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专题1准静态问题的力三角形判断法新人教整理


专题 1 准静态问题的力三角形判断法 沈晨 编者按 当今市场上各种高中物理竞赛辅导资料多以章节的形式罗列知识点,方法辅导较 少,不利于激发学生学习的兴趣.因此,许多老师要求本刊编辑部组织一个有别于市场上的 竞赛辅导资料, 以给喜欢物理学, 渴求获得比高中教材所提供的更多的基础物理知识与更妙 的解决物理问题方法的中学生一套课外阅读材料, 也便于普通中学用作竞赛辅导并且与高中 现行物理教学同步的教材,在编排上,知识线与高中现行物理教材平行.对此,本刊编辑部 特邀资深竞赛辅导老师——浙江省特级教师、 宁波效实中学高级教师沈晨老师编写高中物理 竞赛辅导专题. 该专题内容以 《全国中学生物理竞赛内容提要》 为依据, 不拘泥于其界定. 数 学涉及高中现行教材全部内容,但不需要用到微积分,对部分求导、积分与微分方程通过微 元方法降解,是初等数学的物理;对高中物理内容不再作知识点的罗列,采用“点击式”介 绍更高层面的物理知识, 更巧妙的物理方法; 例讲选题注重给学生以解决物理问题的具体操 作方法与新信息传达; 练习题全部给出详解或解答指要; 选编练习题尽少重复全国物理竞赛 试题以增大新题容; 国际物理奥林匹克题降解选用比例高. 每个专题分“教你一手”与“小 试身手”两个模块,前者点击精彩物理知识与方法,后者提供研讨、试手的问题与实例,以 便老师辅导和学生自学.该系列专题共 27 讲,分别是准静态问题的力三角形判断法、点击 静力学问题解答技巧、平衡问题探骊、矢量图解运动问题、物系相关速度、动力学特殊问题 与特别方法、曲线运动曲直谈、 功与能、动量与动量、曲线运动的动力学解、天体宇宙种种、 谐振的认定与周期、 波的描述与波现象、 刚体的运动学与动力学问题、 热力学基础、 电容器、 静电学问题的等效处理、电阻等效 ABC、电路计算、电磁感应面面观、交流电路、费马原理 及其运用、成像问题集成、光干涉研究、微观世界的规律与方法、相对论浅涉、微元法.这 一系列专题将从本期连载. 教你一手 ??在静力学中, 经常遇到在力系作用下处于准静态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问 题.这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐,而采用力三角形图解讨论则清晰、直 观、全面. ??我们知道,当物体受三力作用而处于平衡时,必有∑F=0,表示三力关系的矢量图呈 闭合三角形,即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接.当物体所受三力有所变化而 又维系着平衡关系时, 这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变. 比较不同形状的力三 角形各几何边、角情况,我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一 目了然.所以,作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形,是力三角 形判断法的关键操作. ??三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况. ??类型一、三力中有一个力确定,即大小、方向不变,一个力方向确定,这个力的大小 类型一、三力中有一个力确定,即大小、方向不变,一个力方向确定, 类型一 及第三个力的大小、 及第三个力的大小、方向变化情况待定 ??例1 如图 1-1 所示,竖直杆 AB 在绳 AC 拉力作用下使整个装置处于平衡状态,若绳

AC 加长,使点 C 缓慢向左移动,杆 AB 仍竖直,且处于平衡状态,那么绳 AC 的拉力 T 和杆 AB 所受的压力 N 与原先相比,下列说法中正确的是(??)

图 1-1 ?? A.T 增大,N减小 ?? B.T 减小,N增大 ?? C.T 和N均增大 ?? D.T 和N均减小 ??分析与解 由于绳 AC 以不同方向拉杆, 使杆 AB 有一系列可能的平衡状态. 我们考察两 绳系在直立杆顶端的结点 A,它在绳 AC 的拉力 T、重物通过水平绳的拉力 F(F=G)和杆 AB 的支持力作用下平衡.三力中,水平绳拉力不变,杆支持力方向不变,总是竖直向上,大小 如何变化待定;而绳 AC 的拉力大小、方向均不确定.用代表这三个力的有向线段作出一簇 闭合三角形如图 1-2所示,取点 O 为始端,先作确定力 F 的有向线段①,从该线段箭头端 点按已知方向力的方向作射线②, 它是所有可能的力的作用线位置, 从射线②上任意点指向 O 点且将图形封闭成三角形的有向线段③便是第三个力矢量,在所得三角形集合图上,根据 题意,用曲箭头表示出动态变化的趋势.

