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函数及其基本性质检测题


函数及其基本性质检测题

一、选择题(10×5′=50′) 1.设函数 f (x)= 1 +lg 1 ? x ,x∈(-1,1), 它的反函数是 y=f-1(x),则 y=f-1(x)的图象与 x 轴的 x?2 1? x 交点个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3 2 2.设 f (x)=x -3x +6x-6,且 f (a)=1,

f (b)=-5,则 a+b 等于 A.-2 B.0 C.1 D.2 3.以下各组函数中,表示同一函数的是 ( x ln( ? x) 1 ln( ? x) 1 ①y= 与 y= x x2 ②y=(sinx+x2+3)′与 y=-cosx+2x ③f (x2+1)=x4+x2+1 与 f (x)=x2-x+1 ④f (x)= 1 与它的反函数 f -1(x) x A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 4.定义域在区间(-∞,+∞)的奇函数 f (x)为增函数;偶函数 g (x)在区间[0,+∞]的图象与 f (x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ①f (b)-f (-a)>g (a)-g(-b) ②f (b)-f (-a)<g(a)-g(-b) ③f (a)-f (-b)>g(b)-g(-a) ④f (a)-f (-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是 ( ) A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④ 5.设 f (x)、g(x)都是 R 上的奇函数,{x|f (x)>0}={x|4<x<10}, {x|g (x)>0}={x|2<x<5},则集合{x|f (x)·g(x)>0}等于 ( ) A.(2,10) B.(4,5) C.(-10,-2)∪(2,10) D.(-5,-4)∪(4,5) 6.函数 y=x(x-2)在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则 以 a 为横坐标,b 为纵坐标所成的点的轨迹是图中(如图所 示)的 ( ) A.线段 FG 和 GH B.点 F(-1,1)和 H(1,3) 第 6 题图 C.线段 EF 和 EH D.点 E(-1,3)和 G(1,1) 7.从集合{1,2,3,…,10}中选出5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的 和不等于 11,则这样的子集有 ( ) A.10 个 B.16 个 C.20 个 D.32 个 8. 设 函 数 f (x) 定 义 域 为 D , 如 果 对 于 任 意 的 x1 ∈ D, 存 在 惟 一 的 x2 ∈ D, 使 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =c(c 为常数)成立,则称函数 y=f (x)在 D 上的均值为 c,给出下列四个函数:① 2 y=x3,②y=4sinx,③y=lgx,④y=2x,则满足在其定义域上均值为 2 的函数是 A.①② B.③④ C.①③④ D.①③ 9.在自然数集N上定义的函数 f (n)= ? ( ) )

(

)

), ?n ? 3(n ? 1000 则 f (90)的值是 ), ? f [ f (n ? 7)](n ? 7000

(

)

1-8

1

A.997 B.998 10.一组实验数据如下表: t V 1.02 0.02

C.999

D.1000

1.99 1.50

3.01 4.04

4.00 7.50 (

5.10 12.50 ) D.V=2t-2

6.12 18.22

与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 A.V=log2t B.V=-log2t C.V=
1 2 (t -1) 2

二、填空题(5×5′=25′) 11.将正整数 n 表示成 k 个正整数的和(不计数的顺序),称为将 n 分成 k 个部分的一个划 分,一个划分中的各加数与另一划分中各加数不全相同的划分,将正整数 n 划分成 k 个部分的 不同划分记为P(n,k),则 P (10,3)等于 等共 个. 12.函数 f (x)=logax (a>0,且 a≠1)在其定义域(0,+∞)上有性质 f ( 1 )=-f (x),则写出在定 x 义域(0,+∞)上也有上述性质的一个非对数函数为 .(只需填上一个符合条件的函数 解析式即可) 13.设函数 f (x)=|x|·x+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,f (x)=0 只有一个实根; ②c=0 时,y=f (x)是奇函数; ③y=f (x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f (x)=0 至多有 2 个实根. 上述命题中的所有正确命题的序号是 . 5 4 3 2 14.设 f (x)=x -5x +10x -10x +5x+1,则 f (x)的反函数为 f-1(x)= . 15.若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),?且在[x2,+∞ ) 上单调 递增,则 b 的取值范围是_________. 三、解答题(4×12′+13′+14′=75′) 16.已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、 2

x? y ),试证明: 1 ? xy

(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

17.设 f (x)是定义在 R 上的函数,对任意的 x∈R,都有 f (x+3)≤f(x)+3 和 f(x+2)≥f(x)+2.设 g(x)=f(x)-x. (1)求证:g(x)是周期函数;

2-8

2

(2)如果 f (996)=1002,求 g (2004)的值.

