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多题一法专项训练(一) 配方法


多题一法专项训练(一) 配方法 一、选择题 1.在正项等比数列{an}中,a1· a5+2a3· a5+a3· a7=25,则 a3+a5 为( A.5 B.25 C.15 D.10 )

2 3 2.已知菱形 ABCD 的边长为 ,∠ABC=60° ,将菱形 ABCD 沿 3 对角线 AC 折成如图所示的四面体, 点 M 为 AC 的中点, ∠BMD=60°

, P 在线段 DM 上,记 DP=x,PA+PB=y,则函数 y=f(x)的图象大致为 ( )

3. 定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x), 且当 x∈(0,1]时, f(x)=x2-x, 则当 x∈(- 1,0]时,f(x)的值域为( 1 - ,0? A.? ? 8 ? 1 1 - ,- ? C.? 4? ? 8 ) 1 - ,0? B.? ? 4 ? 1 0, ? D.? ? 4?

x ? ?2 ,x≤0, ? 4.设函数 f(x)= 若对任意给定的 y∈(2,+∞),都存在唯一的 x0∈R, ?log2x,x>0, ?

满足 f(f(x0))=2a2y2+ay,则正实数 a 的最小值是( 1 A. 4 1 B. 2 C.2

) D.4

5.数列{an}中,如果存在 ak,使得 ak>ak-1 且 ak>ak+1 成立(其中 k≥2,k∈N*),则称 ak 为数列{an}的峰值.若 an=-3n2+15n-18,则{an}的峰值为( A.0 B.4 13 C. 3 ) D.0 ) 16 D. 3

6.已知 sin4α+cos4α=1,则 sin α+cos α 的值为( A.1 二、填空题 B.-1 C.1 或-1

7. (2015· 合肥一模)若二次函数 f(x)=-x2+4x+t 图象的顶点在 x 轴上, 则 t=________. 8.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1 +x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是______________. 1 9.在等比数列{an}中,a1=512,公比 q=- ,用 Tn 表示它的前 n 项之积,即 Tn= 2

a1· a2· …· an,则 T1,T2,…,Tn 中最大的是________.
??? ? 10.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 OA =(2,2),OB― →=(4,1),在 x

轴上取一点 P,使 AP― →· BP― →有最小值,则 P 点的坐标是________. 三、解答题 11.过点 P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线,分别与抛物线 x2 =4y 交于 A,B 两点,若直线 AB 与圆 C:x2+(y-1)2=1 交于不同两 点 M,N,求|MN|的最大值.

12.(2015· 湖北三校联考)已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,向 1 量 m=(sin B,1-cos B)与向量 n=(2,0)的夹角 θ 的余弦值为 . 2 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 3,求 a+c 的范围.

答案
2 1.选 A ∵a1a5=a2 3,a3a7=a5, 2 ∴a2 a5+a2 3+2a3· 5=25.即(a3+a5) =25.

又 an>0,∴a3+a5=5. 1 3 2.选 D 由题意可知 AM= AB= ,BM=MD=1,∵DP=x,∴MP=1-x,在 Rt 2 3 △ AMP 中 , PA = AM2+MP2 = BM2+MP2-2BM· MPcos 60°= 1 +?x-1?2+ x2-x+1= 3 1 +?1-x?2 , 在 △ BMP 中 , 由 余 弦 定 理 得 PB = 3 1+?1-x?2-?1-x? = x2-x+1 , ∴ y = PA + PB =

1 +?x-1?2+ 3

3 ? 1?2 1 + x- (0≤x≤1),∵当 0≤x≤ 时,函 4 ? 2? 2

数 y 单调递减,当 x≥1 时,函数 y 单调递增,∴对应的图象为 D. 3.选 A 若 x∈(-1,0],则 x+1∈(0,1],所以 f(x+1)=(x+1)2-(x+1)=x2+x.又 f(x+ 1 1 1 1 1 1 x+ ?2- ,所以当 x=- 时,f(x)min =- ;当 x=0 时, 1)=2f(x),所以 f(x)= (x2+x)= ? 2 2? 2? 8 2 8 f(x)max =0. 4.选 A 当 x≤0 时,f(x)=2x,值域为(0,1],所以 f(f(x))=log22x =x;当 0<x≤1 时, f(x)=log2x,值域为(-∞,0],所以 f(f(x))=2log2x=x;当 x>1 时,f(x)=log2x,值域为(0,
?x,x≤1, ? +∞),所以 f(f(x))=log2 (log2x),故 f(f(x))=? 当 x≤1 时,f(f(x))的值域 ?log2?log2x?,x>1, ?

