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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第4课时 充分条件与必要条件 理


课题:充分条件和必要条件
考纲要求: 掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系 教材复习

如果 基本知识方法

?1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5?

如果 p ? q ,则 p 是 q 的 如果 p ? q, q ? p ,则 p 是 q 的 如果 如果

,q

是 p 的 ; ,则 p 是 q 的的充分而不必要条件; ,则 p 是 q 的必要而不充分条件;



,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件;

1. 判断充要关系的关键是分清条件和结论; 2. 判断“ p 是 q 的什么条件”的本质是判断命题“若 p ,则 q ”及“若 q ,则 p ”的真假; 3. 判断充要条件关系的四种方法: ①定义法:若 p ? q , 则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件。
②利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 p ? q 等价于 ?q ? ? p ③利用集合的包含关系:对于集合问题,记条件 p 、 q 对应的集合分别为 A 、 B 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分不必要条件, q 是 p 的必要不充分条件; 若 A ? B ,则 A 是 B 的充要条件; 若 A à B 且 B à A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ④利用“ ? ”传递性 4. “否命题”与“命题的否定”的区别: 否命题是对原命题“若 p 则 q ”的条件 p 和结论都否定,即“若 ? p 则 ? q ” ; 而原命题的否定是: “若 p 则 ? q ” ,即只是否定原命题的结论。

5. 探索充要条件:在探索一个结论成立的充要条件时,一般先探索必要条件,再确定充分
条件;也可以一些基本的等价关系来探索。 典例分析: 问题 1.指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件(在“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充 要” 、 “既不充分也不必要”中选一种作答)

?1? 在 △ ABC 中, p : A ? B , q : sin A ? sin B ? 2 ? 对于实数 x, y , p : x ? y ? 8 , q : x ? 2 或 y ? 6 ? 3? 在 △ ABC 中, p : sin A ? sin B , q : tan A ? tan B ? 4 ? 已知 x 、 y ? R , p : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 0 , q : ( x ?1)( y ? 2) ? 0

9

问题 2. ( 07 浙江) “ x ? 1 ”是“ x ? x ”的
2

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

问题 3. ( 04 重庆)已知 p 是 r 的充分不必要条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的 必要条件.那么 p 是 q 成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

问题 4. ?1? (全国高考)若 A 是 B 的必要不充分条件,则 A 是 B 的
? ?

? 2 ? 已知条件 p : x ? y ? ?2 ,条件 q : x 、 y 不都是 ?1 ,则 p 是 q

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ? 3? ( 04 湖北)若条件 p : x ? 1 ≤ 4 ,条件 q : x2 ? 5x ? 6 ,则 ? p 是 ?q 的

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

走向高考:
10

2 1. ( 07 福建文) “ x ? 2 ”是“ x ? x ? 6 ? 0 ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. ( 08 安徽) a ? 0 是方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. ( 08 海南)平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同 C . ?? ? R , b ? ? a B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

4. (福建) “ a ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3 2 5. ( 07 江西文) ? ?) 内单调递增,q :m ≥ 设 p : f ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1 在 (??,

4 , 3

则 p 是q 的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. ( 07 湖北文)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必
要条件, q 是 s 的必要条件,现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是
? 充分条件; ④ p 是 s 的必要条件而不是充分条件; ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件.
?

则正确命题的序号是

A. ①④⑤ B. ①②④

C. ②③⑤

D. ②④⑤

7. ( 07 山东)下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是
11

① p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点. ②p:

f (? x) ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数.③ p : cos ? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? . f ( x)
B ? A ; q : CU B ? CU A . A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ①④

④p:A

课后练习作业:

1. 一元二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? ?1

2. 已知两个简单命题 p 和 q , “ p 且 q 为真命题”是“ p 或 q 为真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知 p : 1 ?

x ?1 2 2 ≤ 2 , q : x ? 2 x ? 1 ? m ≤ 0 ? m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分 3

条件,求实数 m 的取值范围.

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