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点线面投影


3.点.直线.平面的投影
教学目标 3.1 点的投影
3.2 直线的投影 3.3 平面的投影

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3.点.直线.平面的投影
教学目标
1. 掌握点、直线和平面的投影规律与作图法。 2.掌握点与线的相对位置中,从属性和定比性的 运用。 3.掌握各种位置直线和平面的投影特征,作图 方 法以及在投影

图上正确判断其空间位置。 4. 掌握两直线,两平面相对位置的投影特征及 判断方法。

3.点.直线.平面的投影
3.1 点的投影
? 3.1.1点的三面投影

? 3.1.2点的空间位置
? 3.1.3两点的相对位置

点.直线.平面的投影
3.2 直线的投影
? 3.2.1各种位置直线及其投影特征

? 3.2.2直线与点的相对位置
? 3.2.3两直线的相对位置

3.点.直线.平面的投影
3.3 平面的投影
? 3.3.1平面的表示法

? 3.3.2各种位置平面及其投影特征
? 3.3.3平面上的直线和点

点的投影
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素

A

点 线


D

B

C

点的三面投影 过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点A 在P面上的投影。 P P

A

a?

B

B1 B2

b?

点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。

解决办法

? 采用多面投影。

点的三面的投影
投影面与投影轴
V

Z

X

O

V面与H面的交线—OX轴

Y

H面与W面的交线—OY轴 V面与W面的交线—OZ轴

点的三面投影 空间点的位置和直角坐标 空间点的位置,可由 直角坐标值来确定, 一般采用下列的书写 形式:A(x,y,z)。 点到各投影面的 距离,为相应的坐标 数值X,Y,Z 。

Α —空间点A; a —点A的水平(H)投影; a′ —点A的正面(V)投影; a″ —点A的侧面(W)投影。

V面不动
V a′ A X

投影面展开
Z

Z
aZ

V

a?
ax a

az
O

a″

W

W

X

a″ O
H

ay

YW

aX
a

ay
YH

H

aY

Y

H面向下旋转90°

W面向右旋转90°

点的三面投影规律:
Z V a′ A X a
X

a'
XA

aZ

Z
YA

a''

a″
ZA
XA

aX X

ZA

aZ

W

O

aYW

YW

H

a

aY

a
Y

YA

O

aYH YH

? Aa″=aay= a? az=ax0=xA——A点到W面的距离 ? Aa′=aax= a? az=ay0=yA——A点到V面的距离 ? Aa =a?ax= a? ay=az0=zA——A点到H面的距离 ? a?a⊥OX轴; a?a?⊥OZ轴;
a到OX轴的距离= a?到OZ轴的距离

例1:已知A点的坐标值A(12,10,15),求作A点的 三面投影图。

步骤: ?作投影轴; ?量取:

a'

aZ

Z

a''

Oax=12、Oaz=15、 OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、 OaYW等点 ; a 交点a、a′、a″既为所求。

aX X

12

O
a YH

a YW YW

?过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线,

YH

练习1: 已知A点的坐标值是A(30,20,15), 作A点的三面投影图

例2:已知点的两个投影,求第三投影。 解法一 : az a? a?
● ●

ax

通过作45°线使a?az=aax

a● 解法二: 用圆规直接量取a?az=aax
a?● az


a?

ax

a●

点的空间位置 3.1.2 点的空间位置 点在投影体系中有 四种位置情况:
V a′ A X aX H a

Z
aZ

a″ O
aY
W

1. 在空间(X,Y,Z)
a' X a Z a' '

Y

O YH

YW

?由于X,Y,Z均不为
零,对三个投影面都有 一定距离,所以点的三 个投影都不在轴上。

点的空间位置

Z V

2. 在投影面上:
在H面上(X,Y,0) 在V面上(X,0,Z) 在W面上(0,Y,Z)
Z X b' b O YH ' b'
X

C C′
b′ C B H b

C″ d′ D W d″

O
b″ d Y

c'
YW X

c' ' O YH YW X

Z d' O d YH

d' ' YW

c

?由于点在投影面上,点对该投影面的距离为零。所以,点在该投影
面上的投影与空间点重合,另两投影在该投影面的两根投影轴上。

3.1.3 点的相对位置 两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、左右位置关系。 判断方法: ? x 坐标大的在左;
V


后a'
b左 ' Z A a'' 右 W O

X

B a



前 b''
Y

? y 坐标大的在前; ? z 坐标大的在上。
b'

Hb

a'

Z

a'' b''

B点在A点的 左、下、前方。

X a b

O

YW

YH

两点重影
重影点需要判断其可见性,将不可见点的投影用括号括起来, ?当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时,该两点
以示区别。 处于同一投射线上,它们在该投射线所垂直的投影面上的投影 a'' a' 重合在一起,这两点称为对该投影面的重影点。

V

a' b' A B
H a(b)

Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH b' X O b'' YW

X

H面重影,被挡 住的投影加( )

练习2:

在练习1的坐标图中作点B(10,5,10) 的三面投影,并判断A、B两点的空间位 置。

直线的投影
例1:已知线段两端点A(20,10,8)和 B(6,6,20),求作AB的三面投影 练习1:已知线段两端点A(20,0,0) 和B(5,15,5),求作AB的三面投影

直线的投影 3.2 直线的投影
各种位置直线的投影特征 两点确定一条直线,将两点的同 面投影用直线连接,就得到直线的 投影。


Z b' a' b'' a'' YW b a
A ● YH M● B● a≡b≡m


X
B

O

B A●



A●

α


b



b

a●

a●

直线倾斜于投影面 直线平行于投影面 直线垂直于投影面 投影比空间线段短 投影反映线段实长 投影重合为一点 ab<AB cos? 收缩性 ab=AB 真实性 ab=0 积聚性

