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四川省成都外国语学校2013届高三12月月考数学(文)试题


成都外国语学校高 2013 级高三 12 月月考

文 科 数







命题人:张玉忠 审题人:方兰英 试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓 名

、准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题: (每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? ?x | x ? 3? , B ? ? x | A. ? B . ? 3, 4 ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A ? B ? x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

? 4,???
25 3

2.已知向量 a ? ?1, m ? 2? , b ? ?m,?1? ,且 a // b ,则 b 等于 A. 2 B.2 C.

20 3

D.

3. “数列 ?an ? 为常数列”是“数列 ?an ? 既是等差数列又是等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题 P:若 x,y∈R.则|x|+ |y|>1 是|x+y| >1 的充分而不必要条件; 命题 q :函数 y= | x ?1| ?2 的定义域是(一∞,一 1]U[3,+∞) ,则 A. “pVq”为假 B.“p ? q”为真 C. “ p ? ?q ”为真 D.“ ?p ? q ”为真

5.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ? 3 cos x ,则 A.函数 f ?x ? 的周期为 2? B.函数 f ?x ? 在区间 ??

?

?

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 6? ?
?? ? ,0 ? 对称 ?6 ?

C.函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? ?

?
12

对称

D.函数 f ?x ? 的图象关于点 ?

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 1 页 共 16 页)

6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;④若 l ∥ m ,则 ? ? ? .其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

7.将一颗 骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m , n ,则函数 y ? 上为增函数的概率是( A. ) C.

2 3 mx ? nx ? 1 在 ?1 , ? ?? 3

1 2

B.

5 6

3 4

D.

2 3
y

8.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值如下 表,f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象如上右图所示。 x f(x) -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 -1 O 2 3 4 x

当 1<a<2 时, 函数 y=f(x)-a 的零点的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 = 9, a5 = 17 , 记 数 列 ?

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 ? an ?

S 2 n ?1 ? S n ?
A.5

m , (m ? Z ) ,对任意的 n ? N * 成立,则整数 m 的最小值为 10
B.4 C.3 D.2

10.设 O 是正三棱锥 P ? ABC 的底面⊿ ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S ,与 PA 、

PB 的延长线分别交于 Q 、 R ,则
A、有最大值而无最小值 C、无最大值也无最小值

1 1 1 ? ? ( PQ PR PS

)

B、有最小值而无最大值 D、是与平面 QRS 无关的常数

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 2 页 共 16 页)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题纸的相应位置上。 )

11.输入 x=2,运行右图的程序输出的结果为



12.已知关于 x 的 不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 是 .

ax ? b ? 0 的解集 x?2

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2|x|+y 的取值范围是_________ ? y ? ?1 ?
14.若不等式 a ? |
x x2 ?1 1 |? 2|log2 | , x ? ( , 2) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为_ x 2

? a11 ? 15 . 由 9 个 正 数 组 成 的 数 阵 a21 ? ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列 , 且 a33 ? ?

a11 ? a12 ? a13 , a21 ? a22 ? a23 , a31 ? a32 ? a33 成等比数列.给出下列结论:
①第二列中的 a12 , a 22 , a32 必成等比数列; ②第一列中的 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列; ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 ; 其中正确的序号有 ④若 9 个数之和大于 81,则 a 22 >9. . (填写所有正确结论的序号) .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。 ) 16. (本题满分 12 分)

? ?? ? 1 x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2 ? 3 (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; 2 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)
已知向量 m ? (cos

??

的取值范围.
成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 3 页 共 16 页)

17. (本题满分 12 分) 2013 年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱,尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新 意。王力宏和李云迪的钢琴 PK,加上背景板的黑白键盘,更被网友称赞是行云流水的感 觉。某网站从 2012 年 11 月 23 号到 11 月 30 做了持续一周的在线调查,共有 n 人参加调 查,现将数据整理分组如题中表格所示。 序号 1 2 3 4 5 年龄分组 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 组中值 mi 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 频数(人数) x 800 y 1600 z 频率(f) s t 0.40 0.32 0.04 开始 始 取 2 名 i=1 代 表 输入 mi , fi 中 恰 s ? s ? mi fi 有 i=i+1 1 否 人 i ? 5? 年 是 龄 输出 在 s [ 2 结束 5 , 3 0 ) 岁 的 概 率 。 始 S=0

