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高二理科数学期末复习之(1)-------圆锥曲线(带解答)


广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 圆锥曲线 一、选择题 1、 ( 广 东 省 百 所 高 中 2014 届 高 三 11 月 联 考 ) 设 F1 、 F2 分 别 为 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线 a 2 b2

/>某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为 A、 答案:A 2、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为( A. 答案:C 3、 (广州增城市 2014 届高三上学期调研)与圆 x 2 ? y 2 ? 1及圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都相 外切的圆的圆心在 (A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 答案:B 4、 (江门市 2014 届高三调研)平面直角坐标系中,抛物线 y ?
2

21 3

B、

19 3

C、

2 3

D、

7 3 3

) C. 2 D. 4

1 2

B. 1

1 x 与函数 y ? ln x 图象的 2

交点个数为 A. 0 答案:D 5、 (汕头四中 2014 届高三第二次月考)已知直线 l1 与直线 l2 : 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 平行且与圆: B. 1 C. 2 D. 3

x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 相切,则直线 l1 的方程是(
A. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 答案:D

)

B. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0

6、 (广东省实验中学 2014 届高三期中)

答案:C 二、填空题 1、 (海珠区 2014 届高三上学期综合测试 (二) ) 已知双曲线 的值是 答案:

x2 则m ? y 2 ? 1的离心率是 2 , m

1 3

2、 (江门市 2014 届高三调研)若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是

( 10 , 0) ,则双曲线方程是
y2 ?1 答案: x ? 9
2

3、 (汕头四中 2014 届高三第二次月考)已知直线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线的倾斜 角? ? .

答案: ? (或 135?

3 4

三、解答题 1、 (广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考)

x2 y 2 3 已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,直线 l:y=x+2 与以原点 a b 3
为圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)抛物线 C2:y2=2px(p>0)与椭圆 C1 有公共焦点,设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同 的两点 R,S 在 C2 上(R,S 与 Q 不重合) ,且满足 ,求 的取值范围。

|0-0+2| 2 2 2 解:(1)由直线 l:y=x+2 与圆 x +y =b 相切,得 =b,即 b= 2. 2 由 e= 3 b 2 2 ,得 2=1-e = ,所以 a= 3, 3 a 3
2 2 2

x y 所以椭圆的方程是 C1: + =1.(4 分) 3 2

(2)由

p 2 =1,p=2,故 C2 的方程为 y =4x, 2
2 2

y1 y2 易知 Q(0,0),设 R( ,y1),S( ,y2), 4 4 y1 y2-y1 → → ∴QR=( ,y1),RS=( ,y2-y1), 4 4 y1(y2-y1) → → 由QR?RS=0,得 +y1(y2-y1)=0, 16 ∵y1≠y2,∴y2=-(y1+ ∴y2=y1+ → 又|QS|=
2 2 2 2 2 2 2 2

16 ), y1 256 256 2 2 y1? 2 +32=64, 当且仅当 y1= 2 , 即 y1=±4 时等号成立. y1 y1

256 2 +32≥2 y1
2

y2 2 1 2 2 2 ( ) +y2= (y2+8) -64, 4 4

→ 2 2 ∵y2≥64,∴当 y2=64,即 y2=±8 时,|QS|min=8 5, → 故|QS|的取值范围是[8 5,+∞).(14 分) 2、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考) 已知定点 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,动点 P ? x, y ? ,且满足 PF 1 , F 1F 2 , PF 2 成等差数列. (Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C1 的方程; ( Ⅱ) 若曲线 C2 的方程为 ? x ? t ? ? y ? t ? 2t
2 2 2

?

?

2

(0 ? t ?

2 ),过点 A?? 2,0? 的直线 2

l 与曲线 C2 相切,求直线 l 被曲线 C1 截得的线段长的最小值.