18.设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈ ?0, 1 ? , ? 2? ? ? 都有 f (x1+x2)=f (x1)·f (x2),且 f (1)=a>0. (1)求 f ? 1 ? , f ? 1 ? ; ? ? ? ? ?2? ?4? (2)证明 f (x)是周期函数; (3)若 an=f ? 2n ? 1 ? ,求 lim ? 1 ? ln a n ? ? ? ? ? n ?? ? 2n 2n ? ? ?

19. 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 如 果 对 任 意 x1 、 x2 ∈ R, 都 有 f
? x1 ? x2 ? 1 2 ? ? ? [ f ( x1 ? f ( x2 )] ,则称 f (x)是 R 上的凹函数.已知二次函数 f (x)=ax +x(a∈R,且 a 2 ? 2 ?

≠0). (1)求证:当 a>0 时,函数 f (x)是凹函数; (2)如果 x∈[0,1]时,|f (x)|≤1,试求 a 的取值范围.

20.已知函数 f (x)=x2-4ax+a2(a∈R). (1)如果关于 x 的不等式 f (x)≥x 的解集为 R,求实数 a 的最大值. (2)在(1)的条件下,对于任意的实数 x,试比较 f {f[f (x)]}与 x 的大小. (3)设函数 g(x)=2x3+3af(x),如果 g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数 a 的取值范 围.

21.已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 8x≤f(x)≤4(x2+1)对于 x∈R 恒成立. (1)求 f (1); (2)求 f (x)的表达式; (3)设 g(x)=
x 2 ?1 ,定义域为 D,现给出一个数学运算程序: f ( x)

x1→x2=g (x1)→x3=g(x2)→…→xn=g(xn-1),若 xn∈D,则运算继续下去; xn ? D,则运算停止. 若 给出 x1= 7 ,请你写出满足上述条件的集合 D={x1,x2,x3,…,xn}. 3

3-8

3

(2)函数及其基本性质检测题参考答案
一、选择题 1.B 设-1<x1<x2<1,则 ∵ 即
1 > 1 . x1 ? 2 x 2 ? 2

1 ? x1 1 ? x 2 2( x 2 ? x1 ) ? ? >0, 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) 1 ? x1 1 ? x 2 ? . 1 ? x1 1 ? x 2 1 ? x1 1 ? x2 ? lg .∴f (x1)>f (x2). 1 ? x1 1 ? x2

∴lg

即 f (x)在(-1,1)上是减函数. ∵f (0)= 1 ? lg 1 ? 0 ? 1 , 0?2 1? 0 2 ∴f (x)的图象与 y 轴只有一个交点 ? 0, 1 ? . ? ? ? 2? 由互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称知,y=f
? 1 ,0 ? ,故选 B. ? ? ?2 ?
-1

