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2010年全国高中数学联合竞赛试题


2010 年全国高中数学联合竞赛一试 年全国高中数学联合竞赛 联合竞赛一 试题参考答案及评分标准( 试题参考答案及评分标准(卷)
说明: 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评阅试卷时,请依据本评分标准. 分两档;其他各题的评阅, 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确, 划分档次评分, 分为一个档次, 分为一个档次, 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 、 他中间档次。 他中间档次。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 填空题( 1. 函数 f ( x ) =

x ? 5 ? 24 ? 3 x 的值域是________.

2. 已知函数 y = (a cos 2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是________.

3. 双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右半支与直线 x = 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为 整数的点)的个数是________. 4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 = 3, b1 = 1, a 2 = b2 ,3a 5 = b3 , 且存在常数 α , β 使得对每一个正整数 n 都有 a n = log α bn + β ,则 α + β = _________

5. 函数 f ( x ) = a 2 x + 3a x ? 2( a > 0, a ≠ 1) 在区间 x ∈ [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上 的最小值是_______. 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是_______. 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 = α ,则

sin α = _______.
8. 方程 x + y + z = 2010 满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解(x,y,z)的个数是_______. 二、解答题(本题满分 56 分) 解答题
3 2 9.( 9. ( 本小题满分 16 分 ) 已知函数 f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时,

f ′( x) ≤ 1 ,试求 a 的最大值.

(16 分)
2 10.( 10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y = 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ≠ x 2 且

x1 + x 2 = 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

11.( 11.(本小题满分 20 分)数列 {a n } 满足 a1 =

a2 1 , a n +1 = 2 n (n = 1,2, L) . 3 an ? an + 1

求证:

1 1 1 1 ? 2n ?1 < a1 + a 2 + L + a n < ? 2n . 2 3 2 3


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