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等差数列求和及等比数列说课稿


《等差数列前 n 项和的公式》说课稿
王永生
一、 教材分析

地位和作用: 等差数列的前 n 项和是人教版数学必修 5 第二章的重要内容之一,它是在学 生学习了等差数列的基础上学习和研究的,等差数列前 n 项和的教学过程,体现 了数学的归纳转化及函数与方程的思想方法, 反映了从特殊到一般的数学思维形 式,同时蕴涵丰富的解题技巧,这对培养学

生的创新意识和观察、抽象、概括、 类比、分析解决问题的能力、发展学生的思维能力有重要的作用。 本节教材根据大纲可分为二课时,本节课是第一节课。 教学目标: [知识与技能]:掌握等差数列前 n 项和公式的推导方法;掌握公式的运用。 [过程与方法]: (1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、 联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 (2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践 中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比 思维能力。 (3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高 学生分析问题和解决问题的能力。 [情感、态度与价值观]:(数学文化价值) (1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义 思想的熏陶。 (2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。 (3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲 望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数 学的情感。 教学重点:等差数列前 n 项和的公式。 教学难点:等差数列前 n 项和的公式的灵活运用。 教学方法:启发、讨论、引导式。 教具:现代教育多媒体技术。 二、教学方法 本节课准备采用“启发式教学法”进行教学设计,及由教师作为“顾问、参谋、 设计者”组织教学,学生在问题解决的过程中,体验成功与失败,从而建立完善 的认知结构。 三、教学过程 一、创设情景,导入新课。 师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今 天要进一步研究等差数列的前 n 项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国 伟大的数学家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了 一道数学习题:"把从 1 到 100 的自然数加起来,和是多少?"年仅 10 岁的小高 斯略一思索就得到答案 5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法
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来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算, 那你们就是二十世纪末 的新高斯。(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。我们来看这 样一道一例题。 例 1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. 这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后,让学 生自行发言解答。 生 1:因为 1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成 5 个 11,得到 55。 生 2:可设 S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。 上面两式相加得 2S=11+11+......+11=10*11=110 所以我们得到 S=55, 即 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 师:高斯神速计算出 1 到 100 所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方 法相类似。 理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有 50 个 101,所以 1+2+3 +......+100=50×101=5050。请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一 个性质呢? 生 3:数列{an}是等差数列,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 二、教授新课 师:如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项 an,根据等差数列的 性质,如何来导出它的前 n 项和 Sn 计算公式呢? Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) n个 ∵a1+an=a2+an-1=? ? ∴2Sn=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)/2 ? ? (1) 师:还有没有其他的方法呢? Sn=a1+a2+......an-1+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+? ?+(a1+(n-1)d) Sn=an+an-1+......a2+a1=an+(an-d)+(an-2d)+? ?+(an-(n-1)d) 两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+? ?+(a1+an) n个 ∴Sn=n(a1+an)/2 师:好!如果已知等差数列的首项为 a1,公差为 d,项数为 n,则 an=a1+(n-1) d 代入公式(1)得 Sn=na1+n(n-1)d/2 ? ? (2) 上面(1)、(2)两个式子称为等差数列的前 n 项和公式。公式(1)是基本的, 我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2 相类比,这里的上 底是等差数列的首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n。引导学生总结:这些 公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a 1+(n-1)d,Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 ;这些量中有几个可自由变化?(三 个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。
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三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。 1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式) 例 1、计算: (1)1+2+3+......+n (2)1+3+5+......+(2n-1) (3)2+4+6+......+2n (4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n (1)(2)(3)解答略,第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接 运用 Sn 公式求解?若不能,那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。 生:(4)中的数列共有 2n 项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看 成两个等差数列,所以 原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n) =n2-n(n+1)=-n 特别的:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一 解法: 原式=-1-1-......-1=-n n个 师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。 注意在运用 Sn 公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。 2、用整体观点认识 Sn 公式。 例 2、在等差数列{an}, (1)已知 a2+a5+a12+a15=36,求 S16; (2)已知 a6=20,求 S11。(教师启发学生解) 师:先来看第(1)小题,写出的计算公式 S16==8(a1+a6)与已知相比较,你发 现了什么? 生:根据等差数列的性质,有 a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以 S16=8×18 =144。 师:对!这个题目根据已知等式是不能直接求出 a1,a16 和 d 的,但由等差 数列的性质可求 a1 与 an 的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数 学问题的体现。那么(2)就自己练习。 四、小结与作业 师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。 1、用倒序相加法推导等差数列前 n 项和公式。 2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对 Sn 公式的运用。 3、运用 Sn 公式要注意此等差数列的项数 n 的值 。 4、具体用 Sn 公式时,要根据已知灵活选择公式(1)或(2)。 5、当已知条件不足以求此项 a1 和公差 d 时,要认真观察,灵活应用等差数列的 有关性质,看能否用整体思想的方法求 a1+an 的值。 师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由 盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的 性质,主动积极地去学习。 本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。 数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。 作业:P122:1、2、3、6 五、设计说明 板书设计 标题
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投影区 1 高斯算法 例 1 2 公式推导 例 2 小结 作业

