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第5节 对数函数


第 5 节 对数函数 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 对数的运算 对数函数的图象及应用 对数函数的性质及应用 题号 8、10、14 2、4、5、7、9、12、13 1、3、6、11、15、16 练题感 提知能

一、选择题 1.(2013 成都市高中毕业班第三次诊断)若 a=log 2,b= ,c=( ) ,则

(

r />A

)

(A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<a<b (D)c<b<a 解析:a=lo 2<lo 1=0,

c=( ) = > >0. ∴c>b>a,故选 A. 2.(2014 成都模拟)函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是( B )

解析:当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 故选 B. 3.若 loga(a2+1)<loga(2a)<0,则 a 的取值范围是( (A)(0,1) (B) (C) (D)(0,1)∪(1,+∞) C )

解析:∵a2+1>1, 又 loga(a2+1)<0,∴0<a<1, 又 loga(a2+1)<loga(2a)<0, ∴ ∴a> 且 a≠1.

所以 <a<1,故选 C. 4.(2013 广安模拟)已知函数 f(x)= 图象是( C ) 则函数 y=f(1-x)的大致

解析:由 f(x)=

得 f(1-x)=

因此,当 x≥0

时,y=f(1-x)为减函数,且 y>0;当 x<0 时,y=f(1-x)为增函数,且 y<0. 故选 C. 5.(2013 年高考福建卷)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( A )

解析:f(x)定义域为 R 且是偶函数,图象关于 y 轴对称,又过点(0,0). 故选 A. 6.已知函数 f(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数 a 等于 ( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由已知得函数 y=x2-2x+a 的值域为[1,+∞), 即 y=x2-2x+a 的最小值为 1, 所以 =1,解得 a=2,故选 B.

7.已知函数 f(x)=|lg x|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范 围是( C )

(A)(2 ,+∞) (B)[2 ,+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞) 解析:函数 f(x)=|lg x|的大致图象如图所示.

由题意结合图知 0<a<1,b>1. ∵f(a)=|lg a|=-lg a=lg =f(b)=|lg b|=lg b, ∴b= .∴a+2b=a+ . 令 g(a)=a+ , 则易知 g(a)在(0, )上为减函数, ∴当 0<a<1 时,g(a)=a+ >g(1)=1+2=3.故选 C. 8.(2013 年高考辽宁卷)已知函数 f(x)=ln( 2)+f lg 等于( D ) -3x)+1,则 f(lg

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:因为 f(x)+f(-x) =ln( -3x)+1+ln( +3x)+1

=ln(1+9x2-9x2)+2=2. 所以 f(lg 2)+f(lg )=f(lg 2)+f(-lg 2) =2. 故选 D. 9.(2013 福建宁德 5 月质检)已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x) 的解析式可以是( A )

(A)f(x)= (B)f(x)= (C)f(x)= -1 (D)f(x)=x解析:从图象可知,函数是奇函数,可排除选项 B、C, 又 x=2 时,y<1,对 D 中,函数 f(2)=2- >1,故排除 D,选 A. 二、填空题 10.(2013 河北石家庄 5 月模拟)已知函数 f(x)= 则 a 等于 . 若 f(a)= ,

解析:若 a>0,则 log2a= , 得 a= ; 若 a≤0,则 2a= ,得 a=-1. 答案: 或-1

11.(2013 四川德阳市模拟)函数 f(x)= 为 .

的定义域

解析:由 lo (x-1)≥0, 即 0<x-1≤1, 解得 1<x≤2, 故所求函数的定义域为(1,2]. 答案:(1,2] 12.已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个关系式:① a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能的关系式 是 .

解析:由已知得 log2a=log3b,在同一坐标系中作出 y=log2x,y=log3x 的 图象,当纵坐标相等时,可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出② ④⑤可能. 答案:②④⑤ 13.(2013 四川省宜宾市高三一诊)若函数 y=lg|ax-1|的图象关于 x=2 对称,则非零实数 a= .

解析:由于函数图象关于 x=2 对称, 则 lg|ax-1|=lg|a(4-x)-1|, 即 ax-1=-ax+4a-1 或 ax-1=ax-4a+1 恒成立, 所以 a=0 或 a= ,即非零实数 a= .

答案: 三、解答题 14.计算: (1)(lg -lg 25)÷10 ; (2)2(lg )2+lg ·lg 5+ 解:(1)(lg -lg 25)÷10 =-2× (2)原式=lg (2lg +lg 5)+ =lg (lg 2+lg 5)+|lg -1| =lg ·lg(2×5)+1-lg =1. 15.已知函数 f(x)=lo (a2-3a+3)x. (1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)=lo (a2-3a+3)x 的定义域为 R. 又 f(-x)=lo (a2-3a+3)-x =-lo (a2-3a+3)x =-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数. . =-2×lg 10÷ =-20.

(2)若函数 f(x)=lo (a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为减函数, 则 y=(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,有 a2-3a+3>1, 解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 16.已知函数 f(x)=ln .

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)=ln 解:(1)由 >0, >ln 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解得 x<-1 或 x>1, ∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, f(-x)=ln =ln =-ln =-f(x), ∴f(x)=ln 是奇函数. >ln 恒成立. =ln

(2)由 x∈[2,6]时,f(x)=ln



>

>0,

∵x∈[2,6], ∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x) =-(x-3)2+16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数 g(x)单调递增, x∈[3,6]时函数 g(x)单调递减, x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, ∴0<m<7.


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