【解析】(Ⅰ)由 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? , PF1 ? PF2 ? 4 ? F 1F 2 根据椭圆定义知 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,

…………………1 分

其 长 轴 2a ? 4 , 焦 距 2c ? 2 , 短 半 轴 b ? a 2 ? c 2 ? 3 , 故 C1 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 . ……4 分 4 3
(Ⅱ)设 l : y ? k ? x ? 2? ,由过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C2 相切得 化简得 t ? 由0 ? t ?

k ?t ? 2? k 2 ?1

? t ?t ? 2? ,

? 2? ,t ?? 0, ? ? k 2 ?1 ? 2 ? k

(注:本处也可由几何意义求 k 与 t 的关系)…………6 分

k k 2 ?1

?

? y ? k ?x ? 2? ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,…………………8 ? ? 1 ? 3 ?4

2 2 ,解得 0 ? k ? 1 …………7 分 2

?

?



直 线 l 被 曲 线 C1 截 得 的 线 段 一 端 点 为 A?? 2,0? , 设 另 一 端 点 为 B , 解 方 程 可 得

? ?2 ? 4k 2 ? 3? 12k ? ?, B? , ? 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 ? ? ?
? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 12k ?2 12 k 2 ? 1 所以 AB ? ? ……………………11 分 ? 2? ? ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? 4k ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? ?
2

(注:本处也可由弦长公式结合韦达定理求得) 令 k 2 ? 1 ? n ,则 AB ?

12n ? 4n 2 ? 1

12 1 4n ? n

, n ? (1, 2] ,

考查函数 y ? 4n ? 所以 n ?

1 1 的性质知 y ? 4n ? 在区间 (1, 2] 上是增函数, n n

2 时, y ? 4n ?

7 2 12 12 2 1 取最大值 ,从而 AB min ? . ………… ? n 2 7 7 2

2
14 分 3、 (广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考)

x2 y2 已知圆 G : x ? y ? 2 2x ? 2 y ? 0 经过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶 a b
2 2

点B 。 (1)求椭圆的方程; ( 2 )过椭圆外一点 M ? m,0?? m ? a ? 倾斜角为

2 ? 的直线 l 交椭圆于 C 、 D 两点,若点 3

N ?3,0? 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围。
解: (1)
2 2

G : x2 ? y2 ? 2 2x ? 2 y ? 0 与 x 轴、 y 轴交点为 2 2, 0 和 ? 0, 2 ? -----1’

?

?

b?2 ?c ? 2 2 , , 2 ? a ? b ? c ? 12 ------------------------------------------3’ 椭 圆 方 程 为 : ? 2 2 x y ? ? 1 ------------------------------------------------------------4’ 12 4 ( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 为 : y ? ? 3 ? x ? m? ( m ? 2 3 )
---------------------------------5’

? ? y ? ? 3 ? x ? m? 可 得 : ? 2 2 x ? 3 y ? 12 ? ? 2 10 x ? 18mx ? 9m2 ? 12 ? 0 ------------------------------6’ 40 2 30 2 30 ? ? 324m 2 ? 40 ? 9m 2 ? 12 ? ? 0 可得: m 2 ? 即? ----8’ ?m? 3 3 3 9m 2 ? 12 9m 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ----------------9’ 5 10

NC ? ND ? ? x1 ? 3, y1 ? ? ? x2 ? 3, y2 ? ? ? x1 ? 3? ? ? x2 ? 3? ? y1 y2

? 4x1x2 ? ?3m ? 3?? x1 ? x2 ? ? 9 ? 3m2 ? 0 ----------------------------11’
化简得: 2m2 ? 9m ? 7 ? 0 可得: m ?

? 7 2 30 ? 7 ,? m 取值范围为 ? , ? ---14’ ?2 2 3 ? ? ?

4、 (广州增城市 2014 届高三上学期调研) 已知点 A ? ?1,0? , B ?1,0? , 直线 AM,BM 相交于点 M,且 kMA ? kMB ? ?2 . (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过定点(0,1)作直线 PQ 与曲线 C 交于 P,Q 两点,且 PQ ? 方程. (1)解:设 M(x,y), 则 k MA ? ∴ 1分 3分

3 2 ,求直线 PQ 的 2

y y , kMb ? , ? x ? ?1? x ?1 x ?1

y y ? ? ?2 x ?1 x ?1
2

4分

∴x ?

y2 ? 1 ? x ? ?1? 2

6 分(条件 1 分)

(2)当直线 PQ 的斜率不存在时,即 PQ 是椭圆的长轴,其长为 2 2 ,显然不合,即直线 PQ 的斜率存在, 7分

设直线 PQ 的方程是 y=kx+1, P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) , 8分

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? ,消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? 2kx ? 1 ? 0 2 ? y ? kx ? 1 ?
2 2 2 ∵ ? ? 4k ? 4 k ? 2 ? 8 k ? 1 ? 0 ,∴k ? R ,

9分

?