(1) 求 n 及表中 x,y,z,s,t 的值 (2) 为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算,分析其中一 部分计算,见算法流程图,求输出的 S 值,并说 明 S 的统计意义。 (3)从年龄在[20,30)岁人群中采用分层抽样法抽取 6 人参加元 宵晚会活动,其中选取 2 人作为代表发言,求选其中恰有 1 人在年龄 [25,30)岁的代表概率。

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 4 页 共 16 页)

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA?CD,PA = 1,

PD= 2 ,E 为 PD 上一点,PE = 2ED.
(Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC? 若存在,指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
B A

P

E D C

19 (本小题满分 12 分)
2 函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围.

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20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 1 , an ? ( n ? 2, n ? N ? ) 。 n 4 (?1) an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n ; 2 an
(2n ? 1)? 4 ? ,数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ,求证:对 ?n ? N , Tn ? 。 2 7

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

21. (本小题满分 14 分)[来源:学,科,网] 已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 、 b 的值; (2) 已知定点 A(1, 0) , 设点 P ( x, y ) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点, | AP | 的 求 最小值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 6 页 共 16 页)

题及答案 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A ? ?x | x ? 3? , B ? ? x | A. ? B . ? 3, 4 ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A ? B ? B x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

? 4,???
25 3

2.已知向量 a ? ?1, m ? 2? , b ? ?m,?1? ,且 a // b ,则 b 等于 A A. 2 B.2 C.

20 3

D.

3. “数列 ?an ? 为常数列”是“数列 ?an ? 既是等差数列又是等比数列”的 B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题 P:若 x,y∈R.则 Ixl + lyl>1 是 Ix+yl >1 的充分而不必要条件; 命题 q :函数 y= | x ?1| ?2 的定义域是(一∞,一 1]U[3,+∞) ,则 D A. "pVq"为假 C. “ p ? ?q ”为真 B. "p ? q"为真 D.“ ?p ? q ”为真

5.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ? 3 cos x ,则 C A.函数 f ?x ? 的周期为 2? B.函数 f ?x ? 在区间 ??

?

?

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 6? ?

C.函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? ? D.函数 f ?x ? 的图象关于点 ?

?
12

对称

?? ? ,0 ? 对称 ?6 ?

6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;④若 l ∥ m ,则 ? ? ? . 其中真命题的个数为 B A.1 B.2

C.3

D.4

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 7 页 共 16 页)

7.将一颗 骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m , n ,则函数 y ?

2 3 mx ? nx ? 1 在 3

?1 , ? ?? 上为增函数的概率是(
A.
1 2

B

) C.
3 4

B.

5 6

D.

2 3
y

8.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值如下 表,f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象如上右图所示。 x f(x) -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 -1 O 2 3 4 x

当 1<a<2 时, 函数 y=f(x)-a 的零点的个数为 C) ( A.2 B.3 C.4 D.5 9 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 = 9, a5 = 17 , 记 数 列 ?

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 ? an ?

S 2 n ?1 ? S n ?
A.5

m , (m ? Z ) ,对任意的 n ? N * 成立,则整数 m 的最小值为 B 10
B.4 C.3 D.2

10.设 O 是正三棱锥 P ? ABC 的底面⊿ ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S ,与 PA 、

PB 的延长线分别交于 Q 、 R ,则
A、有最大值而无最小值 C、无最大值也无最小值

1 1 1 ? ? (D PQ PR PS

)

B、有最小值而无最大值 D、是与平面 QRS 无关的常数

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 8 页 共 16 页)

11.输入 x=2,运行下面的程序输出的结果为

1



12.已知关于 x 的 不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 是 ▲ (?1,2) .

ax ? b ? 0 的解集 x?2

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2|x|+y 的取值范围是____[-1,1]_____ ? y ? ?1 ?
x x2 ?1 1 |? 2|log2 | , x ? ( , 2) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为_ a ? 1 14.若不等式 a ? | x 2

? a11 ? 15 . 由 9 个 正 数 组 成 的 数 阵 a21 ? ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列 , 且 a33 ? ?

a11 ? a12 ? a13 , a21 ? a22 ? a23 , a31 ? a32 ? a33 成等比数列.给出下列结论:
①第二列中的 a12 , a 22 , a32 必成等比数列; ②第一列中的 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列; ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 ; ④若 9 个数之和大于 81,则 a 22 >9. 其中正确的序号有 三.简答题 16. (本题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos ①②③ . (填写所有正确结论的序号) .