图 1-2 ??从图 1-2中可知,随着绳 AC 趋于水平,其上的拉力减小,杆的支持力亦减小.注意 到杆对结点支持力与结点对杆压力是作用力与反作用力,故本题正确答案为选项 D. ??例 2 如图 1-3 所示,用绳通过定滑轮牵引物块,使物块在水平面上从图示位置开始 沿地面做匀速直线运动,若物块与地面间的动摩擦因数 μ<1,滑轮的质量及摩擦不计,则 在物块运动过程中,以下判断正确的是(??)

图 1-3 ?? A.绳子拉力将保持不变 ?? B.绳子拉力将不断增大 ?? C.地面对物块的摩擦力不断减小 ?? D.物块对地面的压力不断减小 ??分析与解 本题中物块是在四个力作用下保持动态平衡. 我们可先将地面施予物体的支 持力 N 与摩擦力合成为地面作用力 F,由于 f=μN′=μN,可知力 F 的方向是确定的:与 支持力的方向成 arctanμ 角, 支承面约束力 (支持力与滑动摩擦力或最大静摩擦力的合力) 与支持力间的这个角,通常称“摩擦角”,如图 1-4 所示.这样,问题转化为三力平衡, 其中重力 G 为确定力,地面作用力 F 为方向确定力,属于类型一的问题.

图 1-4 ??如图 1-5 所示,取点 O,作表示重力的有向线段①,从该线段箭头端点作地面作用力 F 的作用线所在射线②, 作从射线②上任意点指向 O 点且将图形封闭成三角形的一系列有向线 段③,它们就是绳拉力矢量,用曲箭头标明变化趋势.

图 1-5 ??根据题给限制条件,由于 μ<1,故力三角形中①、②两线间夹角小于 45°;由于初始 状态绳拉力与水平面成 45°,故力三角形中线段③与线段①的夹角从 45°开始减小,图 1 -5 中 θ 角小于 90°.容易判断:绳子拉力不断增大,地面作用力不断减小;由图 1-4 所示关系显见,地面支持力与摩擦力均随之减小.本题正确答案为选项 BCD. ??综上所述,类型一问题的作图方法是:以确定力矢量为力三角形系的基准边,在它的箭 头端沿已知方向力的方向作射线, 从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段, 勾画出 一簇闭合的矢量三角形, 用曲箭头标明动态趋势. 由此可判断各个力的大小和方向的变化趋 势. ??类型二、三力中有一个力确定,即大小、方向不变,一个力大小确定,这个力的方向及 第三个力的大小、方向变化情况待定

??例 3 如图 1-6 所示,质量为 m 的小球,用一细线悬挂在点 O 处.现用一大小恒定的 外力 F(F<mg)慢慢将小球拉起,在小球可能的平衡位置中,细线最大的偏角 θ 是多少?

图 1-6 ??分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止,静止时小球所受重力、 细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零.三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描 述,这些三角形中表示重力的矢量边是公共边,有一条矢量边长度相同.现在来作出这样的 三角形簇: ??如图 1-7 所示,取点 O 为起始点,作确定不变的重力矢量①,以其箭头端点为圆心, 表示外力 F 大小的线段长为半径作一圆, 该圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量, 该圆 周上各点指向 O 点并封闭图形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量. 这样我 们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集合图.

图 1-7 ??由图 1-7 可知,表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的夹角最大为 θ= arcsin(F/G)(线段③作为圆的切线时),细线拉力总沿着线,故小球可能的平衡位置中, 细线与竖直方向的偏角最大为 arcsin(F/G). ??例 4 如图 1-8 所示,在“验证力的平行四边形定则”实验中,用两只弹簧秤 A、B 把像 皮条上的结点拉到某一位置 O,这时两绳套 AO、BO 的夹角∠AOB 小于 90°.现保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使 α 角减小,那么要使结点仍在位置 O 处不动,就应调整弹 簧秤 B 的拉力大小及 β 角,则下列调整方法中可行的是(??)