? ?
2

? ?

?

10 分

x1 ? x2 ? ?
∴ PQ ?

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2

11 分

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? ?
12 分

?2 2

k 2 ?1 , k2 ? 2

k 2 ?1 3 2 ?2 2 2 ∴ PQ ? , k 2 ? 2, k ? ? 2 , k ?2 2
所以直线 PQ 的方程是 y= ? 2 x+1。 5、 (海珠区 2014 届高三上学期综合测试(二) ) 已知椭圆 C: 2 ?

13 分

14 分

x2 a

y2 3 ,直线 y = x+ 2 与以原点为圆 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e= 2 b 2

心、以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 如图 6, A, B, D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶 点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N , 直线 AD 交 BP 于点 M , 设 BP 的斜率为 k , MN 的斜率为 m , 求证:

2m ? k 为定值.

解:(1)由直线 y = x+ 2 与圆 x 2 ? y 2 ? b 2 相切, ∴ 得b ?1 由 e=

0 -0+ 2 2

? b ,…………1 分
…………2分 …………3分 …………4分 ………………5 分

3 c 2 a 2 ? b2 3 ,得 ? 2 ? , 4 a a2 2

所以 a ? 2 ,

x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 4

1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2
① ………………6 分 将①代入

x2 8k 2 ? 2 4k ? y 2 ? 1,解得 P( 2 ,? 2 ) 4 4k ? 1 4k ? 1

………………8 分

又直线 AD 的方程为 y ? ①与②联立解得 M (

1 x ?1 2



4k ? 2 4k , ) 2k ? 1 2k ? 1

………………10 分

4k ? 2 8k 2 ? 2 4k , 0) ………12 分 , ? 2 ), N ( x, 0) 三点共线可得 N ( 由 D(0,1), P( 2 2k ? 1 4k ? 1 4 k ? 1
所以 MN 的分斜率为 m=

2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ? (定值).……………14 分 ,则 2m ? k ? 4 2 2

6、 (惠州市 2014 届高三上学期第二次调研) 已知左焦点为 F (?1, 0) 的椭圆过点 E (1,

2 3 ) .过点 P(1,1) 分别作斜率为 k1 , k2 的椭圆的动 3

弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1 ; (3)若 k1 ? k2 ? 1 ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解 (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F ' (1,0)

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ? 2 3 ………………2 分 3 3

? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 3 2

………………4 分

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则

x12 y12 x2 y2 ? ? 1 ① 2 ? 2 ? 1 ②………………6 分 3 2 3 2
………………8 分

②-①,可得 k1 ?

y 2 ? y1 2 x2 ? x1 2 ?? ?? x2 ? x1 3 y 2 ? y1 3

(3)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( x M , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ?6 ? 0

? xM ?

? 3k1k 2 2k 2 , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12

………………10 分

同理? x N ?

? 3k1k 2 2k1 , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

………………11 分

当 k1k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?

y M ? y N 10 ? 6k1k 2 ? xM ? x N ? 9k1k 2

直线 MN 的方程为 y ?

2k 2 10 ? 6k1k 2 ? 3k1k 2 ? (x ? ) 2 ? 9k1k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1k 2 2 2 x ? 此时直线过定点(0, ? )………13 分 3 ? 9k1k 2 3
2 ) 3
………………14 分

又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ?

当 k1k 2 ? 0 时,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? 综上,直线过定点(0, ?

2 ) 3

7、 (江门市 2014 届高三调研) 如图 3, 椭圆 ? 的中心在坐标原点 O , 过右焦点 F (1 , 0) 且垂直于椭圆对称轴的弦 MN 的长为 3. ⑴ 求椭圆 ? 的方程; ⑵ 直线 l 经过点 O 交椭圆 ? 于 P 、 Q 两点, NP ? NQ ,求直线 l 的方程.

