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高观点下的初等数学不等式


第 22 卷 2008 年 5 月

甘肃联合大学学报 ( 自然科学版) Jo urnal of Gansu Lianhe U niversity ( Nat ural Sciences)

Vol. 22   May 2008  

   文章编号 : 16722691X(2008) 0520050203
<

br />高观点下的初等数学不等式
任文龙 ,王   奇 ,李   慧
( 甘肃联合大学数信学院 ,甘肃 兰州 730000)

摘  要 : 用高等数学中的著名不等式 、 向量 、 拉哥朗日中值定理等知识解决了中学数学中的一些不等式的证明 , 指出了中学数学中某些难以处理的问题的高等数学背景 ,用具体的材料说明了高等数学对初等数学的指导意 义 ,进一步将高等数学的一些思想和方法渗透到中学数学中 . 关键词 : 高观点 ; 初等数学 ; 不等式 中图分类号 : G633. 6     文献标识码 :B

   大学所学的知识究竟对中学数学教育有多大 帮助 ? 该如何将所学知识应用到中学教学中去 ? 此问题长期以来一直没有得到很好的解决 . 因此 , 作为将来从事中学数学教学的大学生 , 掌握相当 程度的高等数学知识 , 学会运用所学的高等数学 知识 、 观点和方法去联系和研究初等数学 , 使 “高 初” 有机的结合起来 , 无疑是非常重要的 . 而不等 式是中学数学的重要内容之一 , 一些基本的不等 式在数学的各个分支 、 各个层次上经常被应用 . 许 多著名的不等式 , 被人们广泛研究 、 不断引申和推 广 , 成为高等数学和初等数学结合研究的热点 . 因 此 , 本文将用高等数学知识来处理初等数学中的 不等式作一些探讨 .

例2  对于大于 1 的自然数 n , 证明
1 + 1 3 1 + 1 5 1 + 1 7

…1+

1 > 2n - 1

2n + 1 . 2

   分析   本题可用数学归纳法 、 放缩法证 , 但繁 琐不易 . 稍加研究 , 发现可用伯努力不等式证明 它. 证明   由定理 ( i ) 知
1 + 1 + 1 + 1 3 1 5 1 7
2

> 1 +2 ×
2

1 , 3 1 , 5 1 , 7

> 1 +2 ×
2

  伯努力不等式
定理 1   对- 1< x≠ 0. ( i) 若 r > 1 或 r < 0 , 则 ( 1 + x ) r > 1 + r x . ( ii ) 若 0 < r < 1 , 则 ( 1 + x ) r < 1 + r x. 一般来说 , 不等式的证明都要经过复杂的变 形 , 运算 , 但若引用一些众所周知的结论加以演 算 , 不仅方法新颖 , 而且简单明了 . 例1  已知 n ∈N+ , 求证 2 ( n + 1 - 1) < n. 分析   此题用常规做法不容易证明 , 事实上 , 1 1 如果我们稍作变形 , ( n + 1 ) 2 < n + 1 , 方知这道 2 题的真实背景 . 证明   由于 n ∈N+ 且 n ≠ 1 , 由定理 1 ( ii ) , 可 知
( n + 1)
1 2

> 1 +2 ×


1 + 1 2n - 1
2 2

> 1 +2 ×

1 . 2n - 1

左边和右边分别相乘 , 得
1 + 1 + 1 3 2 3 1 + 1 + 1 5 2 5
2

…1+ …1 +

1 > 2n - 1

2 = 2n - 1

5 7 9 2n + 1 × × ×…× = 3 5 7 2n - 1 2n + 1 > 3 2n + 1 2 1 7
2

,

于是 , 就有
1 + 1 3 1 + 1 5 1 +

…1+

1 > 2n - 1

< ( n + 1) / 2 .

   所以 2 (

n + 1 - 1 ) < n 成立 .

2n + 1 . 2

收稿日期 :2008204223. ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

            任文龙 : 高观点下的初等数学不等式              

51

  柯西不等式
定理 2  设有两组实数 α 1 ,α 2 , …,α n 和β 1 , β β 2 , …, n ,则
2 (α β β β ≤ 1 1 +α 2 2 + … +α n n) 2 2 2 2 2 2 (α β 1 +α 2 + … +α n) ( 1 +β 2 + … +β n)

( a +θ ③ f ( a + h) - f ( a) = f ′ h) h , 0 <θ< 1 .