(x)的图象与 x 轴只有一个交点

2.D 将 f (x)变为 f (x)=(x3-3x2+3x-1)+(3x-3)-2=(x-1)3+3(x-1)-2.因为 f (a)=1,f (b)=-5, 所以 f (a)=(a-1)3+3(a-1)-2=1,即(a-1)3+3(a-1)=3, f (b)=(b-1)3+3(b-1)-2=-5,即(b-1)3+3(b-1)=-3. 构造函数 g(t)=t3+3t,易知 g(t)是奇函数且在 R 上单调递增,所以 g(a-1)=-g(b-1)=g(1-b)=3, 所以 a-1=1-b,即 a+b=2,故选D. 3.C 本小题考查对函数概念的理解,只有定义域与对应法则都完全相同的两个函数才 表示同一函数. x ln( ? x) ln( ? x) 1 1 ①y= 且定义域均为 x≠0,1-x>0,即 x<1 且 x≠0, 即二者定义域相同 ? 2 x x (注:这是两个函数表达式,表示同一函数的基本要素,否则,不必再考虑对应法则是否相同,即 x ln( ? x) 1 ln( ? x) 1 可确定这两个函数不同).在相同的定义域前提下,y= 与 y= 恒等,所以①是同 2 x x 一函数. ②y=(sinx+x2+3)′=cosx+2x,显然与 y=-cosx+2x 不同. ③f (x2+1)=x4+x2+1=(x2+1)2-(x2+1)+1, ∴f (x)=x2-x+1,(x≥1).而 y=f (x)=x2+x+1 的定义域为一切实数,二者定义域不同,是不同函 数(注:函数方程换元时一定要考虑定义域). ④y=f (x)= 1 ,(x≠0)的反函数是它本身,④正确.所以表示同一函数的为①④,正确答案为 x C. 4.C (构造法)令 f (x)=x,g(x)=|x|.当 a>b>0 时, 显然①f (b)-f (-a)>g (a)-g (-b)成立, (a)-f ③f (-b)>g(b)-g(-a)成立.故选 C. 5.D ∵f (x)、g (x)都是奇函数,∴f (x)·g(x)是偶函数,由对称性,只需求 f (x)>0,g(x)>0 的解集,

4-8

4

由条件知:f (x)>0 的解集为 4<x<10,g(x)>0 的解集为 2<x<5.∴ ?

? f ( x) ? 0 的解集为 4<x<5. ? g ( x) ? 0

故 f (x)·g(x)>0 的解集为(-5,-4)∪(4,5),故选 D. 6.C 解法一 由于 y=x2-2x=(x-1)2-1 的图象的对称轴是直线 x=1,且函数的最小值是-1, 令 y=3 时,x=-1 或 x=3,从而当 a=-1 时,1≤b≤3,当 b=3 时,-1≤a≤1. 解法二 代值检验知 E(-1,3),F(-1,1),H(1,3)均满足,故选 C. 7.D 因为要求任意两数之和不等于11,则1和10,2和9,…,5和6不能同时出现, 利用这种排斥性,可制作5张卡片,互相排斥的两个数分别位于同一张卡片的正反面(1 (10)、2 (9)、3 (8)、4 (7)、5 (6)),每张卡片各取一个数组成一组,这样所得的组数即为 所求子集的个数,根据乘法原理,子集个数为 25=32 个. 8.D 均值为 2,即 f (x1)+f (x2)=4.
3 ①中 x2= 3 4 ? x1 时满足条件.

③中 x2=

104 时满足条件. x1

②中在 x1 确定时,使 sinx1+sinx2=1 的 x2 值并不惟一. ④中 x1>2 时不存在 x2,使 2 2 x1 ? 2 x2 =4. 9.C 因为 f (1 000)=997, f (999)=f[f (1 006)]=f (1 003)=1 000, f (998)=f[f (1 005)]=f (1 002)=999, f (997)=f[f (1 004)]=f (1 001)=998, f (996)=f[f (1 003)]=f (1 000)=997, f (995)=f[f (1 002)]=f (999)=1 000, f (994)=f[f (1 001)]=f (998)=999. 据此归纳:f (n)是以4为周期的周期函数(证明略), 所以 f (90)=f (22×4+2)=f (2)=f (249×4+2)=f (998)=999. 10.C 表式解读题,应从表中捕捉信息,采用估算与筛选相结合的方法,达到快捷解题 之目的, 本题理应采用近似估算法: t=1.99≈2 时, 2t=1,-log2t=-1,2t-2=2,均与表中 V=1.50 当 log 相差甚远,于是可剔除 A、B、D.故应选 C. 二、填空题 11.118,127,136,145,226,235,224,334,共8个(写其中的任意两个) 12.f (x)=0,x∈(0,+∞) 构造这样一个函数 f (x)=x- 1 ,x∈(0,+∞),则 f ( 1 )= 1 -x,而-f x x x (x)= 1 -x, x 即有 f ( 1 )=-f (x).构造出类似的函数还不止一个,例如,f (x)=0,x∈(0,+∞),那么 f ( 1 )=0, x x 且有-f (x)=0,即有 f( 1 )=-f (x). x 13.①②③ ①是正确命题:|x|x+c=0,当 x<0 时,x2=c,∴x=- c ; ②是正确命题:f (-x)=(-x)|x|-bx=-f (x), ∴f (x)为奇函数; ③是正确命题:∵f (x)+f (-x)=2c,∴f (x)的图象关于点(0,c)对称;