解:⑴设椭圆 ? 的方程为

x2 y2 图3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分 a2 b2 2b 2 2(a 2 ? c 2 ) ? ? 3 ……4 分 依题意, c ? a 2 ? b 2 ? 1 ……2 分, a a x2 y2 ? ? 1 ……7 分 解得 a ? 2 , b ? 3 ……6 分,椭圆 ? 的方程为 4 3 ⑵(方法一)连接 ON,由椭圆的对称性 OP ? OQ ……8 分,因为 NP ? NQ ,所以 3 3 ON ? PQ … … 9 分 , 依 题 意 , N (1 , ? ) … … 10 分 , 所 以 k ON ? ? … … 11 分 , 2 2 2 1 2 kl ? ? ? ……13 分,所以直线 l 的方程为 y ? x ……14 分。 3 k ON 3

? x2 y2 ?1 ? ? ( 方 法二 )设 直线 l 的 方 程 为 y ? kx … … 8 分, 解 ? 4 ……9 分,得 3 ? y ? kx ?

12 12 12 12 , k ) , Q( ? , ?k ) … … 10 分 , 依 题 意 , 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3 3 N (1 , ? ) ……11 分,由 NP ? NQ 得 2 12 3 12 12 3 12 (1 ? ) 2 ? (? ? k ) 2 = (1 ? ) 2 ? (? ? k )2 … 2 2 2 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 2 2 …12 分,解得 k ? ……13 分,所求直线 l 的方程为 y ? x ……14 分。 3 3 P(
8、 (汕头四中 2014 届高三第二次月考) 在平面直角坐标系 x o y 中,点 P (a, b)(a ? b ? 0) 为动点, F 1 , F 2 分别为椭圆 左右焦点.已知△ F 1 P F 2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e ; (2)设直线 P F 2 与椭圆相交于 A , B 两点, M 是 直线 P F 2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.

x2 y2 ? ? 1的 a2 b2

解: (1)设 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0) , 由题意,可得 PF2 ? F1 F2 ,即 (a ? c) 2 ? b 2 ? 2c , 整理得 2( c )2 ? c ? 1 ? 0 ,得 c ? ?1 (舍)或 c ? 1 ,所以 e ? 1 .
a a a

……………2 分 ……………4 分
2 2

a

2

2

(2)由(1)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3 x ? 4 y ? 12c .
2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c),
?3 x A, B 两点的坐标满足方程组 ? ?
2

……………………………………………5 分

? 4 y 2 ? 12c 2 ,消去 y 并整理得 5 x 2

? 8cx ? 0, ……6 分

? ? y ? 3( x ? c)

解得 x1 ? 0, x2 ?

8 c, 得方程组的解 5

? ? x1 ? 0 ? ? ? y1 ? ? 3c,

8 ? x2 ? c ? 5 ? ? ? y ? 3 3c , 2 ? 5 ?

……………………8 分

不妨设 A( 8 c, 3 3c ), B(0, ? 3c) ,设 M 的坐标为 ( x, y ) 则
5 5 8 3 3c AM ? ( x ? c, y ? ), 5 5

BM ? ( x, y ? 3c) ,

…………10 分

由 y ? 3( x ? c), 得 c ? x ?

3 y. 3
…………11 分

于是 AM ? ( 8 3 y ? 3 x, 8 y ? 3 3 x), BM ? ( x, 3 x)
15 5 5 5

由 AM BM ? ?2 得 ( 8 3 y ? 3 x) ? x ? ( 8 y ? 3 3 x ) ? 3x ? ?2 ,
15 5 5 5

化简得 18 x 2 ? 16 3 xy ? 15 ? 0 ,
2 2 将 y ? 18 x ? 15 代入 c ? x ? 3 y 得 c ? 10 x ? 5 ,

………………………………13 分

16 3 x

3

16 x

由 c ? 0 得 x ? 0 .因此,点 M 的轨迹方程是 18 x 2 ? 16 3 xy ? 15 ? 0( x ? 0) . …14 分


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