tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.1数学归纳法(第一课时)


2.1 数学归纳法(第一课时)

问题情境一

完全归纳法

问题 1:大球中有5个小球,如何证明它们 都是绿色的?

问题2: 察 数 列an },已 知a1 ? 1, an?1 观 {

an ? , 1 ? an

1 a4 ? , 4 1 猜想归纳通项

公式 n ? :a n 不完全归纳


1 a2 ? , 2

1 a3 ? , 3

问题3:今天,据观察第一个到学校的是男同学, 第二个到学校的也是男同学,第三个到学校的还是 男同学,于是得出:这所学校里的学生都是男同学。

问题 4:数列{an}的通项公式为an=(n25n+5)2,计算得 a1=1,a2=1, a3 =1, 于是猜出 数列{an}的通项公式为:an=1。不完全归
纳法

问题5:数列为{1,2,4,8},则它的通项公式为 an=2n-1(n≤4 n∈N )
完全 归纳 法

问题情境二:
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例:

an ? 2 ? 1中a0 ? 3,a1 ? 5,a2 ? 17,
2n

a3 ? 257,a4 ? 65537, ...
2n

不完全归纳法

结论:an ? 2 ? 1是质数(n ? N )
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。

an ? 2 ? 1中,n ? 5时,
2n

a5 ? 4294967297 ? 6700417 ? 641 费马您错了!
欧拉(1707~1783),瑞 士数学家及自然科学家。

回想等差数列通项公式的推倒过程:
a2 ? a1 ? d

a1 ? a1 ? 0d a2 ? a1 ? 1d
a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d
a3 ? a1 ? 2d a4 ? a1 ? 3d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

......

......

由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n ? N , 都有
*

an ? a1 ? ? n ? 1? d

像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法,叫做归纳法。

归纳法:由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
(1)完全归纳法:考察全体对象,得到 一般结论的推理方法
(结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难)

(2)不完全归纳法,考察部分对象,得 到一般结论的推理方法
(结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想)

问题情境三 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示

问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢? 如何保证骨牌一一倒下?需要几个步 骤才能做到? (1)处理第一个问题;(相当于推倒 第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推 关系;(相当于前牌推倒后牌)

数学归纳法的概念:
定义:对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性:

1.先证明当n取第一个值n0 (n0 ?N*)时命题成立 (归纳奠基) ; 2.然后假设当n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推)。

数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。

数学运用
例1. 用数学归纳法证明

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ?1) ? n (n ? N ).
2 *

递推基础

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ?1) ? k .
2

那么当n=k+1时,1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]
? k 2 ? [(2(k ? 1) ? 1] ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2
递推依据
2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.

目标:? 3 ? 5? ? (2k ?1) ? [2(k ? 1) ?1] ? (k ? 1) 1 由(1)和(2),可知等式对任何正整数n都成立.

情境1.观察下列各等式,你发现了什么?
1? 2 ? 3 1 ? , 6 2 ? 3? 5 2 2 1 ?2 ? , 6 3? 4 ? 7 2 2 2 1 ?2 ?3 ? , 6 4? 5? 9 2 2 2 2 1 ?2 ?3 ?4 ? , 6 ??. 归纳
2

思考:你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗?若 不正确,请举一个反例; 若正确,如何证明呢?

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? . 6
2 2 2 2 2

练习: 用数学归纳法证明:
2 2 2 2 2

递推基础

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? (n ? N * ). 6

证明 ①当n=1时,左边=1 =右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立,即
2 2 2 2 2

那么,当n=k+1时,有 1
递推依据

k ? (k ? 1) ? (2k ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? k ? 6 2 2 2 2 2
?

? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? ( k ? 1) 2

(k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] 目标: ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? 1 6 根据①和②,可知对任何n?N*等式都成立。
2 2 2 2 2 2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立。

k ? (k ? 1) ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 6 (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2( k ? 1) ? 1] ? 6

用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:
(1)证明当 n 取第一个值 n0 (如 n0 ? 1或2等)时结论正确; 递推基 础 (2)假设时 n ? k ( k ? N?且k ? n0 ) 结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. “用上假设,递推才真” “综合(1)、(2),……”不可少! 递推依据

“找准起点,奠基要稳”

注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。

练习2:用数学归纳法证明
1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 n=1时,左边= 1? 3 右边= 2 ?1 ? 1

证明:(1)

等式成立。 (2) 假设n=k(k∈N*)时等式成立,即

1 1 1 1 k ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? 2k ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 那么, ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 k 1 ? ? 2k ? 1 ?2k ? 1??2k ? 3? k ?1 ? 2k ? 3

即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N* 都成立。

练习3 纠错!
分析下列各题用数学归纳 法证明过程中的错误:

(1)2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)
证明 :假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+8+?+2k=k2+k+1(k?N*) 那么,当n=k+1时,有
缺乏“递推基础”
事实上,我们可 以用等差数列求 和公式验证原等 式是不成立的!

2+4+6+8+?+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)

=(k+1)2+(k+1)+1 ,

因此,对于任何n?N*等式都成立。

1 1 1 n (2) ? ??? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 ? 2 ? 2 , 设”,故此法 不是数学归纳 1 1 右边= = 法 1+1 2 此时,原等式成立。

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k 请修改为数学 ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 归纳法 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 左边 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( k ? 1 ? k ? 2 ) 1 k ?1 ? 1? ? =右边 k ? 2 ( k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

1 1 1 n (2) ? ??? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1

证明 ①当n=1时,左边=

1 1 ? 1? 2 2

, 右边=

1 1 ? 1?1 2

此时,原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1)?(k ? 2)

k 1 k ?1 ? ? ? k ? 1 (k ? 1)?(k ? 2) (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这 才 是 数 学 归 纳 法

1 1 1 n * (2) ? ??? ? (n ? N ) 1?2 2? 3 n?(n ? 1) n ? 1
1 1 1 1 1 证二:左边=(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? =右边,所以原等式成立。 n ?1 n ?1

这不是数学归纳法

(3)(纠错题)课本P87

T3 2n>n2(n?N*)

证明 :①当n=1时,21>12,不等式显然成立。 ②假设当n=k时等式成立,即2k>k2,
事实上,原不等式不成立,如 那么当n=k+1时,有

2k+1=2?2k=2k+2k>k2+k2?k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时不等式也成立。

n=2时不等式就不成立。

根据(1)和(2),可知对任何n?N*不等式 都成立。 虽然既有“递推基础”,又用到假设
(“递推依据”),但在证明过程中出现 错误,故上述证法错误!

练习巩固
2 n+1

1+ 1、 用数学归纳法证明:“ a + a + ...+ a = 1-a ?a ≠ 1,n ? N ? ”在验证 n=1成立时,左边计算所得的结果是( C )
*

1- a

n+2

A.1 C.1+ a + a 2 2.已知: f (n) ? 1 ? 1 ? ... ?
n?1 n?2

B. 1 + a D. 1+ a + a 2 + a 3
1 ,则 f ( k ? 1) 等于( 3n ? 1

C )

A: C:

1 f (k ) ? 3( K ? 1) ? 1
f (k ) ? 1 1 1 1 ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

B: D:

f (k ) ?

1 3K ? 2

f (k ) ?

1 1 ? 3K ? 4 K ? 1

练习巩固
3. 用数学归纳法证明:
1 1×2+2×3+3×4+……+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3

4、用数学归纳法证明:
1 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? ( ?1) n?1 n 2 ? ( ?1) n?1 n( n ? 1) 2

5.求证:当n∈N*时,
1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

练习巩固
1 3.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3 证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立 3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

练习巩固
1 3.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3 证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立 3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

练习巩固
4、用数学归纳法证明

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1) n ?1 n2 ? (?1) n ?1
1? 2

n ?1 证明: (1)当n=1时,左边=1,右边== ( ?1) ( 2 ) =1. 命题成立 k(k +1) (2)假设n=k时命题正确,即 12 - 22 + 32 - 4 2 + ? +(-1)k-1 k 2 =(-1)k-1 2 k 2 2 2 2 2 k-1 2 则当 n=k+1时, 1 - 2 + 3 - 4 + ? +(-1) k +(-1)(k +1)

n(n ? 1) 2

提什么 好呢?

