? 2

(3 分)

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f ( 0 ) ? 1 ? 0 ,? f ( x ) 不是奇函数.
?

(2)由 x ? ? 0 , ? ,得 ? 2 x ? ,? ? ? sin ? 2 x ? ? ?1. 2? 4 4 4 2 4 ? ? ? 所以 0 ?
? ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ?? 2 4 ? 2 ?
2 2 ?1 2

? ?

?

?

5?

2

?

? ?

(4 分)

.即 f ( x ) ? ? 0 ,
?

?

2 ? 1? ? . 2 ?

(2 分)

15.解:设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ,则
( x ? 4 )( y ? 2 ) ? 800

(3 分) (2 分)
( 792 ? 2 x ) x x ? 4

y ?

792 ? 2 x x ? 4

试验田 ABCD 的面积 S ? xy ?

(2 分) (4 分) (2 分)

令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2 t ? 当且仅当 2 t ?
3200 t

3200 t

? 808 ? 968 ,

时, t ? 40 ,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 .

答: 试验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 2. (1 分) 16. (理)证明: (1)设 y 1 ? f 所以 x 1 x 2 ? a
y1 ?1

( x 1 ) , y 2 ? f ( x 2 ) ,由题意,有 x 1 ? a

?1

y1

,x2 ? a

y2

, 分) (2

?a

y2

? a

y1 ? y 2



(3 分)

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中国领先的中小学教育品牌 所以, y 1 ? y 2 ? f
?1

( x 1 x 2 ) ,即 f
?1

?1

( x1 x 2 ) ? f

?1

( x1 ) ? f

?1

(x2 ) .

(2 分)

(2)当 a ? 1 时, y ? f

( x ) 是增函数.
y1

证明:设 x 1 ? x 2 ? 0 ,即 a
y 1 ? y 2 ,即 f
?1

?a

y2

? 0 ,又由指数函数 y ? a ( a ? 1 ) 是增函数,得
x

( x1 ) ? f

?1

(x2 ) .
( x ) 是增函数.

(4 分) (2 分) (2 分) (2 分) (3 分) (3 分) (1 分)

所以,当 a ? 1 时, y ? f

?1

同理,当 0 ? a ? 1 时, y ? log

a

x 是减函数.

16. (文)解(1)任取 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) , x 1 ? x 2 ,则由 0 ? ? x 1 ? ? x 2 由 y ? f ( x ) 在区间 ( ?? , 0 ) 上是单调递减函数,有 f ( ? x 1 ) ? f ( ? x 2 ) , 又由 y ? f ( x ) 是奇函数,有 ? f ( x 1 ) ? ? f ( x 2 ) ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) . 所以,函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , ?? ) 上是单调递减函数.
?? x ? 2, x ? 0, ?1 ? ? , x ? 0, (2)如 f ( x ) ? ? 0 ,    x ? 0 , 或 f ( x ) ? ? x 等 ?? x ? 2, x ? 0. ?0, x ? 0. ? ?

(6 分)

17. (理)解: (1)设 P ( x , y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c , y ) , F 2 P ? ( x ? c , y )
PF 1 ? PF ? x
2

(1 分)

2

? y

2

? c

2

?

a

2

?1
2

x

2

? 1 ? c , x ? ?? a , a ?
2

(3 分)

a
2

由题意, 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a
x
2

2

? 2,

(2 分)

所以,椭圆 C 的方程为

? y

2

? 1.

(1 分) (1 分) (2 分)
2 2

2

(2)由(1)得 F (1, 0 ) ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入
x
2

? y

2

? 1 ,得 ( 2 k

2

? 1) x ? 4 k x ? 2 k
2 2

2

? 2 ? 0

2

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?
? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 ) ? ?2k 2k
2

4k 2k
2

2

?1

, x1 x 2 ?

2k 2k

?2 ?1



?1

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中国领先的中小学教育品牌 设 A B 的中点为 M ,则 M (
2k 2k
2 2

?1

,? 2k

k
2

?1

),

(2 分)

? AD ? BD ,? DM ? AB ,即 k CM ? k AB ? ? 1
? 4k 2k
2 2

?1

? 2m ?

?2k 2k
2

?1

k ? 0 ? (1 ? 2 m ) k

2

? m

(2 分)

因为直线 l 不与坐标轴垂直的,所以 k
m 1 ? 2m 1 2

2

?

m 1 ? 2m

.

?

? 0 ? 0 ? m ?



(2 分) (1 分) (3 分) (2 分) (1 分)

17. (文)解: (1)由题意,可求得 F 1 ( ? 1, 0 ) , F 2 (1 , 0 ) . 设 P ( x , y ) ,则有 F1 P ? ( x ? 1, y ) , F 2 P ? ( x ? 1, y )
PF 1 ? PF 2 ? x
2

? y

2

?1 ?

1 2

x ,x? ?
2

?

2,

2

?

所以, PF 1 ? PF 2 ? ?0 ,1 ? .