? ?? ? 1 x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2 ? 3 (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; 2 3 ??
成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 9 页 共 16 页)

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B) 的取值范围. 18、解: (1)依题意得 f ( x ) ? sin( x ? 由 x ? [0,

?
6

) ,????????????2 分

?
2

] 得: ? ?

6

? x?

?
6

?

? , sin( x ? ? ) ?
3

6

3 ? 0, 3

从而可得 cos( x ?

?
6

)?

6 ,????????????4 分 3

则 cos x ? cos[( x ?

?

? ? ? ? ? 2 3 ??6 分 ) ? ] ? cos cos( x ? ) ? sin sin( x ? ) ? ? 6 6 6 6 6 6 2 6
? 3 ,从而 0 ? B ? ,????????10 分 6 2

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得: cos B ? 故 f(B)=sin( B ?

?
6

) ? (? , 0]

1 2

????????????12 分

1600 =5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000 × 0.32 400 400 0.40=2000,z=5000×0.04=200,s= =0.08,t= =0.16????????4 分 5000 5000
17 、 解 : 1 ) 依 题 意 则 有 n= ( (2) 依 题 意 则 有 S = 22.5 × 0.08+27.5 × 0.16+32.5 × 0.40+37.5 × 0.32+42.5 × 0.04=32.9; ????????????5 分 S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。????????????6 分 (3)∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为

400 1 ? ,??????8 分 800 2

∴采用分层抽样法抽取 6 人中年龄在[20,25)岁的有 2 人,年龄在[25,30)岁的有 4 人,设在 [25,30)岁的 4 人分别为 a,b,c,d,在[20,25)岁中的 2 人为 m,n;选取 2 人作为代表发言的所 有可能情况为(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d), (c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有 15 种,其中恰有 1 人在年龄[25,30)岁的代表有 (a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共 8 种,????????????12 分

8 ????????????13 分 15 18、解: (Ⅰ) ? PA = PD = 1 ,PD = 2 , ---2 分 ? PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ? AD
故概率 P ? 又 PA ? CD , AD , CD 相交于点 D, ? PA ? 平面 ABCD (Ⅱ)过 E 作 EG//PA 交 AD 于 G, 从而 EG ? 平面 ABCD, 且 AG = 2GD , EG = 1 1 PA = , 3 3 -------4 分

------5 分

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 10 页 共 16 页)

连接 BD 交 AC 于 O, 过 G 作 GH//OD ,交 AC 于 H, 连接 EH.? GH ? AC , ? EH ? AC , ? ? EHG 为二面角 D—AC―E 的平面角.

-----6 分

6 EG 2 -------8 分 ? tan?EHG = GH = 2 .? 二面角 D—AC―E 的平面角的余弦值为 3
(Ⅲ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,0, 0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) ,E(0 , 2 1 , ), AC = (1,1,0), 3 3 ---9 分

AE = (0 , 3 ,3 )
设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则

2 1

?n ? AC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ,即: ? , 令y=1, ? ?n ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
则 n = (- 1,1, - 2 ) 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF = ? CP , (0 ? ? ? 1), 使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0. 又因为: BF = BC + CF = (0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ),
? BF ? n = ? + 1-

-------------10 分

? - 2? = 0 , ?? = 2 ,
----------------12 分

1

所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC.
2 19 (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x???1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 2 . ??????????3 分
[来源:Z#xx#k.Com]

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立.??4 分
成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 11 页 共 16 页)

当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 . (1) 当 a ? ?1 时, ???????????????5 分

f ( x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ? ?2( x ?1)2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1?[ ? 1,1] ;
2 2 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) .