1 ?2 为(-∞,1];当 x>1 时,f(f(x))的值域为 R,因为 a>0,令 g(y)=2a2y2+ay=2a2? ?y+4a? 1 1 - ,对称轴 y=- <0<2,所以 g(y)在(2,+∞)上是增函数,则 g(y)在(2,+∞)上的值 8 4a 1 域为(g(2),+∞),即(8a2+2a,+∞),则 8a2+2a≥1,解得 a≥ ,所以正实数 a 的最小值 4 1 是 .故选 A. 4 5?2 3 * 5.选 A 因为 an=-3? ?n-2? +4,且 n∈N ,所以当 n=2 或 n=3 时,an 取最大值, 最大值为 a2=a3=0.故选 A. 6.选 C ∵sin4α+cos4α=1, ∴(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1. ∴sin αcos α=0. 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1, ∴sin α+cos α=± 1. 7.解析:由于 f(x)=-x2+4x+t=-(x-2)2+t+4 图象的顶点在 x 轴上,所以 f(2)=t

+4=0,故 t=-4. 答案:-4 8.解析:由于对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,则 f(x)的对称轴为 x=1,所以 a =2,f(x)=-x2+2x+b2-b+1=-(x-1)2+b2-b+2,则 f(x)在区间[-1,1]上单调递增,当 x∈[-1,1]时,要使 f(x)>0 恒成立,只需 f(-1)>0,即 b2-b-2>0,则 b<-1 或 b>2. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
- - ?-1?n-1=(-1)n-1· 9.解析:由题意知 an=a1qn 1=29· 210 n,所以 Tn=a1· a2· …· an=(- ? 2?

1)0

+ 1 + 2 + … + (n - 1)

· 29

+ 8 + … + (10 - n)

= ( - 1)

n?n-1? ?19-n?n ?19-n?n 1 1 · 2 ,因为 =- (n2 - 19n) =- 2 2 2 2 2

?n-19?2+19 ,n∈N*,所以当 n=9 或 10 时,?19-n?n取得最大值,要使 Tn 最大,则需(- 2? ? 8 2
2

n?n-1? 1) >0,所以 n=9 时,Tn 最大. 2 答案:T9 10.解析:设 P 点坐标为(x,0), ??? ? ??? ? 则 AP =(x-2,-2), BP =(x-4,-1). ??? ? ??? ? AP · BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1) =x2-6x+10=(x-3)2+1. ??? ? ??? ? BP 有最小值 1. 当 x=3 时, AP · ∴此时点 P 坐标为(3,0). 答案:(3,0) 11.解:设直线 PA 的斜率为 k,A(xA,yA),则直线 PA 的方程为 y-1=k(x+2),由
?x2=4y, ? ? 得 x2-4kx-8k-4=0,所以 xA-2=4k,则 xA=4k+2,所以点 A(4k+2, ? y - 1 = k ? x + 2 ? ?

?2k+1?2-?-2k+1?2 (2k+1)2), 同理可得 B(-4k+2, (-2k+1)2), 所以直线 AB 的斜率 kAB= 4k+2-?-4k+2?
?x2+?y-1?2=1, ? =1,设直线 AB 的方程为 y=x+b,由? 得 2x2+2(b-1)x+b2-2b=0,由 ? y = x + b ?

于 AB 与 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 , 所 以 Δ > 0 , 即 1 - 2 < b < 2 + 1. 则 |MN| = 2· ?b-1?2-2?b2-2b?= 2· -b2+2b+1= 2· -?b-1?2+2≤2,故|MN|的最大值是 2. 12.解:(1)∵m=(sin B,1-cos B),n=(2,0), ∴m· n=2sin B, B? 又|m|= sin2B+?1-cos B?2= 2-2cos B=2? ?sin 2 ?,

B π ∵0<B<π,∴0< < , 2 2 ∴sin B B >0,∴|m|=2sin . 2 2

而|n|=2, B 1 m· n 2sin B ∴cos θ= = =cos = , |m||n| B 2 2 4sin 2 B π 2π ∴ = ,∴B= . 2 3 3 (2)由余弦定理, 得 b2=a2+c2-2accos ≥(a+c)2-? 2π 2 2 =a +c +ac=(a+c)2-ac 3

a+c?2 3 2 ? 2 ? =4(a+c) ,

当且仅当 a=c 时取等号, ∴(a+c)2≤4,a+c≤2,又 a+c>b= 3, ∴a+c∈( 3,2].


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