或写为
i =1

β i i 6α

n

2



i =1

2 6 αi

n

i =1


2
i

n

,

β 当且仅当α i = k i ( i = 1 , 2 , …, n) 时等号成立 .
2 2 α α 1 +α 2 + …+α n 1 +α 2 + …+α n 推论 1   ≤ ,

高等数学中有很多方法可以和中学数学相沟 通 , 有些可以适当迁移到中学数学中来 . 事实上数 学追求的是一种纯静的美 , 数学本身就是一种艺 术 . 有人将数学称为推理的音乐 , 数学的熏陶就如 同欣赏音乐一样 , 同样能净化人的灵魂 . 然而高等 数学的方法不仅可以使我们居高临下地去观察初 等问题 , 帮助我们确定解题思路 , 有时还能帮助我 们剖析某些问题的实质 , 寻求简捷的解法 . b- a b 例 5  已 知 0 < a < b , 求 证 < ln <
b a b- a . a

n

n

当且仅当α 1 =α 2 = …=α n 时 , 等号成立 . 此不等式又名布氏不等式 , 别管它叫什么定 理 , 只要能给解题带来方便 , 我们就有理由记住 它 . 看下面几个例子是如何在这个定理指导下解 决的 . 例3  求证 ac + bd ≤ a + b ? c + d ( ac
+ bd ≥ 0) .
2 2 2 2

证明   设 f ( x ) = ln x , x ∈[ a , b]. 显然 f ( x ) ( x) = 在 [ a , b]上满足拉哥朗日定理的条件 , 且 f ′ 1 , 故存在ξ∈( a , b) , 使
x f ( b) - f ( a) ( ξ ) = 1 , = f′ ξ b- a


ln b - ln a = ln
b b- a = , ξ a

证明   两边平方 , 得
( ac + bd ) 2 ≤ ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) ,

   由定理 2 知 , 结论成立 . 例4  设 x , y , z ∈R , 且 x + y + z = 1 , 求证 :
x +y +z ≥ 1/ 3 .
2 2 2



1
b

<

1 1 ξ < a , 故有
b- a b- a b- a < < . ξ b a

证明   由推论 1 可知
x + y + z
2 2 2


x + y + z
2

3



3
x +y +z
2 2 2

,

b- a b b- a < ln < . b a a

又因为 x + y + z = 1 , 所以
x + y + z
2 2

3
2

1 ≥ ,即 9

≥1/ 3 .

   从上面两题看出 , 柯西不等式解题简明 , 几乎 不需要什么技巧 . 然而高屋建瓴的数学宗旨和有 的放矢的课程目标是居高临下解决问题的前提 .

  拉哥朗日中值定理
定理 3 [ 1 ]   如果函数 y = f ( x ) 在闭区间 [ a ,
b]上连续 , 在开区间 ( a , b) 内可导 , 那么在 ( a , b) 内

至少有一点 c , 使
( c) . f ( b) - f ( a) = ( b - a) f ′ ( 这个定理的特殊情形 称罗尔定理)

  例 6  已 知 0 < x < π / 2 , 求 证 sin x < x < tan x . 证明   设 f ( x ) = sin x , g ( x ) = tan x , 由拉哥 朗日中值定理及 0 < x <π /2得 f ( x) - f ( 0) sin x - sin0 = = x - 0 x - 0 π ξ ξ co s , 1 < 1, 1 ∈ 0, 2 因而 sin x < x . 又 g ( x ) - g ( 0) tan x - tan0 = = x - 0 x - 0 ξ π sec2ξ /2 , 2 > 1, 2 ∈ 0, 于是 tan x > x , 所以 sin x < x < tan x.

推论 2  
( ξ ) ( b - a) , a <ξ< b. ① f ( b) - f ( a) = f ′ (ξ ) ( a +θ( b - a) ) , 0 <θ ② f ( b) - f ( a) = f ′

  向量在不等式证明中的应用
向量的引入给中学数学带来新的活力和生 机 , 向量的引入大大拓宽了解题思路 , 许多经典的 习题和试题采用向量知识求解 , 会给人一种耳目
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< 1.

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                 甘肃联合大学学报 ( 自然科学版)                  第 22 卷 5 2

一新的感觉 . 向量数量积的性质 [ 3 ] : θ≤ 珗 a? 珗 b =| 珗 a|? |珗 b | co s |珗 a|? |珗 b| . 2 2 2 2 2    例7  已知 a + b + c = 1 , x + y + z 2 = 1 , 求证 a x + by + ca ≤ 1. 证明   构造向量 珤 m = { a , b , c} ,珗 n = { x , y , z} , 则 θ≤ ax + by + cz = 珤 m? 珗 n =| 珤 m|? |珗 n | co s
| 珤 m|? |珗 n | = 1.