图 1-8

?? A.增大弹簧秤 B 的拉力、增大 β 角 ?? B.增大弹簧秤 B 的拉力、β 角不变 ?? C.增大弹簧秤 B 的拉力、减小 β 角 ?? D.弹簧秤 B 的拉力大小不变、增大 β 角 ??分析与解 本题中我们考察结点 O,使之处于平衡的三个力中,一个力(橡皮条上的拉 力 F)大小方向均确定,一个力(弹簧秤 A 的拉力 FA)大小确定,需判断第三个力(弹簧秤 B 的拉力 FB)的变化情况. ??如图 1-9 所示,取点 O 为起始点,先作力 F 的有向线段①,以其箭头端点为圆心,表 示大小不变力 FA 的线段长为半径作一圆,该圆的每条矢径②均为力 FA 矢量,从该圆周上各 点指向 O 点的各有向线段③便是弹簧秤 B 的拉力 FB 矢量.这样我们勾画出表示可能的三力 关系的三角形集合图.

图 1-9 ??如图所示,若初始状态三力关系如△OO′A,在 α 角减小的前提下,线段③变长,即 FB 增大,而 β 角可能减小、不变或增大,三力依次成△OO′A1、△OO′A2、△OO′A3 所示的 关系,故正确答案为选项 ABC. ??综上所述,类型二问题的作图方法是:以确定力矢量为力三角形系的基准边,在它的箭 头端以已知方向力为矢径作圆, 从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段, 勾画出一 簇闭合的矢量三角形.由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势. ??类型三、三力中有一个力大小方向确定,另二力方向变化有依据,判断二力大小变化情 况 ??例5 如图 1-10 所示,绳子 a 一端固定在杆上 C 点,另一端通过定滑轮用力拉住,一 重物用绳 b 挂在杆 BC 上,杆可绕 B 点转动,杆、绳质量及摩擦不计,重物处于静止.若将 绳子 a 慢慢放下,则下列说法正确的是(??)

图 1-10

?? A.绳 a 的拉力 Fa 减小,杆的压力 F 增大 ?? B.绳 a 的拉力 Fa 增大,杆的压力 F 增大 ?? C.绳 a 的拉力 Fa 不变,杆的压力 F 减小 ?? D.绳 a 的拉力 Fa 增大,杆的压力 F 不变 ??分析与解 使结点 C 在各个位置处于平衡的三个力中只有绳 b 的拉力 F ? b (大小等于 重力,方向竖直向下)是确定的,另两个力的大小不定、方向变化,但这两个力的方向有依 据:绳 a 的拉力 Fa 总沿绳 a 收缩的方向,杆 BC 支持力方向总是沿杆而指向杆恢复形变的方 向, 那么表示这两个力的有向线段与几何线段相关, 任意位置时表示三力关系的矢量三角形 与表示位置关系的某几何三角形一一对应.

图 1-11 ??如图 1-11 所示, 自结点 C 先作表示确定力 F ? b 的有向线段①, 另两个变化力F′和 Fa 的有向线段②、③分别平行于杆 BC 及绳 a,且与有向线段①依次首尾相接构成闭合三角 形,与该力三角形相似的是几何三角形 ABC.C 的位置改变时,由于力三角形与几何三角形 总相似,可由几何边长的变化判定对应力大小的变化:随着绳子慢慢放下,几何边 AC 变长、 BC 不变,则绳 a 的拉力 Fa 增大,杆 BC 对结点 C 支持力 F′不变,即杆所受压力 F 不变.正 确答案为选项 D. ??例6 如图 1-12 所示,重为 G 的物体用两根绳子 OA、OB 悬挂,开始时绳 OA 水平,现 将两绳同时顺时针缓慢转过 90°,始终保持 α 角大小不变,且物体始终静止,设绳 OA 的 拉力为 T1,绳 OB 的拉力为 T2,则在此旋转过程中(??)

图 1-12 ?? A.T1 先减小后增大 ?? B.T1 先增大后减小 ?? C.T2 逐渐减小 ?? D.T2 最终变为零 ??分析与解 物体在重力及两绳拉力作用下保持准静态平衡. 两绳拉力均变化, 但方向总 沿绳,随绳的方位而变化.本题属类型三情况,我们来做出绳处于各可能位置时对应的力三

角形图.如图 1-13 所示,取点 O,作表示确定的重力 G 矢量的有向线段①,分别将表示 OA 绳拉力 T1 和 OB 绳拉力 T2 矢量的有向线段②、③与线段①依次首尾相接,构成闭合三角形, 两绳在初始位置时,力三角形为图中的△OO′C,这应是一个直角三角形,此后两绳相对位 置保持不变, 同时顺时针缓慢转过 90°, 则总沿绳的两绳拉力方向也同时地缓慢变化 90°, 说明表示两绳拉力的有向线段②、③间夹角 α 保持不变.在 90°范围内,与两绳各位置相 对应的三力关系如图中△OO′C1、△OO′C2……这簇三角形有一公共边即有向线段①,而 ∠C、∠C1、∠C2……相同,根据几何规律,这簇力三角形内接于同一个圆,有向线段①是此 圆的一条弦,∠C、∠C1、∠C2……是该弦对应的弧 上的圆周角,同弧上的圆周角相等,

初始时力三角形 OO′C 为直角三角形,则此时的向线段③长度是该圆的直径 OC.

