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椭圆的简单几何性质导学案


人教 B 版选修 2-1

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也能能陪伴着你。

2.2.2 椭圆的几何性质导学案
学习目标
1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义
2 、通过对椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。

学习重点与难点
学习重点:椭圆的几何性质 学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及 a,b,c,e 的关系

知识链接
(1)椭圆的定义 __________ __________ __________ __________ __________ __ (2)椭圆的标准方程: 焦点在 x 轴上时: __________ _______ ,焦点在 y 轴上时: __________ __________ (3)椭圆中 a,b,c 的关系是 __________ _________

学习过程
一、课内探究 探究一:观察椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的形状,你能从图形上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性? a 2 b2

椭圆上哪些点比较特殊? y

x o 1 、范围 : (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是 __________ _______ 。

__________。 . 椭圆上点的纵坐标的范围是 __________
(2)由椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 知: a2 b2

x2 ① 2 ____ 1,即 ____ ? x ? ____ a


y2 ____ 1;即 ____ ? y ? ___ b2
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人教 B 版选修 2-1

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也能能陪伴着你。

因此

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 位于直线 __________ _ 和 __________ 围成的矩形里。 a2 b2

2 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于 _________ , __________ , __________ 对称 (2)在椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 a2 b2

① 把 x 换成-x 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称 ②把 y 换成-y 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称 ③把 x 换成-x,同时把 y 换成-y 方程不变,说明图形关于 __________ 对称,因此 __________ __ 是椭 圆的对称轴, _________ 是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做 __________ _ 3 、顶点: (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 ______ 个交点, 分别为: A1 ( , )

A2 (

,

)

B1 (

,

)

B2 (

,

)

(2)线段 A1 A2 叫做椭圆的 _______ ,其长度为 __________ 线段 B1 B2 叫做椭圆的 ________ ,其长度为 __________ a 和 b 分别叫做椭圆的 ________ 和 __________ _

探究二: 同为椭圆为什么有些椭圆“圆”些, 有些椭圆“扁”些?是什么因素影响了椭圆的扁圆程 度?

4 、椭圆的离心率: ___ ___ ( 1 ) 定 义 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 做 椭 圆 的 离 心 率 , 用 _ _ _ _表 示 , 即 叫_

______? ______
(2)由于 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 __________ ___ (3)若 e 越接近 1,则 c 越接近 a,从而 b ? c 越接近 0,从而 b ?

a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越 _______ ;若 e 越接近 0,则

a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越接近于

要点总结

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人教 B 版选修 2-1 标准方程

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也能能陪伴着你。

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 轴长 短轴长 __________ _ ,长轴长 __________ _______ . 离心率

二、典例剖析 例1

求椭圆

的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用

描点法画出它的图形.

跟踪训练 1 已知椭圆方程为 12x ? y ? 12 ,
2 2

它的长轴长是: 。短轴是: 。焦距是: 焦点坐标是:_________________________。 顶点坐标是:______________________________

.离心率是:



例 2 :求适合下列条件的椭圆的标准方程

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教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也能能陪伴着你。

(1)经过点



;(2)长轴长等于 20,离心率等于



跟踪训练 2 椭圆的中心在原点,一个顶点是(0,2) ,离心率 e ?

3 2

,求椭圆的标准方程。

例 3 设椭圆对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点是一个正三角形的顶点,焦点与椭圆上的点的最 短距离为 3 ,求这个椭圆的方程和离心率

跟踪训练 3 若椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形,焦点到椭圆上 点的最短距离为 2,求椭圆方程和离心率

三、小结反思

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