1 2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? [ ? 1,1] , 2

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个 零点在 ??1,1? 上.??????7 分 (2)当 f (?1)?f (1) ? ( a ? 7)( a ?1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点, 则

???????????????9 分

?a ? 0, ?a ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ??1 ? ? ? 1, ??1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f (?1) ? 0, ? f (?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 .

???????13 分

综上所述,函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2 .

???????????????14 分

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 1 ? , an ? ( n ? 2, n ? N ) 。 n 4 (?1) an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 12 页 共 16 页)

(Ⅱ)设 bn ?

1 ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n ; 2 an
(2n ? 1)? 4 ? ,数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ,求证:对 ?n ? N , Tn ? 。 2 7

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

20、解: (Ⅰ)∵

? 1 ? 1 1 2 ,∴ ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)? ? (?1) n?1 ? , an a n ?1 an ? an?1 ?

又∵

?1 ? 1 ? (?1) ? 3 ,∴数列 ? ? (?1) n ? 是首项为 3,公比为-2 的等比数列, a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 n ?1 n 。????????????4 分 ? (?1) = 3(?2) ,即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1,

Sn = 9 ?

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n = 3 ? 4 n ? 6 ? 2 n ? n ? 9 。???8 分 1? 4 1? 2
(2n ? 1)? (?1) n?1 1 n = (?1) ,∴ cn ? , ? n ?1 n n ?1 2 3 ? (?2) ? (?1) 3? 2 ?1

(Ⅲ)∵ sin

当 n≥3 时, T n =

1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 1 ? [1 ? ( ) n ? 2 ] 11 12 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ??? ? = 2 3 n ?1 1 4 7 3? 2 3? 2 3? 2 28 1? 2

=

11 1 ? 1 ? 11 1 47 4 ? ? ? ,?????12 分 ? ? ?1 ? ( ) n ?2 ? ? 28 6 ? 2 ? 28 6 84 7
4 。???????????13 分 7

? 又∵ T1 ? T2 ? T3 ,∴对 ?n ? N , Tn ?

21. 解: (1)由 ?

? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ,得 ? , ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2

解得: ?

? a?2 . ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· · 3 ·········· ··········· ··········· · ? b ?1
成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 13 页 共 16 页)

(2)由(1) f ( x ) ?
2

2x , x ?1
2 2 2

所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( 令 x ?1 ? t ,t ? 0 , 则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ?
2 2 2 2

x 2 ) , x ?1

1 t

4 2 ? 4(t ? ) ? 8 2 t t

2 2 2 ? (t ? ) 2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 t t t 因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 , 2 所以,当 t ? ? ?2 2 , t
所以 | AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 , ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1

[来源:Zxxk.Com]

点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) 。 ··························9 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· (3)问题即为

2x 2m ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ······················ 10 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · | x?m|
m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x

也就是 x ?

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 即m?

m m ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

mx ? m ? x 2 ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,
①当 x ? 1 时,

1 ? m ?1或m ? 2 , 2

②当 x ? 1 时, m ?

x2 x2 且m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1

x2 x2 ) max , 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1
令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,
成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 14 页 共 16 页)

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t
?(
4 x2 4 ) max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 3 x ?1 3

x2 x2 )min 对于 m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1
令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (0,1] ,

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t
?(

[来源:Zxxk.Com]

x2 )min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1

综上: 2 ? m ? 4 ···································16 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 法二:问题即为

2x 2m ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1) | x ? m |

也就是 x ?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ····················· 分 ··········· ·········· ···················· 10 | x?m|

[来源:学,科,网]

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x ? mx ,
2

g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ?

4 ,舍去; 3

②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ?

m 2 m2 ) ? , 2 4

考虑到

m ? 1 ,再分两种情形: 2

(ⅰ) 1 ?

m m m2 ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? , 2 2 4

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 15 页 共 16 页)

依题意

m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 4
m ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时 单调递增, 2

(ⅱ)

故 g (2) ? m ,? 2(m ? 2) ? m ,? m ? 4 ,舍去。 综上可得, 2 ? m ? 4 ································ 16 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ···········

成都外国语学校高 2013 级 12 月月考文科数学试题(第 16 页 共 16 页)


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