5-8

5

④是错误命题:反例:c=0,b<0 时,|x|·x+bx=0 有三个实根.故正确答案是:①②③. 14.∵f (x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1+2=(x-1)5+2, 令 y=(x-1)5+2,则(x-1)5=y-2,∴x-1= 5 y ? 2 ,即 x= 5 y ? 2 +1 ∴f (x)的反函数为 f -1(x)=
5

y ? 2 +1,x∈R.

15 . ( - ∞ ,0 ) ∵ f(0)=f(x1)=f(x2)=0, ∴ f(0)=d=0.f(x)=ax(x - x1)(x - x2)=ax3 - a(x1+x2)x2+ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又 f(x)在[x2,+∞ ) 单调递增,故 a>0.又知 0<x1<x,得 x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0.

三、解答题 16 . 证 明 : (1) 由 f(x)+f(y)=f( x)=f(

x? y ), 令 x=y=0, 得 f(0)=0, 令 y= - x, 得 f(x)+f( - 1 ? xy

x?x )=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. 1? x2 (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.
令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0,? 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 17. 证 明 (1) 一 方 面 ,g (x+6)=f (x+6)-(x+6)=f [ (x+3)+3 ] -(x+6) ≤ f (x+3)+3-(x+6) ≤ f (x)-x=g(x).即 g(x+6)≤g(x);另一方面,g(x+6)=f (x+6)-(x+6)=f[(x+4)+2]-(x+6)≥f (x+4)+2-(x+6) ≥f (x+2)+2-(x+4)≥? f (x)-x=g(x).即 g(x+6)≥g(x),故 g(x+6)=g(x),即 g(x)是周期为6的周期函 数. ( 2 )g(996)=f (996)-996=1 002-996=6, 所 以 g(2 004)=g(1 008+996)=g(168 × 6+996)=g(996)=6. 18.(1)∵
? 1 ? 1 1 + =1,∴f (1)= ? f ? ?? =a>0. ? ? 2 2 ? ? 2 ??
1

2

∴f ? 1 ? = a 2 .同理,f ? ? ? a 4 . ? ? ? ? ?4? ?2?
1

1

6-8

6

(2)由 f (x)的图象关于直线 x=1 对称知 f (x)=f (2-x). 又∵f (x)为偶函数,∴f (2-x)=f(x-2).∴f (x)=f (x-2). 故 f(x)是以 2 为周期的周期函数. (3)由(2)得 an=f ? 2n ? 1 ? =f ? 1 ? ,再联想到(1)是(3)的特例,猜想 f ? 1 ? = a 2 n , ? ? ? ? ? ? 2n ? ? 2n ? ? ? 2n ? 下面证明这个不等式. 用数学归纳法易证:对于任意的 x1,x2,…,xn∈ ?0, 1 ? ,都有 f (x1+x2+…+xn)=f (x1)·f (x2)…f ? 2? ? ? (xn). ∵f (1)=f ? 2n ? 1 ? = ? ? 2n ? ? ∴an=f ? 2n ? ?
?
1

1 1 1 ? ? ? 1 ?? f? ? ??? ? ?? f? ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n 2n ? ?
1

2n

? a, .

1 ? ? 1 ? ? a 2n . ?? f? ? 2n ? ? 2n ?

故 lim? 1 ? ln a n ? ? lim 1 ? lim? 1 ? ln a ? ? 0. ? ? ? ? n??? 2n ? n?? 2n n??? 2n ? 点评 从特殊到一般,又从一般到特殊,这是人人皆知的哲理,但在解题过程中,我们 有时容易忽略.合理的联想成了解题的技巧. 19.(1)证明 任取 x1、x2∈R, 则[f (x1)+f (x2)]-2f ? ?
? x1 ? x 2 2 ? ? ? x ? x2 2 ? =ax 1 +x1+ax 2 +x2-2[a ? 1 2 ? ? 2 ? ?

x ? x2 ? ] ? ? 1 ? 2 ?

