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2.1数学归纳法(第一课时)


2.1 数学归纳法(第一课时)

问题情境一

完全归纳法

问题 1:大球中有5个小球,如何证明它们 都是绿色的?

问题2: 察 数 列an },已 知a1 ? 1, an?1 观 {

an ? , 1 ? an

1 a4 ? , 4 1 猜想归纳通项公式 n ? :a n 不完全归纳


1 a2 ? , 2

1 a3 ? , 3

问题3:今天,据观察第一个到学校的是男同学, 第二个到学校的也是男同学,第三个到学校的还是 男同学,于是得出:这所学校里的学生都是男同学。

问题 4:数列{an}的通项公式为an=(n25n+5)2,计算得 a1=1,a2=1, a3 =1, 于是猜出 数列{an}的通项公式为:an=1。不完全归
纳法

问题5:数列为{1,2,4,8},则它的通项公式为 an=2n-1(n≤4 n∈N )
完全 归纳 法

问题情境二:
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例:

an ? 2 ? 1中a0 ? 3,a1 ? 5,a2 ? 17,
2n

a3 ? 257,a4 ? 65537, ...
2n

不完全归纳法

结论:an ? 2 ? 1是质数(n ? N )
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。

an ? 2 ? 1中,n ? 5时,
2n

a5 ? 4294967297 ? 6700417 ? 641 费马您错了!
欧拉(1707~1783),瑞 士数学家及自然科学家。

回想等差数列通项公式的推倒过程:
a2 ? a1 ? d

a1 ? a1 ? 0d a2 ? a1 ? 1d
a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d
a3 ? a1 ? 2d a4 ? a1 ? 3d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

......

......

由a1 , a2 , a3 , a4的表达式, 我们得到 :
对一切n ? N , 都有
*

an ? a1 ? ? n ? 1? d

像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法,叫做归纳法。

归纳法:由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
(1)完全归纳法:考察全体对象,得到 一般结论的推理方法
(结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难)

(2)不完全归纳法,考察部分对象,得 到一般结论的推理方法
(结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想)

问题情境三 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示

问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢? 如何保证骨牌一一倒下?需要几个步 骤才能做到? (1)处理第一个问题;(相当于推倒 第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推 关系;(相当于前牌推倒后牌)

数学归纳法的概念:
定义:对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性:

1.先证明当n取第一个值n0 (n0 ?N*)时命题成立 (归纳奠基) ; 2.然后假设当n=k(k?N*,k≥n0)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推)。

数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。

数学运用
例1. 用数学归纳法证明

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ?1) ? n (n ? N ).
2 *

递推基础

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ?1) ? k .
2

那么当n=k+1时,1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? [2(k ? 1) ? 1]
? k 2 ? [(2(k ? 1) ? 1] ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2
递推依据
2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.

目标:? 3 ? 5? ? (2k ?1) ? [2(k ? 1) ?1] ? (k ? 1) 1 由(1)和(2),可知等式对任何正整数n都成立.

情境1.观察下列各等式,你发现了什么?
1? 2 ? 3 1 ? , 6 2 ? 3? 5 2 2 1 ?2 ? , 6 3? 4 ? 7 2 2 2 1 ?2 ?3 ? , 6 4? 5? 9 2 2 2 2 1 ?2 ?3 ?4 ? , 6 ??. 归纳
2

思考:你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗?若 不正确,请举一个反例; 若正确,如何证明呢?

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? . 6
2 2 2 2 2

练习: 用数学归纳法证明:
2 2 2 2 2

递推基础

n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? (n ? N * ). 6

证明 ①当n=1时,左边=1 =右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立,即
2 2 2 2 2

那么,当n=k+1时,有 1
递推依据

k ? (k ? 1) ? (2k ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? 4 ??? k ? 6 2 2 2 2 2
?

? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? ( k ? 1) 2

(k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] 目标: ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? k ? (k ? 1) ? 1 6 根据①和②,可知对任何n?N*等式都成立。
2 2 2 2 2 2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立。

k ? (k ? 1) ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 6 (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2( k ? 1) ? 1] ? 6

用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:
(1)证明当 n 取第一个值 n0 (如 n0 ? 1或2等)时结论正确; 递推基 础 (2)假设时 n ? k ( k ? N?且k ? n0 ) 结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. “用上假设,递推才真” “综合(1)、(2),……”不可少! 递推依据

“找准起点,奠基要稳”

注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。

练习2:用数学归纳法证明
1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2n ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 n=1时,左边= 1? 3 右边= 2 ?1 ? 1

证明:(1)

等式成立。 (2) 假设n=k(k∈N*)时等式成立,即

1 1 1 1 k ? ? ??? ? ?2k ? 1??2k ? 1? 2k ? 1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 那么, ?2k ? 1??2k ? 1? ?2k ? 1??2k ? 3? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 k 1 ? ? 2k ? 1 ?2k ? 1??2k ? 3? k ?1 ? 2k ? 3

即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N* 都成立。

练习3 纠错!
分析下列各题用数学归纳 法证明过程中的错误:

(1)2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)
证明 :假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+8+?+2k=k2+k+1(k?N*) 那么,当n=k+1时,有
缺乏“递推基础”
事实上,我们可 以用等差数列求 和公式验证原等 式是不成立的!

