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高中数学选修2-1 第二章 测试题


第二章
【选题明细表】 知识点、方法 归纳 类比 演绎推理 综合法 分析法 反证法

检测试题

(时间:90 分钟 满分:120 分)

题号 1、7、9、12、14、18 2、8、13 3、10、15 5、17 6、17 4、11、16

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分

,共 50 分)
1.观察下图:

则第几行的各数之和等于 192.( B ) (A)9 (B)10 (C)18 (D)19 解析:观察可得第 1 行各数之和为 12,第 2 行各数之和为 32,第 3 行各数之和为 52,…,因此第 n 行各数之和为 (2n-1)2,令 2n-1=19,得 n=10,故选 B. 2.由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱 锥四个面的距离相等”这一推理过程是( (A)归纳推理 (B)类比推理 B )

(C)演绎推理 (D)非上述答案 解析:这一推理过程是由三角形的内切圆与三棱锥的内切球进行类比,故选 B. 3.凡自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.以上三段论推理模式( (A)正确 (B)推理形式不正确 (C)“两个自然数”概念不一致 (D)“两个整数”概念不一致 解析:大、小前提,推理形式均正确,所以此推理正确,故选 A. 4.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( (A)有一个解 (B)有两个解 (C)至少有三个解 (D)至少有两个解 C ) A )

解析:“至多有两个解”即有 2 个解或 1 解或没有解,因此其反面是“至少有 3 个解”,故选 C.

5.证明命题:“f(x)=ex+ 在(0,+∞)上是增函数”.现给出的证法如下:因为 f(x)=ex+ ,所以 f'(x)=ex- .

因为 x>0,所以 ex>1,0< <1.所以 ex- >0,即 f'(x)>0.所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数,使用的证明方法是(

A )

(A)综合法 (B)分析法

(C)反证法 (D)以上都不是 解析:这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的,是综合法,故选 A.

6.已知 c>1,a=

-

,b=

-

,则正确的结论是(

B )

(A)a>b (C)a=b

(B)a<b (D)a、b 大小不定

解析:要比较 a 与 b 的大小,由于 c>1,所以 a>0,b>0,

故只需比较 与 的大小即可,

而 =

=

+

,

=

=

+

,

显然 > ,从而必有 a<b,故选 B.

7.(2010 年高考山东卷)观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( (A)f(x) (C)g(x) (B)-f(x) (D)-g(x) D )

解析:由已知的三个式子可得偶函数的导数是奇函数,因此当 f(x)满足 f(-x)=f(x)时,必有 g(-x)=-g(x).故选 D.

8.(2011 年金华高二检测)三角形的面积为 S= (a+b+c)·r,a,b,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利

用类比推理,可以得出四面体的体积为(

C )

(A)V= abc(a,b,c 为底面边长)

(B)V= Sh(S 为底面面积,h 为四面体的高)

(C)V= (S1+S2+S3+S4)r(S1,S2,S3,S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球的半径)

(D)V= (ab+bc+ac)h(a、b、c 为底面边长,h 为四面体的高)

解析:在平面与空间的类比中,一般是线与面相对应,圆与球对应,故选 C.

9.在数列{an}中,a1= ,Sn 为{an}的前 n 项和,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为( C

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由条件可求得 a2= ,a3= ,a4= ,

∴猜想 an=

,故选 C.

10.已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,那么 a、b、c 的值为(

A )

(A)a= ,b=c=

(B)a=b=c=

(C)a=0,b=c=

(D)不存在这样的 a、b、c 解析:令 S=1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1, 3S=3+2×32+3×33+4×34+…+n×3n, -2S=1+3+32+33+…+3n-1-n×3n,

-2S=

-n×3n,

S=

+ n×3n,

S=( n- )·3n+ ,

若原式对一切 n∈N*都成立,则

a= ,b=c= ,

故选 A.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°相矛盾,∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形 中不能有两个直角;③假设△ABC 中,∠A、∠B、∠C 有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列 为 . 解析:由反证法步骤可知,序号排列为③①②. 答案:③①②

12.(2011 年高考山东卷)设函数 f(x)=

(x>0),观察:

f1(x)=f(x)=

,

f2(x)=f(f1(x))=

,

f3(x)=f(f2(x))=

,

f4(x)=f(f3(x))=

,

… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= .

解析:设 fk(x)=

,

由题设可推测 bk=2k,ak=bk-1=2k-1,

∴fn(x)=

.

答案:

13.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱 长比为 1∶2,则它们的体积比为 解析:面积比是边长的平方比 答案:1∶8 . 体积比是棱长的立方比.

