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计数原理与排列组合


11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考情分析
两个原理是解决排列、组合和概率的基础,贯穿始终,在高考中一般不单独考 察,而是作为一种思想方法用在排列组合问题中。在本部分要注意分类讨论思 想和补集思想。

基础知识
1、分类计数原理 完成一件事, 有 n 类方式, 在第一类方式,中有 m1 种不同的方法,在第二类方式, 中

有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类方式,中有 mn 种不同的方法. 那么完成 这件事共有 N ? m1 ? m2 ? m3 ? ? ? mn 2、分步计数原理 完成一件事,需要分成 n 个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种 不同的方法,??,做第 n 步有 m ? n 种不同的方法,那么完成这件事共有
N ? m1 ?m2 ?m3 ? mn 种方法。 ??

3、 (1) 分类计数与分步计数原理是两个最基本,也是最重要的原理,是解答排 列、组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. (2) 辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”, 也就是说“分类”时, 各类办法中的每一种方法都是独立的,都能直接完成这件 事, 而“分步”时, 各步中的方法是相关的, 缺一不可, 当且仅当做完个步骤时, 才能完成这件事. 注意事项 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始 终. 分类加法计数原理中, 完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类, 简单的说分类的标准是“不重不漏,一步完成”.而分步乘法计数原理中,各个 步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这件事的一种方法,简单 的说步与步之间的方法“相互独立,多步完成”. 类比加法与乘法的关系, 在特定的情况下分步乘法计数原理可简化运用分类加法 计数原理的过程.

题型一 分类加法计数原理 【例 1】某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 B.10 种 C.18 种 ). D.20 种

【变式 1】 如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边 形有公共边的三角形有________个. 题型二 分步乘法计数原理

【例 2】 如图所示 2×2 方格, 在每一个方格中填入一个数字, 数字可以是 1、 2、3、4 中的任何一个,允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则 不同的填法共有( )
[来

A C A. 192 种 C. 96 种

B D B. 128 种 D. 12 种

【变式 2】](1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有 多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果? 题型三 涂色问题

【例 3】]如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若 相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有________.

【变式 3】 如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条 棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法种数. 重难点突破 【例 4】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格

涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同 的涂色方法?

巩固提高
1.某电话局的电话号码为 139××××××××,若最后五位数字是由 6 或 8 组成的,则这样的电话号码一共有( A. 20 个 C. 32 个 ) B. 25 个 D. 60 个

2.现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其 中的一个讲座,不同选法的种数是( A. 81 C. 48 ) B. 64 D. 24

3.只用 1、2、3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且 同一数字不能相邻出现,这样的四位数共有( A. 6 个 C. 18 个 B. 9 个 D. 36 个 )

4. 若从 1,2,3,?,9 这 9 个数中同时取 4 个不同的数,其和为奇数,则不 同的取法共有( A. 66 种 C. 61 种 ) B. 63 种 D. 60 种

5.某种体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号码中抽出 7 个号码为一注,每 注 2 元,某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号码,从 11 至 20 中选 2 个连续的号 码,从 21 至 30 中选 1 个号码,从 31 至 36 中选 1 个号码,组成一注,则要把这 种特殊要求的号码买全,至少要花费( A. 3360 元 C. 4320 元 ) B. 6720 元 D. 8640 元

11.2 排列与组合
考情分析
从近三年高考试题分析,高考对本部分的考察多以散点图和相关关系为主,另 外对线性回归方程与独立性检验在实际应用中的考察。

基础知识
一、排列: 1.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这 里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 .....

m 个元素的一个排列 ....
说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个
m 数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个 元素按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任 .....
m 取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号 An 只表示排列数,

而不表示具体的排列 3.排列数公式及其推导:
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ( m, n ? N ? , m ? n ) n 全排列数: An ? n(n ? 1)(n ? 2)? 2 ?1 ? n ! (叫做 n 的阶乘)

二、组合:1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并 成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的个数,
m 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...

3.组合数公式的推导:
m (1) 一般地, 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An , 可以分如下两步: m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m 个 m m m m 元素全排列数 Am ,根据分步计数原理得: An = C n ? Am .

(2)组合数的公式:

Cnm ?

n! Anm n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) 或 C m? (n, m ? N ? , 且m ? n) ? n m m!(n ? m)! Am m!
m m m Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1

m n Cn ? Cn ? m

注意事项 1.排列与组合,排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后 交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与顺序无关即是组合. 2. (1)排列数公式 Am= n (2)组合数公式 Cm= n n! ?n-m?!

n! 利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和 m!?n-m?!

组合问题中的组合数. ①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则, 区分排列组合问题主要是 判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样的算法有序,怎样的算法无序, 关键是在计算中体现“有序”和“无序”. ②要能够写出所有符合条件的排列或组合, 尽可能使写出的排列或组合与计算的 排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正 确与否,又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果. 3.求解排列组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分 类相加,分步相乘.” 题型一 排列问题 【例 1】在制作飞机的某一零件时,要先后实施 6 个工序.工序 A 只能出现 在第一步或最后一步,工序 B 和 C 实施时必须相邻,则实施顺序的编排方法共 有( ) A. 34 种 C. 96 种 B. 48 种 D. 108 种

【变式 1】 用 0,1,2,3,4,5 六个数字排成没有重复数字的 6 位数,分别有多少个? (1)0 不在个位;(2)1 与 2 相邻;(3)1 与 2 不相邻;(4)0 与 1 之间恰有两个数;(5)1 不在个位;(6)偶数数字从左向右从小到大排列. 题型二 组合问题

【例 2】男、女生共有 8 人,若从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共

有 30 种不同的选法,则女生有( A. 2 人或 3 人 C. 3 人

) B. 3 人或 4 人 D. 4 人

【变式 2】 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种?(2)甲、 乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多 少种? 题型三 排列、组合的综合应用

【例 3】 在一次射击比赛中, 8 个泥制靶子排成如图所 有 示的三列(其中两列有 3 个靶子, 一列有 2 个靶子), 一位神枪 手按下面的规则打掉所有的靶子:(1)首先他选择将要有一个 靶子打掉的一列,(2)然后在被选中的一列中打掉最下面的一个没被打掉的靶 子.那么打掉这 8 个靶子共有多少种顺序? 【变式 3】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方 式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (3)分成每组都是 2 本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本. 重难点突破 【例 4】有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从 20 个零件中任意取 3 个,那么至少有 1 个一等品的不同取法有多少种?

巩固提高
1. 五位同学参加某作家的签字售书活动,则甲、乙都排在丙前面的方法有 ( ) A. 20 种 C. 40 种 B. 24 种 D. 56 种

2.近日,一种牛奶被查出含有致癌物质,国家

质监局调查了这种牛奶的 100 个相关数据,绘制成如图所示的频率分布直方图, 再对落在[6,11), [21,26]两组内的数据按分层抽样方法抽取 8 个数据, 然后从这 8 个数据中抽取 2 个,则最后得到的 2 个数据分别来自两组的取法种数是( A.10 C.15 B.13 D.18 )

3.在学校组织的一次演讲比赛中,高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获奖,将这 6 名同学排成一排合影,要求同年级的同学相邻,那么不同的 排法共有( A. 6 种 C. 72 种 ) B. 36 种 D. 120 种

4. 2012”含有数字 0,1,2,且有两个数字 2.则含有数字 0,1,2,且有两个相同数 字的四位数的个数为( A. 18 C. 27 ) B. 24 D. 36

5.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少 分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 ________.


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