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高中数学《合情推理与演绎推理》ppt课件7


2.1.2

演绎推理

情境设置
问:合情推理的含义与特点是什么?

合情推理

{

由部分到整体,由个别到一般的推理。 归纳推理:
类比推理: 由特殊到特殊的推理。

从具体问题 出发

观察、分析、 比较、联想<

br />
归纳类比

提出猜想

新课 学习目标:
1、什么是演绎推理?

2、什么是三段论?
3、合情推理与演绎推理有哪些区别?

4、能举出一些在生活和学习中有关演绎
推理的例子。

情景创设:观察下列推理有什么特点?
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 三角函数, 所以是tan ? 周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

大前提 小前提 结论

大前提 小前提 结论

一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,这种推理称为演绎推理.

二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式;

M……P(M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)

大前提---已知的一般原理; 小前提---所研究的特殊对象;

结论---据一般原理,对特殊
对象做出的判断.

用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元素 都具有性质P,S是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有 性质P。

P S
M

所有的金属(M)都能够导电(P) M……P 铜(S)是金属(M) S……M 铜(S)能够导电(P) S……P

二、演绎推理的特点:
1.演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,因 此演绎推理是由一般到特殊的推理;

2、在演绎推理中,前提于结论之间存在着必然的联系, 只要前提和推理形式是正确的,结论必定正确。因此 演绎推理是数学中严格的证明工具。

三、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体、个 由特殊到特殊 由一般到特殊的 推理。 形式 别到一般的推理。 的推理。
推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明。
在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下,得到的 结论一定正确。

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊)(一般到特殊) 归纳

数学应用:

例1:已知lg 2 ? m, 计算lg 0.8
解: (1) lg a n ? n lg a(a ? 0),
lg 8 ? lg 2 ,
3

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

所以lg 8 ? 3 lg 2 a ( 2) lg ? lg a ? lg b(a ? 0, b ? 0), b 8 lg 0.8 ? lg , 10

所以lg 0.8 ? lg 8 ? 1 ? 3 lg 2 ? 1 ? 3m ? 1.

1、下面说法正确的有( C )
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提 和推理形式有关。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

思考、演绎推理的结论一定正确吗? (1)因为指数函数 y ? a 是增函数,
x



?1? y?? ? ? 2?

x

是指数函数,
x

所以

?1? y?? ? ? 2?

是增函数。

错因:大前提是错误的,所以结论是 错误的。

(2)如图:在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上 的高,求证∠ACD>∠BCD。
证明: C

在△ABC中,
因为CD⊥AB,AC>BC

所以AD>BD,
于是∠ACD>∠ BCD。

A

D

B

错因:偷换概念

例2:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。
证明:任取 x1 , x2 ? (??,1), 且x1 ? x2 , 大前提:增函数的定义;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x ? 2 x1 ) ? (? x ? 2 x2 )
2 1 2 2

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2). 因为x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0;
因为x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. 因此, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提 所以f ( x) ? ? x 2 ? 2 x在(??,1)满足增函数定义,
于是,根据增函数的定义可知,

结论

函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。

例3:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。 大前提:在某个区间(a,b)内若 f ' ( x) ? 0,那么

证明:因为f ( x) ? ? x ? 2 x, 所以 函数y=f(x)在这个区间内单调递增;
2

f ' ( x) ? ?2 x ? 2 ? ?2( x ? 1), 又因为x ? (??,1), 即x ? 1, 所以x ? 1 ? 0, 从而 ? 2( x ? 1) ? 0,即f ' ( x) ? 0,

小前提 所以f ( x) ? ? x 2 ? 2 x在(??,1)有f ' ( x) ? 0.
由函数的单调性与其导数的关系知:

结论

函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。

用三段论证明:通项公式

an ? cq

n

( ? 0) cq

的数列

{an }是等比数列。
an ?1 ? q q 是常数,q≠0), 则 证明: 如果数列 {an }中 ( an
{an}是等比数列。
n

an ?1 cq 在an ? cq 中, ? ? q ( ? 0) q , n an cq
所以通项公式 a
n

n ?1

? cq (cq ? 0)为的数列 是等比数列。
n

练习1.在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,用演绎推 理“三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等.

证明:(1)因为有一个内角是直角的三 大前提

C

角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 所以△ABD是直角三角形 结论 同理△ABE是直角三角形 A M B (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 小前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 1 所以 DM= AB 结论 2
1 同理 EM= AB 2

E

D

所以 DM = EM

四、小结

概念

演 绎 推 理

一般形式——三段论 证明问题

(重点)
(难点)

合情推理与演绎推理的联系与区别 (重点)

思考题:

对于任意正整数n,猜想(2n-1)与
(n+1)2 的大小关系。并用演绎推理证

明你的结论。


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