14.给出下列不等式:23+53>22·5+2·52,24+54>23·5+2·53,

+

>22·

+

·52,….请将上述不等式在左右两端

仍为两项和的情况下加以推广,使上述不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为

.

解析:由“23+53>22·5+2·52”,“24+54>23·5+2·53”,“

+

>22·

+

·52”,可得推广形式的最基本的印象:应具有



+

>

·

+

·

”的形式. + > · + · ”的形式.

再分析底数间的关系,可得较细致的印象:应具有“

再分析指数间的关系,可得准确的推广形式:am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0). 答案:am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)
15.(本小题满分 12 分)

如图是三个拼在一起的正方形,求证:α+β= .

证明:根据题意,

0<α< ,0<β< ,

∴0<α+β<π.

又∵tan α= ,tan β= ,

∴tan(α+β)=

=

=1.

∵0<α+β<π,在(0,π)内正切值等于 1 的角只有 .

∴α+β= .

16.(本小题满分 12 分) (2011 年马鞍山高二质检)在不等边△ABC 中,A 是最小角,求证:A<60°. 证明:假设 A≥60°, ∵A 是不等边三角形 ABC 的最小角(不妨设 C 为最大角), ∴B≥A≥60°,C>A≥60°, ∴A+B+C>180°,与三角形内角和等于 180°矛盾, ∴假设不成立,原结论正确,即 A<60°. 17.(本小题满分 12 分) 已知 a2+b2=1,x2+y2=1,求证:ax+by≤1(分别用综合法、分析法证明). 证明:综合法:∵2ax≤a2+x2,2by≤b2+y2, ∴2(ax+by)≤(a2+b2)+(x2+y2). 又∵a2+b2=1,x2+y2=1, ∴2(ax+by)≤2,∴ax+by≤1. 分析法: 要证 ax+by≤1 成立, 只要证 1-(ax+by)≥0, 只要证 2-2ax-2by≥0, 又∵a2+b2=1,x2+y2=1, ∴只要证 a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0, 即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立, ∴ax+by≤1 成立. 18.(本小题满分 14 分)

设 f(x)=

,g(x)=

(其中 a>0,且 a≠1).

(1)5=2+3,请你推测 g(5)能否用 f(2),f(3),g(2),g(3)来表示; (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 解:(1)f(3)g(2)+g(3)f(2)

=

·

+

·

=

,

又 g(5)=

,

∴g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2). (2)由(1)知 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 即 g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 于是推测 g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).

证明:∵f(x)=

,

g(x)=

,

g(x+y)=

,

g(y)=

,f(y)=

,

∴f(x)g(y)+g(x)f(y)

=

·

+

·

=

=g(x+y).

自我补偿
1.(归纳推理:归纳时注意计算的准确性)观察图中各正方形图案,每条边上有 n(n≥2)个圆点,第 n 个图案中圆 点的个数是 an,按此规律推断出所有的圆点 Sn 与 n 的关系式为( A )

(A)Sn=2n2-2n(n≥2) (B)Sn=2n2(n≥2) (C)Sn=4n2-3n(n≥2) (D)Sn=n2+2n(n≥2) 解析:由图知 S2=a2=4,S3=a2+a3=4+8=12,S4=a2+a3+a4=12+12=24,因此可归纳得到 Sn=2n2-2n(n≥2),故选 A.

2.(类比推理:找错类比对象而易出错)如图,在三棱锥 S ABC 中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且 SA、SB、SC 和 底面 ABC 所成的角分别为α1、 2、 3,三侧面△SBC,△SAC,△SAB 面积分别为 S1,S2,S3,类比三角形中的正弦 α α 定理,给出空间情形的一个猜想是 .

解析:在△DEF 中,由正弦定理,



=

=

.

于是,类比三角形中的正弦定理,

在三棱锥 S ABC 中,我们猜想

=

=

成立.

答案:

=

=

3.(反证法:否定结论时易出错)有 10 只猴子共分了 56 个香蕉,每只猴子至少分到 1 个香蕉,最多分到 10 个香 蕉,试证:至少有两只猴子分到同样多的香蕉. 证明:假设 10 只猴子分到的香蕉都不一样多, ∵每只猴子至少分到一个香蕉,最多分到 10 个香蕉, ∴只能是分别分到 1,2,3,…,10 个香蕉. 共分了 1+2+3+…+10=55(个),这与共分了 56 个香蕉相矛盾,故至少有两只猴子分得同样多的香蕉.


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