2

= ∵(x1-x2)2≥0,a>0,∴ ∴f [ ? ?
? x1 ? x 2 2 ?

1 a( x1 ? x 2 ) 2 ≥0. 2

1 a(x1-x2)2≥0. 2

? 1 ? ≤ [f (x1)+f(x2)]. ? 2 ?

∴当 a>0 时,函数 f(x)是凹函数. (2)解
? 2 ?ax ? x ? ?1 |f (x)|≤1 ? -1≤f (x)≤1 ? -1≤ax2+x≤1 ? ? (*). ?ax 2 ? x ? 1 ?

?a ? ? 1 ? 1 ? ? ( 1 ? 1 ) 2 ? 1 , ? x x 2 4 ? x2 当 x=0 时,a∈R;当 x≠0 时,(*)式 ? ? 1 1 1 1 2 1 ?a ? ? ?( ? ) ? . ? x x 2 4 x2 ?

当 x∈(0,1)时,- ? ? ∴?

1 1? 1 1 1 1 ? ? ? 的最大值是-2, ? ? ? ? 的最小值是 0, ? ? 4 4 ? x 2? ? x 2?

2

2

? a ? ?2 ,但 a≠0,∴-2≤a<0,即为 a 的取值范围. ?a ? 0

点评 本题以高等数学中的凹函数为背景,通过给出它的定义(设置新情境),考查学 生阅读、理解、迁移新知识的能力,以及灵活运用函数知识求解恒成立不等式问题的能力.

7-8

7

在高等数学与高中数学的知识交汇处命题,是近几年高考命题的一种趋向.在这种问题中, 又以函数问题居多. 20.(1)∵f (x)≥x 的解集为 R,∴x2-(4a+1)x+a2≥0 恒成立. ∴Δ =(4a+1)2-4a2≤0,即 12a2+8a+1≤0, 1 解得- ≤a≤- 1 ,故 a 的最大值为- 1 . 2 6 6 (2)由(1)得 f (x)≥x 恒成立,f[f (x)]≥f (x),f{f[f (x)]}≥f[f (x)]. 从而 f{f[f (x)]}≥f[f (x)]≥f (x)≥x, 即 f{f[f (x)]}≥x. (3)由已知可得 g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3, 则 g′(x)=6x2+6ax-12a2=6(x2+ax-2a2)=6(x-a)(x+2a), 令 g′(x)=0 得 x=a 或 x=-2a. ①若 a=0,则 g′(x)≥0,∴g(x)在 R 上单调递增,在(0,1)上无极值. ②若 a>0,则当 x<-2a 或 x>a 时,g′(x)>0; 当-2a<x<a 时,g′(x)<0. ∴当 x=a 时,g(x)有极小值.∵g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,∴0<a<1. ③若 a<0,则当 x<a 或 x>-2a 时,g′(x)>0;当 a<x<-2a 时,g′(x)<0. ∴当 x=-2a 时,g(x)有极小值. ∵g(x)在开区间(0,1)上存在极小值, ∴0<-2a<1,∴所以当1 <a<0. 2

1 <a<0 或 0<a<1 时,g(x)在开区间(0,1)上存在极小值. 2

21.(1)由 8x≤f (x)≤4(x2+1),令 x=1 得 8≤f (1)≤8, ∴f (1)=8. (2)设 f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及 f (-1)=0 得 ?
?a ? b ? c ? 8 ? b=4,a+c=4. ?a ? b ? c ? 0

又 ax2+bx+c≥8x,即 ax2-4x+c≥0,对 x∈R 恒成立, ∴?
?a ? 0, ,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故 f (x)=2(x+1)2. ? ? 16 ? 4ac ? 0 ? x 2 ?1 x ?1 1 1 ? ? ? . f ( x) 2( x ? 1) 2 x ? 1

(3)由 g(x)=

由题意 x1= 7 ,x2=g(x1)= 1 ,x3=g(x2)=- 1 ,x4=g(x3)=-1,x5 无意义,故 D={ 7 , 1 ,- 1 ,-1} 5 3 3 3 5 3

8-8

8


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2013 高考函数基本性质综合练习 1.函数 y ?| x | 与 y ? () x2 ? 1...解答题: 1.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ?...

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