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集合习题(2)


1.1 集合习题课(2)

知识回顾:
1.元素与集合 1)元素:确定性、互异性、无序性 2) 元素与集合的关系:a ? A、b ? B 3)若集合A,B中元素相同,则A=B * 4) 常用数集:N、N 、Z、Q、R

2. 集合间的基本关系
? A? B ? ? A? B A ? B
规定: ?? A

r />
A? B

A( B )

A

B

?? ? A ?? A? ? ? ? (A为非空集合 ) A 性质:若A ? B且A ? B,则A ? B A? A
若A ? B且B ? C,则A ? C

3. 集合的基本运算
1. A ? B ? { x | x ? A,或x ? B}
2. A ? B ? { x | x ? A,且x ? B} 3. ?U A ? { x | x ? U,且x ? A}

A

B

U

A

结论:A ? B ?A ? B ? B ,A ? A ? B , B ? A ? B . 性质: 结论:A ? B ?A ? B ? A ,A ? B ? A , A ? B ? B .

A ? A ? A; A ? A ? A; A ? ? ?A ; A ? ? ??.

B

A

补集性质: (1) ?U ? ? U; ?U U ? ?; 痧 ( U
U

A) ? A;

(2) A ? (?U A) ? ?; A ? (?U A) ? U.
U
A

(3) 摩根定律 (CUA)∩(CUB)= CU (A∪B) (CUA)∪(CUB)= CU (A∩B)

回答问题:
1. 集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗? 是 2. 集合 A={ x | x=2n+1,n∈Z}, B={ y | y=2m-1,m∈Z} 是 表示同一个集合吗? 3. 集合{1,2}与集合{2,1} 表示同一个集合吗? 是

4. 集合{(1,2)}与集合{(2,1)} 表示同一个集合吗? 否
5. 集合C={y| y=x2+1}, D={x| y=x2+1}, E={(x,y)| y=x2+1} 表示同一个集合吗? 否

3. 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A 只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法

表示集合A.

【 思 路 点 拨 】

明确集合A的含义

→ 对k加以讨论 → 求出k值 → 写出集合A

【解】 (1)当k=0时, 原方程变为-8x+16=0,x=2. 此时集合A={2}. (2)当k≠0时, 要使一元二次方程kx2-8x+16=0有一个实根, 只需Δ=64-64k=0,即k=1. 此时方程的解为x1=x2=4, 集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的值为0或1. 当k=0时,A={2}; 当k=1时,A={4}.

【点拨】

(1) 本例易忽略对 k 的讨论而想当然

地认为 kx2 - 8x + 16 = 0 是一元二次方程,从而
导致漏解. (2)A 中有一个元素是指 x 只有一解而不是 k 只有 一解.

3. 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A
只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法 表示集合A. 变式探究 (1)本例中,若 1 ∈ A,试用列举法表 示A; (2)本例中,若集合 A中含有两个元素,求k的取 值范围. 解:(1)∵1∈A, ∴k-8+16=0,k=-8. ∴方程-8x2-8x+16=0的解为x1=1,x2=-2. ∴A={1,-2}.

(2)由于 A 中含有两个元素, 所以方程 kx2-8x+16=0 有两个不同的实根,
?k≠0 即? , ?Δ=64-64k>0

∴k<1 且 k≠0,即 k∈{k|k<1,且 k≠0}.

例5. A ? { x | 0 ? x ? 1},B ? { x | x ? a }, 1)若A ? B ? ?, 求实数a的取值范围; 2)若A ? B ? B , 求实数a的取值范围.

a
解:
1)a ? 0

0

1

2) A ? B ? B ? A ? B ? a ? 1

注意:遇到端点要检验 ! 见参数必讨论!

例6.集合L1 ? {( x , y ) | y ? x ? 1}, L2 ? {( x , y ) | y ? ? x ? 1}, 求L1 ? L2 , L1 ? L2 . 解: ?y ? x ?1 L1 ? L2 ? {( x , y ) | ? } ? {( 0,1)} 相交 y ? ? x ? 1 ? L1 ? L2 ? {( x , y ) | y ? x ? 1,或y ? ? x ? 1} ? {( x , y ) | ( y ? x ? 1)( y ? x ? 1) ? 0}

思考:平面内直线l1、l2上点的集合分别为L1、L2 , 1)若L1 ? L2 ? ?, 则l1、l2的位置关系如何? 平行 那么L1 ? L2表示什么图形? 2条平行直线
2)若L1 ? L2 ? L1 , 则l1、l2的位置关系如何?

那么L1 ? L2表示平面内的几条直线?

重合 1条直线

例 1 .全集 U ? { x | x是小于10的正整数},A ? U,B ? U, 例 3. 全集 U=
且A ? B ? {2, 3}, (痧 , 8}, ( U A) ? (?U B ) ? {4, 6, 9}. U A) ? B ? {1 (1)求集合A与B; (2)求集合?U ( A ? B ).

解:由Venn图得:
A={2, 3, 5,7}, B ={1,8, 2, 3}, 6, 9}. ?U ( A ? B) ? {4,

U
5 7

469

A

2 3

B

1 8

结论: (CUA)∩(CUB)= CU (A∪B) (CUA)∪(CUB)= CU (A∩B)

例4.全集U ? { x | ?2 ? x ? 2}, 1) A ? { x | ?2 ? x ? ?1, 或x ? 2}, 求?U A;

解:?U A ? { x | ?1 ? x ? 2} 2) A ? { x | ?1 ? x ? a }, 求?U A;
解:分三种情况,讨论 如下:

?2

。 ?1

2 2

?2 1? 若a ? 2, 则?U A ? { x | ?2 ? x ? ?1}; ? 2 若 ? 1 ? a ? 2, 则 ?U A ? { x | ?2 ? x ? ?1, 或a ? x ? 2};

3? 若a ? ?1, 则 A ? ? , 即?U A ? U .

例5.

-3

-1

. .

0

作 业:
1. 教材第13~14页阅读与思考 2.《第一章集合与函数概念》第一单元自主检 测题


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