直线中的投影特性 直线在三个投影面中的投影特性 正平线(平行于V面)

投影面平行线 侧平线(平行于W面) 平行于某一投影面而
水平线(平行于H面) 统称特殊位置直线 正垂线(垂直于V面) 侧垂线(垂直于W面) 垂直于某一投影面 铅垂线(垂直于H面) 与其余两投影面倾斜

投影面垂直线

一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线

(1) 一般位置直线

Z

Z b' b'' a'' YW b

V a' X

b'
β α

B
γ

b''

W
X

a' O

A Ha

O b

a''
a

Y

YH

投影特性:
三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实 长及与三个投影面夹角,且与三根投影轴都倾斜。

(2) 投影面平行线
a′ b′ O a b

Z

a″ b″

X

YW

投影特性: 水平线的投影特征:

YH

1. 水平线的H面投影反映线段实长。即:ab=AB; 对正平线和侧平线作分析,可得出类似的投影特征。 2. 水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。 即 a′b′∥ox轴,a″b″∥OYW轴; 3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β;与 OYH轴的夹角,反映该直线对W面的倾角γ。

投影面平行线
水平线
a? a b? a? b?

实长 a?
b?
b
α γ

正平线
a? b? a? b?

侧平线
a? 实长
β

α

b?

β

a
γ

实长

b

a

b

与H面的夹角:α 与V面的角:β

与W面的夹角:γ

投 影 特 性: 1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。 辨认:两平一斜

(3)投影面垂直线
a′ b′ X a(b) O

Z

a″ b″

YW

投影特性:
铅垂线投影特征:

YH

1. H面投影积聚成一点; 对正垂线和侧垂线作分析,可得出类似的投影特征。 2. V、W面投影反映实长,即a′b′=a″b″=AB;V、W 面投影,分别垂直于H面的两面根轴,即: a′b′⊥ox轴a″b″ ⊥oy轴 。

投影面垂直线

a?
b?

铅垂线

a? b?
积聚 为点

正垂线
c?(d?)


侧垂线
e? f? e?(f?)


d? c?

d c

a(b)
积聚 为点



e

f

积聚 为点

投影特性:

1.在其垂直的投影面上,投影有积聚性。 2.另外两个投影面上,投影反映线段实长。 且垂直于相应的投影轴。

辨认:一点两线

例1:判断下列直线的空间位置
a' b' a'

C′

b' d′ a C

d
b

b

d

d

a

AB为水平线

CD为侧平线

练习1:已知立体上直线 AB、CD 的空间位置, 在投影图中标注其投影位置,并填空。
a’
b’
a ’’

c’ d’

b ’’

) ’’ c (
) ’’ d (

a
b

c (d )
一般位置
铅垂

练习2: 已知直线AB、AC的二投影,求二直线的第三 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。
Z b’

b ’’

c ’’
a’ c’

a ’’

X
c a

0

Yw

b YH
线, a ’b ’ 反映 AB 实长;

AB 是 正平线

ac 反映 AC AC 是 水平线 线。

3.3.1 平面的表示法 3.3 平面的投影


s? a ? ●



s?

3.3.1平面的表示法




a ? ●


a ? ●


c?


s? a ? ●



s?

d?

a ? ●


b?

● ● a?

s?
● a?

b?



s?
● a?



b? c? ●
● ●

b?





s?
● a?

b?



s?

d? a? ●




b?




b?


b?

b?




b?


a●


s

a●


s

a●

c




a●


s

a●


s

不在同一 直线上的 三个点

b

b

b

d



b

b

直线及线 外一点

两平行直线

两相交直线

平面图形

3.3.2 各种位置平面的投影特性 3.3.2 各种位置平面的投影特性

平面对一个投影面的投影特性

平行

垂直

倾斜 真实性

投 影 特 性 ?平面平行投影面-----投影就把实形现 ?平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ?平面倾斜投影面-----投影类似原平面

积聚性
收缩性

平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类:
垂直于某一投影面, 倾斜于另两个投影面

投影面垂直面 特殊位置平面

正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面

平行于某一投影面, 垂直于另两个投影面

投影面平行面 一般位置平面

与三个投影面都倾斜

投影面垂直面

Z a′ X a b c YH b′ a″ c′ O b″ c″ YW

1.H面投影积聚成一直线; 2. 、 反映平面对V、W面的倾角。

⒈ 投影面垂直面 类似性
ABC为什么 位置的平面
a?

b? c? c?
β

b?

类似性
a?

铅垂面
为什么? a
γ

c

b

投影特性: 在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。

积聚性

投影面平行面
Z V

b'

c' C

a' A a" c" O B c a b" W

H

b

Y

2.投影面平行面
a? b? c? a? c? b?

积聚性
a

积聚性

实形性
b

c

结论:水平面

投影特性: 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。

一般位置平面

Z
V

b'

a' c' A
X

B b" C c a" c" b

a

H

Y

⒊ 一般位置平面
b? c? a? a? b? c?

投影特性:

b
a

三个投影都类似。
c

4.3.3平面上的直线和点 3.3.3平面上的直线和点

平面上取任意直线

判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点,则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点,且平行于该平 面上的另一直线,则 此直线在该平面内。

本 章 小 结
本章小结

?点、直线平面是构成形体的基本几何元素,研究它们的投
影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础 和提供有力的分析手段。

?点与直线的投影特性,尤其是特殊位置直线的投影特性。 ?点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。 ?平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的投影特性。


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