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数学归纳法的应用举例


数 学归纳法 的应 用举例  3 3 0 0 1 3 江 西科技 师 范 大学 江 西  南 昌  刘   兴  【 摘 要】 数学归纳法作 为由特殊概括 出一般 的一种 思维方 法,   具 有 推 理 、研 究 两种 基 本 意 义 。本 文 主要 给 出了数 学 归纳 法在 各 种 数  学问题 中的应用举例 , 旨在利 用归纳法发现 和提 出数 学猜想 ,发现问  题 的 结 论 ,找 到 解 题 途 径 。   【 关键词 】 数学归纳法;完全归纳法;应用举例  1引言  将 这 些 等 式相 加 , 得:   (   ) +   _1 )   ( 3 ) :   ( 2 ) + 兰 二 手 蔓’  ( 2 ) :   ( 1 ) +   三 ’   ‘   _2 )   +-   - 1 +   _I )   _2 】 +. - + 1 ] +   1   】   : 2 + — n ( n - 1 ) ( 2 n -1 ) +   — +   一 1 : ! ! !   2 1 1 : 二 ! ±   2   6   1 2   4   命题证明完毕 .   归纳法是从个别的论断归结出一般结论 的推理方法 ,一般性结论  2 . 5 在 排 列 、组合 中 的应 用  的正确性依赖于各个个别论断的正确性 ,它可以分为完全 归纳法 和不  由于 数 学 归 纳 法 可 以解 决 有 关 自然 数 的 问题 ,而 排 列 组 合与 自然  完全归纳法两种 ,数学归纳法属于完全归纳法。数学归纳法是一种特  殊 的论证方法 ,是解决有关 整数 问题 的一种工具 ,它使我们 能够在一  数 密切相关 ,所 以,在排列组合的许多结论 ,都可 以用数学归纳法来  些个别实例的基础上 ,对某个普遍规律做出论断。虽然说数学归纳法  证 明。 比如排列数公式 、组合数公式 、自然数 r t 的阶乘公式 ,二项式  定理等重要公式 ,都能用数学归纳法加以证明。   适用于有关整数的问题 ,但是它在很多数学问题 中都有重大 的作用 ,   例5 :证 明 n个 元 素 的全 排 列 的种 数 可 以按 下列 公 式求 得 :   很多不等式问题、几何 问题 、函数迭代问题 、整除性 问题用它来解决  = 1? 2? 3? …? n = n !( n是 自然数 ).   都能收到很好的效果。   证明 1 . 对于n = l ,上式 显 然 是 正确 的 ,P . = 1 = 1   1 .   2数学 归纳法 的应 用举例  2 . 假设 n = k时成 立 ,即 P k = k ! .   2 . 1证明有 关 自然数的等式  当n = k + 1 时, 加入第 k + 1 个元素 , 则第 k + 1 个元素的放法有 k + 1 种,   例 1 :证明前 n个 自然数的立方 和&(   ) :   !  2 =.   4   由分步计数原理可得 :k + 1 个元素的全排列数  1   2 上 ,2   证明1 . s( 1 )  1   .  2 . 假设与(   ) :   ,   贝 U  ( 一 + 1 ) : ! . ! :   !   + ( 一 + 1 )   :   !   ; .   命题证明完毕 .   2 . 2 证 明有关 自然数 的不等式  例2 :( 贝 奴 利 不 等 式 )用 数 学 归 纳 法证 明 :( 1 + a ) “ > l + n 0 ,这 里   a > 一 1且不等于 0 ,

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