图 1-13 ??由图 1-13 可比照图形的几何性质,我们可以确定绳 OA 拉力 T1 和绳 OB 拉力 T2 的变化 情况:有向线段②从O′C 到O′C1 到O′C2……弦长增大到成为一条直径再逐渐减小,转 过 90°时为O′O;有向线段③一开始处于直径位置,以后一直减小,到转过 90°时减为 零.故 T1 是先增大后减小;T2 则一直减小直至零.正确答案为选项 BCD. ??综上所述,类型三问题的作图方法是:以确定力矢量为力三角形系的基准边,将另二力 按方向依据来确定力矢量依次首尾相接, 通过力三角形与相应的几何三角形的性质比照, 勾 画出闭合的矢量三角形. 小试身手 ?? 1.如图 1-14 所示,用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉,则拉力 F 和墙 壁对球的支持力 N 的变化情况是(??)

图 1-14

?? A.F 增大,N增大 ?? B.F 增大,N不变 ?? C.F 减小,N增大 ?? D.F 减小,N不变 ?? 2.如图 1-15 所示,用等长的细线 OA、OB 悬挂一重物,保持重物位置不变,使线的 B 端沿半径等于 OA 的圆周向点 C 移动,则在移动过程中 OB 线的拉力的变化情况是(??)

图 1-15 ?? A.先减小后增大 ?? B.先增大后减小 ?? C.总是减小 ?? D.总是增大 ?? 3.在“验证力的平行四边形定则”的实验中,如图 1-16 所示,使弹簧秤 b 从图示位 置开始顺时针缓慢转动.在此过程中,保持 O 点的位置和弹簧秤 a 的拉伸方向不变,则在整 个过程中,两弹簧秤 a、b 的示数变化情况是(??)

图 1-16 ?? A.弹簧秤 a 的示数增大,弹簧秤 b 的示数减小 ?? B.弹簧秤 a 的示数减小,弹簧秤 b 的示数增大 ?? C.弹簧秤 a 的示数减小,弹簧秤 b 的示数先增大后减小 ?? D.弹簧秤 a 的示数减小,弹簧秤 b 的示数先减小后增大 ?? 4.如图 1-17 所示,小球在光滑的墙与装有铰链的木板之间,当使木板与墙的夹角 θ 增大时(θ<90°),下列说法中正确的是(??)

图 1-17 ?? A.小球对木板的压力增大 ?? B.小球对木板的压力减小 ?? C.木板对小球的弹力可能小于小球的重力 ?? D.小球对木板的正压力对轴的力矩变大 ?? 5.如图 1-18 所示,两块互相垂直的板 AO、BO 和水平面的夹角均为 α,板间放一光滑 球,当板 AO 不动,而板 BO 绕两板交线沿逆时针缓慢转动时,球对板 BO 的压力将(??)

图 1-18 ?? A.变大 ?? B.变小 ?? C.先增大后减小 ?? D.先减小后增大 ?? 6.如图 1-19 所示,在倾角 45°的斜面上,放置一质量为 m 的小物块,小物块与斜面 间的动摩擦因数 μ= /3,欲使小物块能静止在斜面上,应对小物块再施一力,该力最

小时的大小与方向应该是(??)

图 1-19 ?? A.mgsin15°,与水平成 15°斜向右上 ?? B.mgsin30°,竖直向上 ?? C.mgsin75°,沿斜面向上 ?? D.mgtan15°,水平向右 ?? 7.如图 1-20 所示,杆 BC 的 B 端铰接在竖直墙上,另一端 C 为一滑轮.重物 G 上系一 绳经过滑轮固定于墙上 A 点处,杆恰好处于平衡.若将绳的 A 端沿墙向下移到点 A′,再使 之平衡(BC 杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计),则(??)