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1 )( k ? 0 ) ,
x
2

(1 分)

代入

? y

2

? 1 ,整理得 (1 ? 2 k ) x
2

2

? 4k x ? 2k
2

2

? 2 ? 0 , (*)

(2 分)

2

因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F 1 ,所以方程*有两个不相等的实根. 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , AB 中点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则
4k 2k
2 2

x1 ? x 2 ? ?

?1

, x0 ? ?

2k 2k
2

2

?1

, y0 ?

k 2k 1 k
2

?1



(2 分)

线段 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ?
2k 2k
2 2

(x ? x0 ) .
k 2k
2 2

(1 分)
1 2 1 4k
2

令 y ? 0 ,则 x G ? x 0 ? ky 0 ? ?

?1

? 2k

k
2

2

?1

? ?

?1

? ?

?

? 2

. 分) (2

因为 k ? 0 ,所以 ?

1

? 1 ? ? x G ? 0 .即点 G 横坐标的取值范围为 ? ? , 0 ? . 2 ? 2 ?

(1 分)

18. (理)解: (1) T 9 ?

( 3 ? 35 ) ? 5 2

?

(17 ? 41 ) ? 4 2

? 211 .

(4 分)

? (2)? a n ? a n ? 1 ? 2 n ( n ? N )①

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a n ?1 ? a n ? 2 ? 2 ( n ? 1)

② (2 分) (1 分)

? ②-①得 a n ? 2 ? a n ? 2 ( n ? N ) .

所以, ?a n ? 为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?
?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ? 2 ?
? n ?1 ? 2 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ?

(2 分)

当 n 为奇数时,解法一: a n ? a ? ?

(2 分)

解法二: a n ? 2 ( n ? 1 ) ? a n ? 1 ? 2 ( n ? 1 ) ? ?? n ? 1 ? ? a ? ? n ? a ? 1 ; 解法三:先求 n 为奇数时的 a n ,再用①求 n 为偶数时的 a n 同样给分.
( ? n ? a ? 1 , n 为奇数) ? an ? ? ? n ? a ,  ( n 为偶数)

(1 分)

(3)解一:
n ?n ? ? ? 1? 2 ? 2 ? 2 n ?n ? ? ? 1? 2 ? 2 ? 2

当 n 为偶数时, S n

? a ?

n 2

?

? 2 ? ?2 ? a ? ?

n 2

?

? 2 ?

1 2

n

2



(1 分)

当 n 为奇数时, S n ? a ?
? 1 2

n ?1 2

?

n ?1?n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2

? 2 ? ?2 ? a ? ?

n ?1 2

?

n ?1?n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2

? 2

n

2

? a ?

1 2



(1 分) (1 分) (1 分) (1 分) (1 分)
? S n ? 2 ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ?
2

当 k 为偶数时, S k ? 由题意,有 S 9 ? 或 S 11 ?
1 2 1 2

1 2
2

k

2

? 50 ,得 k ? 10 . 1 2 ? 50 ? a ? 10 ; 1 2 ? 50 ? a ? ? 10 .

?9

? a ?
2

? 11

? a ?

所以, a ? ? 10 . 解二:当 n 为偶数时,? a n ? a n ? 1 ? 2 n , 当 n 为奇数时, S n ? S n ? 1 ? a n ? 以下与解法一相同. 18. (文)解: (1) c 8 ? 41 , c 9 ? 35
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1 2 n
2

(1 分) (1 分)

1 2

? ( n ? 1)

? n ? a ?1 ?

1 2

n

2

? a ?

1 2



(2 分)
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T9 ? ( 3 ? 35 ) ? 5 2 ? (17 ? 41 ) ? 4 2 ? 211 .

(4 分)

(2)? a n ? a n ? 1 ? 2 n
a n ?1 ? a n ? 2 ? 2 ( n ? 1)

① ②

②-①得 a n ? 2 ? a n ? 2 . 所以, ?a n ? 为公差为 2 的准等差数列. 当 n 为奇数时, a n ? a ? ?
? ? n ?1 2 ? n ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ?

(2 分)

(2 分)

当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

? ? 1? ? 2 ? n ? a , ? 2 ?

(2 分)

( ? n ? a ? 1 , n 为奇数) ? an ? ? ? n ? a ,  ( n 为偶数)

(3)解一:在 S 63 ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 63 中,有 32 各奇数项,31 各偶数项, 所以, S 63 ? 32 a ?
? S 63 ? 2012

32 ? 31 2

? 2 ? 31 ( 2 ? a ) ?

31 ? 30 2

? 2 ? a ? 1984 .

(4 分) (2 分)

,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

解二:当 n 为偶数时, a 1 ? a 2 ? 2 ? 1 , a 3 ? a 4 ? 2 ? 3 ,… … a n ? 1 ? a n ? 2 ? ( n ? 1 ) 将上面各式相加,得 S n ?
? S 63 ? S 62 ? a 63 ?
? S 63 ? 2012

1 2
2