2+4+6+8+?+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1)

=(k+1)2+(k+1)+1 ,

因此,对于任何n?N*等式都成立。

1 1 1 n (2) ? ??? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 ? 2 ? 2 , 设”,故此法 不是数学归纳 1 1 右边= = 法 1+1 2 此时,原等式成立。

②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k 请修改为数学 ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 归纳法 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 左边 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( k ? 1 ? k ? 2 ) 1 k ?1 ? 1? ? =右边 k ? 2 ( k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

1 1 1 n (2) ? ??? ? (n ? N * ) 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1

证明 ①当n=1时,左边=

1 1 ? 1? 2 2

, 右边=

1 1 ? 1?1 2

此时,原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ,即
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1 1 1 1 1 那么n=k+1时, 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ? (k ? 1)?(k ? 2)

k 1 k ?1 ? ? ? k ? 1 (k ? 1)?(k ? 2) (k ? 1) ? 1

这就是说,当n=k+1时,命题也成立. 由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

这 才 是 数 学 归 纳 法

1 1 1 n * (2) ? ??? ? (n ? N ) 1?2 2? 3 n?(n ? 1) n ? 1
1 1 1 1 1 证二:左边=(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 1 n ? 1? ? =右边,所以原等式成立。 n ?1 n ?1

这不是数学归纳法

(3)(纠错题)课本P87

T3 2n>n2(n?N*)

证明 :①当n=1时,21>12,不等式显然成立。 ②假设当n=k时等式成立,即2k>k2,
事实上,原不等式不成立,如 那么当n=k+1时,有

2k+1=2?2k=2k+2k>k2+k2?k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时不等式也成立。

n=2时不等式就不成立。

根据(1)和(2),可知对任何n?N*不等式 都成立。 虽然既有“递推基础”,又用到假设
(“递推依据”),但在证明过程中出现 错误,故上述证法错误!

练习巩固
2 n+1

1+ 1、 用数学归纳法证明:“ a + a + ...+ a = 1-a ?a ≠ 1,n ? N ? ”在验证 n=1成立时,左边计算所得的结果是( C )
*

1- a

n+2

A.1 C.1+ a + a 2 2.已知: f (n) ? 1 ? 1 ? ... ?
n?1 n?2

B. 1 + a D. 1+ a + a 2 + a 3
1 ,则 f ( k ? 1) 等于( 3n ? 1

C )

A: C:

1 f (k ) ? 3( K ? 1) ? 1
f (k ) ? 1 1 1 1 ? ? ? 3K ? 2 3K ? 3 3K ? 4 K ? 1

B: D:

f (k ) ?

1 3K ? 2

f (k ) ?

1 1 ? 3K ? 4 K ? 1

练习巩固
3. 用数学归纳法证明:
1 1×2+2×3+3×4+……+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3

4、用数学归纳法证明:
1 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? ( ?1) n?1 n 2 ? ( ?1) n?1 n( n ? 1) 2

5.求证:当n∈N*时,
1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

练习巩固
1 3.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3 证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立 3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

练习巩固
1 3.用数学归纳法证明 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) = n( n ? 1)(n ? 2) 3 证明: 1)当n=1时,左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立 3
2)假设n=k时命题成立,即 1 1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k ( k ? 1)(k ? 2)

3

则当n=k+1时, 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? k (k ? 1) = =

? ( k ? 1)(k ? 2)
从n=k到n=k+1有什么变化

1 k ( k ? 1)(k ? 2) + 3

(k ? 1)(k ? 2)

凑假设

1 ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) 3

1 ( k ? 1)??k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 2? = 3

凑结论

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

练习巩固
4、用数学归纳法证明

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1) n ?1 n2 ? (?1) n ?1
1? 2

n ?1 证明: (1)当n=1时,左边=1,右边== ( ?1) ( 2 ) =1. 命题成立 k(k +1) (2)假设n=k时命题正确,即 12 - 22 + 32 - 4 2 + ? +(-1)k-1 k 2 =(-1)k-1 2 k 2 2 2 2 2 k-1 2 则当 n=k+1时, 1 - 2 + 3 - 4 + ? +(-1) k +(-1)(k +1)

n(n ? 1) 2

提什么 好呢?

= ( ?1) k ?1

k ( k ? 1) + (?1) k (k ? 1) 2 2
-k + 2k + 2 ) 2

k = (-1) (k +1)(

( k ? 1)(k ? 2) 2 (k +1)(k +1)+1? ? (k+1)-1 =(-1) 2 ? ( ?1)k
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当 n ? N ,命题正确。
*

注意结论的 形式

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 1 1 1 ? ∴左边=右边,∴n=1时,命题成立。 1? ? 证明: (1)当n=1时,左边= 2 2 ;右边 2

练习巩固

5.求证:当n∈N*时,1 ?

(2)假设n=k时命题正确,即: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 2 3 4 2K ? 1 2K K ? 1 K ? 2 2K ? 1 1 当n=k+1时, 左边= 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 2( K ? 1) ? 1 ? 2( K ? 1) ? 2 3 4 2K ? 1 2K ? ?
? 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ?? ?? ? K ?1 K ? 2 2K ? 2K ? 1 2K ? 2 ? ?

?
?

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? K ?2 K ?3 2 K 2 K ? 1 K ? 1 2( K ? 1)
1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? K?2 K?3 2 K 2 K ? 1 2? K ? 1?

?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?K ? 1? ? 1 ?K ? 1? ? 2 2?k ? 1? ? 2 2?K ? 1? ? 1 2?K ? 1?

∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知,当

n ? n?

,命题正确。

回顾反思
(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题
的重要方法 (2)数学归纳法证题的步骤:两个步骤,一个结论; (3)数学归纳法优点:即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想:运用“有限”的手段 来

解决“无限”的问题


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