图 1-20 ?? A.绳的拉力增大,杆 BC 受到的压力增大 ?? B.绳的拉力不变,杆 BC 受到的压力减小 ?? C.绳的拉力不变,杆 BC 受到的压力增大 ?? D.绳的拉力不变,杆 BC 受到的压力不变 ?? 8.如图 1-21 所示, 竖直绝缘墙壁上点 Q 处固定一质点 A, 在点 Q 的正上方点 P 处用丝 线悬挂另一质点 B.A、B 两质点因带电而互相排斥,由于漏电,使两质点 A、B 带电量逐渐 减少.在电荷漏完之前,悬线对质点 B 的拉力大小变化情况是(??)

图 1-21 ?? A.逐渐变大 ?? B.逐渐变小 ?? C.大小不变 ?? D.先变大后变小 ?? 9.如图 1-22 所示,AB 为轻质杆,AC 为细绳,在点 A 悬挂一重物 G,将绳的固定点从 点 C 逐渐向上移到点 C′,则绳的拉力 T1 和杆受的压力 T2 发生的变化是(??)

图 1-22

?? A.T1 逐渐增大,T2 逐渐减小 ?? B.T1 逐渐减小,T2 逐渐减小 ?? C.T1 先逐渐减小,再逐渐增大,T2 逐渐增大 ?? D.T1 先逐渐减小,再逐渐增大,T2 逐渐减小 ?? 10.建筑工人常通过如图 1-23 所示的安装在楼顶的一个定滑轮将建筑材料运送到高 处,为了防止建筑材料与墙壁相碰,站在地面上的工人还另外用绳 CD 拉住材料,使它与竖 直墙面总保持距离 l.不计两根绳的重力,在建筑材料上升的过程中,绳 AB 和绳 CD 上的拉 力 T1 和 T2 的大小变化是(??)

图 1-23 ?? A.T1 增大,T2 增大 ?? B.T1 增大,T2 不变 ?? C.T1 增大,T2 减小 ?? D.T1 减小,T2 减小 ?? 11.如图 1-24 所示,在悬点 O 处用细线拉着小球,使它静止在半径一定的半圆柱面 上,现使半圆柱面从图示位置起沿水平面缓慢向左移动一些距离,则(??)

图 1-24 ?? A.小球对柱面的压力增大 ?? B.细线对小球的拉力不变 ?? C.柱面对小球的支持力不变 ?? D.小球对细线的拉力减小 ?? 12.如图 1-25 所示,一球被绳子悬挂起来,绳 AO 水平,当小球被一水平力 F 向右缓 慢拉起时,绳 OC 上张力将_____________;绳 OA 上张力将_____________;而绳 OB 上张力 则_____________.(填“变大”、“变小”或“不变”)

图 1-25 ?? 13.如图 1-26 所示,小球被细线吊着放在光滑的斜面上,小球质量为 m,斜面倾角为 θ,在向左缓慢移动斜面的过程中,绳上张力最小值是_____________.

图 1-26

图 1-27

?? 14.如图 1-27 所示,在绳下端挂一物体,用力 F 拉物体使悬线偏离竖直方向 α 角, 且保持平衡,若保持 α 角不变,当拉力 F 与水平方向夹角 β=_______时,F 有最小值. ?? 15.如图 1-28 所示,在水平放置、半径为 R 的光滑圆弧槽内,有两个半径均为 R/3、 G 平衡时槽面圆心 O 与球A的球心连线与竖直方向的夹角 α 多 重分别为 G1、 2 的小球 A 和 B, 大?

图 1-28

图 1-29

?? 16.如图 1-29 所示,质量为 m 的物体放在水平地面上,物体与地面间的动摩擦因数为 μ= /3,想用大小恒定的力 F 推动物体沿水平地面滑动,推力方向与水平面的夹角在

什么范围内是可能的? 参考解答 ?? 1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 则有 8.C 9.B 10.A 11.AD ? 12.变大 变大

不变 13.mgsinθ 14.α 15.几何△OAB 为正三角形,两球三力平衡的关系如图答 1-1,

????G1/sin60°=FBA/sinα; ????G2/sin60°=FAB/[sin(60°-α)]. 故? tanα= G2/(2G1+G2).

图答 1-1 图答 1-2 -1 ?? 16.如图答 1-2 所示,摩擦角 φ=arctan μ=30°,考虑临界情况,重力 mg、地面 约束力及推力 F 构成闭合三角形时有 ????(mg)/[sin(60°-θ0)]=F/sinφ, ????θ0=60°-arcsin(mg)/(2F). 由图答 1-2 可知 θ≤θ0 时,物体可在地面滑动.?



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