例 10   已知 - 1 < a < 1 , - 1 < b < 1 , 求证
1 1 2 + ≥ . 1 - a2 1 - b2 1 - ab

分析   本题属不等式证明 , 可用作差比较 、 三 角换元 、 分析法等 , 但用极限思想尤为简单 . 证明   因收敛域 ( - 1 , 1 ) 内有 f ( x ) =
= 1 + x + x2 + …+ x n + …, 故有 1 2 4 6 = 1 + a + a + a + … 1 - a2 1 2 4 6 = 1 +b +b +b + … 1 - b2 1 1 所以     + = 1 - a2 1 - b2 2 + ( a2 + b2 ) + ( a4 + b4 ) + ( a6 + b6 ) + … ≥ 2 + 2 ab + 2 a2 b2 + 2 a3 b3 + … = 2 ) = 2 ( ab + a2 b2 + a3 b3 + … . 1 - ab    当且仅当 a = b 时 ,等号成立. 即原不等式成立. 以上所述是从不等式方面归纳了几类高等数 1 1+ x


ax + by + cz ≤1 .

   例8   设 a , b , c , d ∈R+ , 证明 ( ab + c d) 2 ≤( a2 2 2 + c ) ( b + d2 ) . 证明   构造向量 珤 m = { a , c} ,珗 n = { b , d} , 于是 2 2 2 ( ab + cd ) 2 = (珤 ) m? 珗 n =| 珤 m| ? |珗 n| ? co s2θ ≤ 2 2 | 珤 m| ? |珗 n| =
( a2 + c2 ) ( b2 + d2 ) .

  极限思想在不等式中的应用
极限思想即运用 “化整为零 , 积零为整” 的思 想 . 它在数学中占有举足轻重的地位 , 它对于培养 学生从运动 、 变化的观点看待问题非常有利 . 我们 在数学中碰到的有些问题 , 用一般的方法解答十 分繁琐 , 而应用极限思想来处理 , 不仅简单 , 而且 更能体现数学的美妙之处 . ) 例9  已知 0 < x < y <α< 1 . 则有 (   ( A ) logα ( x y ) < 0  (B ) 0 < logα ( x y ) < 1 ( C) 1 < logα ( x y ) < 2  ( D) logα ( x y ) > 2 α时 , 由题意 , y → α 分析   当 x→ . 此时 x y →
2 α , logα ( x y ) → 2 , 故可排除 A 和 B . 当 y → 0 时 ,由 题意 , x → 0 , 此时 x y → 0 , 又 0 <α< 1 , 则

学在初等数学中的应用问题 . 其实 , 用 “复数域上 n 次方程有且仅有 n 个复根” 证明一类不等式 , 用 凹凸函数的定义 、 条件极值与条件不等式证明不 等式 , 都是比较好的方法 , 在此不作论述 . 参考文献 :
[ 1 ] 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 上下册 ) [ M ]. 第 3

版 . 北京 : 高等教育出版社 ,2001.
[ 2 ] 张禾瑞 ,郝炳新 . 高等代数 [ M ] . 第 4 版 . 北京 : 高等教

育出版社 ,1999.
[ 3 ] 吕林根 ,许子道 . 解析几何 [ M ] . 第 3 版 . 北京 : 高等教

育出版社 ,1982.
[ 4 ] 沈钢编 . 高观点下的初等数学概念 [ M ] . 杭州 : 浙江大

logα ( xy ) →+ ∞.

学出版社 ,2001.

故又排除 C , 从而选 D .

Inequal ity in the Elementary Mathematics Under the High Vie wpoint
R E N W en2lon g , W A N G Qi , L I H ui
( School of Mat hematics and Info rmation , Gansu Lianhe U niversity , Lanzhou 730000 ,China)

Abstract : The p roof of so me inequalit y in t he elementary mat hematics are solved by use so me famo us inequalit y in higher mat hematics , vecto rs and Lagrange , mid - value ect . It pointed o ut t he higher mat hematics backgro unds of so me questio ns t hat is hard to t he dealt wit h in t he mat hematics of middle school , and has explaind t he guidance meaning of higher mat hematics to elementary mat hematics wit h t he co ncrete material , so me t ho ught and t he met ho d of higher mat hematics are permeated to mat he2 matics of middle school f urt herly. Key words :high viewpoint ;elementary mat hematics ;inequalit y
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