= ( ?1) k ?1

k ( k ? 1) + (?1) k (k ? 1) 2 2
-k + 2k + 2 ) 2

k = (-1) (k +1)(

( k ? 1)(k ? 2) 2 (k +1)(k +1)+1? ? (k+1)-1 =(-1) 2 ? ( ?1)k
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当 n ? N ,命题正确。
*

注意结论的 形式

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 1 1 1 ? ∴左边=右边,∴n=1时,命题成立。 1? ? 证明: (1)当n=1时,左边= 2 2 ;右边 2

练习巩固

5.求证:当n∈N*时,1 ?

(2)假设n=k时命题正确,即: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2K ? 1 2K K ? 1 K ? 2 2K ? 1 1 当n=k+1时, 左边= 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 2( K ? 1) ? 1 ? 2( K ? 1) ? 2 3 4 2K ? 1 2K ? ?
? 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ?? ?? ? K ?1 K ? 2 2K ? 2K ? 1 2K ? 2 ? ?

?
?

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? K ?2 K ?3 2 K 2 K ? 1 K ? 1 2( K ? 1)
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? K?2 K?3 2 K 2 K ? 1 2? K ? 1?

?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?K ? 1? ? 1 ?K ? 1? ? 2 2?k ? 1? ? 2 2?K ? 1? ? 1 2?K ? 1?

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

回顾反思
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题
的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤:两个步骤,一个结论; (3)数学归纳法优点:即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想:运用“有限”的手段 来

解决“无限”的问题


推荐相关:

数学归纳法

数学归纳法例 6页 5财富值 数学归纳法(第一课时) 18页 2财富值 数学归纳法2 23页 5财富值 浅谈数学归纳法 9页 5财富值 数学归纳法1 4页 2财富值喜欢...


数学归纳法2

文昌市华侨中学 2.3 数学归纳法(第一课时)文昌市华侨中学 林婧 一、教材分析...(2)会用数学归纳法证明与正整数有关的命题. 2.过程与方法 (1)努力创设和谐...


数学归纳法0806027

数学归纳法(第一课时) 18页 2财富值 数学归纳法2 23页 5财富值 浅谈数学归纳...数学归纳法 0806027 一,考题选析: 已知 a1 = 例 1, 06 安徽 21) ( 数列...


数学归纳法

数学归纳法例 6页 5财富值 数学归纳法(第一课时) 18页 2财富值 数学归纳法2 23页 5财富值 浅谈数学归纳法 9页 5财富值 数学归纳法1 4页 2财富值喜欢...


2.3 数学归纳法

章第三单元.“数学归纳法”是继学习分析法和综 合法之后,进一步研究的另一种...课时分配 2 课时. 第 1 课时 教学目标 1.知识与技能目标 (1)理解“归纳法...


2.3.1数学归纳法(一)

中山市东升高中 高一数学◆必修 1◆导学案 编写:高建彪 校审:贺联梅 理:§2.3.1 数学归纳法学习目标 1. 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指 导,...


高三数学数学归纳法2

2.3 数学归纳法(第一课时) 28页 1财富值 2.3数学归纳法(上课) 27页 免费 2.1数学归纳法及其应用举例... 18页 免费 2010届高三上学期一轮复习... 7页...


4.1.1数学归纳法证明不等式(第1课时)

金太阳新课标资源网选修 4-5 学案 wx.jtyjy.com 姓名 § .1.1 数学归纳法证明不等式 4 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳...


高中数学全套教案新人教版选修2-2(1)

课题:数学归纳法 1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质. 2. 掌握...这些 内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理...


2.3 数学归纳法 第一课时

数学归纳法第一课时, 主要是让学生了解数学归纳法原理,并能够用数学归纳法...(完全归纳法) 2.问题情境,方法引入: 情景一 1.在数列 {an } 中, a1 ? ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com