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《等比数列》说课稿
王永生 今天我说的课题是《等比数列》第一课时,这一课时是高中新课程人教版必 修 5 第二章第 4 节的内容, 主要研究三个方面的问题: 一、 等比数列的定义, 二、 等比数列通项公式的推导,三、等比数列的简单应用。下面我就五个方面来阐述 这节课。 一、教材分析 数列是高中数学的重要内容,它在日常生活中有着广泛的应用,在高考当中 也占有比较大的比重,而等比数列是数列的重要组成部分,掌握它的定义及其通 项公式, 将有利于进一步研究等比数列的性质及前 n 项和的推导和应用, 从而可 以大大地提高学生利用数列知识解决实际问题的能力。 二、教学目标分析 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法: 通过实例, 理解等比数列的概念; 探索并掌握等比数列的通项公式、 性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会 等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现 实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习 的兴趣。 三、教学重点、难点 本着新课程标准,在吃透教材基础上,我觉得本节课是学习等比数列的基础, 为了后面更好地学习等比数列的性质及前 n 项和。首先必须掌握等比数列的概 念、其次是等比数列的通项公式,所以我认为理解并掌握等比数列的概念及其通 项公式是教学的重点。而要让学生从一个等比数列的前 n 项或相邻几项来观察、 归纳、类比、联想出等比数列的通项公式,这对学生的能力要求比较高,所以我 认为推导并建立等比数列的通项公式是教学的难点。 为了突破重点和难点,我运用了如下教学策略: 1、通过引出一些具体的实例,让学生观察归纳,引导学生总结出等比数列的定 义,这样由具体到抽象,由特殊到一般,学生比较容易接受,同时也激发学生的 学习兴趣。 2、通过对等差数列通项公式推导的复习,使学生能够类比等差数列通项公式的 推导过程来推导等比数列的通项公式。 下面,为了讲清重点、难点,使学生能达到本节课设定的教学目标,我再从教法 和学法上谈谈: 四、教法分析 数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学 生“知其然”,而且要使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本,遵循学生 的认知规律,体现启发式与循序渐进的教学原则,我进行了这样的教法设计:通 过创设问题情境,采用启发式教学方法,使学生在思考中学习数学。 五、学法分析
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(五个层次的学法:1、复习提问 2、创设情境引出概念 3、观察归纳推导公 式 4、即时训练巩固概念 5、总结反思提高认识) 新课程改革的具体目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机 械训练的现状”,倡导学生主动参与,乐于探索,勤于动手,培养学生分析和解 决问题的能力以及交流与合作的能力。我以建构主义理论为指导,辅以多媒体教 学手段,采用启发式教学方法,结合师生共同讨论归纳,在课堂结构上,我根据 学生的认识水平,设计了五个层次的学法,这五个层次的学法环环相扣,层层深 入,从而顺利完成教学目标。 接下来,我具体谈一下这堂课的五个层次的学法与时间安排 (第一层次)复习提问: (1) 等差数列的定义是什么? (2) 等差数列的通项公式怎么写? 目的:通过复习等差数列内容使学生能够类比等差数列来学习本节课的内容。 (第二层次)创设情境引出概念 本节课通过以下 4 个实例, (1)细胞分裂问题 (2)古代典故“一尺之棰 ,日取其半,万世不竭” (3)计算机病毒感染的问题 (4)银行支付利息方式 按复利计算 由学生观察它们的共同点,这 4 个实例都有共同的特点:从第 2 项起,每一项与 前一项的比都等于一个常数,从而引出等比数列的概念。 由特殊到一般,由具体到抽象引出定义,学生比较容易接受,同时,通过趣味性 问题,来提高学生的学习兴趣,激发学生发现等比数列定义的强烈欲望。 (第三层次)观察归纳推导公式 由学生类比得到等差数列的通项公式的方法,讨论推导等比数列通项公式的方 法,主要有三种方法叠代法、不完全归纳法、累商法。 (第四层次)即时训练巩固概念 为了充分调动学生学习的主动性及学习热情,活跃课堂气氛,同时培养学生的口 头表达能力和临场应变能力,我创设以下练习: 1(抢答)判断下列数列哪些是等比数列,如果是,求出公比和通项公式,如果 不是,说明为什么? (1) 1,-1,1,-1,---(2) 0,2,0,2,0---(3) 3,3,3,3---为了使学生进一步理解通项公式中每一个字母代表的数学含义及它们之间的相 互关系,同时培养学生的逆向思维能力,我创设以下问题: 2、(1)已知等比数列的首项是-5,公比是-2,问这个数列的第几项的值为 80? (2)一个等比数列的第 3 项和第 4 项是 18,求它的首项和第 2 项。 为了培养学生的实际应用能力,我根据书本的例题设立了如下问题:

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3 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%,这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? (第五层次)总结反思提高认识 引导学生把这节课的内容作小结,最后由老师归纳。 课时小结: 本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. 课后作业: 课本 P60 习题 A 组 1、2 题 思考题: 已知: n}、 n}是项数相同的等比数列, {a {b 则数列{an·bn}是等比数列吗?如果是, 试证明,如果不是说明理由。

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