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2015年高二数学专题训练【13】圆锥曲线(含答案解析)


专题训练 13
基础过关 1. 抛物线 x =4ay 的准线方程为( A. x=-a C. y=-a 2. 方程 x +2y =4 所表示的曲线是( A. 焦点在 x 轴的椭圆 C. 抛物线
2 2 2

圆锥曲线Ⅱ

) B. x=a D. y=a ) B. 焦点在 y 轴的椭圆 D. 圆

3.

椭圆 C1: + =1 和椭圆 C2: + =1(0<k<9)有( 25 9 9-k 25-k A. 等长的长轴 C. 相等的离心率 B. 相等的焦距 D. 等长的短轴

x2

y2

x2

y2

)

1 4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3 A. C.

)

x2 y2
4

+ =1 6

B.

x2 y2
6

+ =1 4

+ =1 或 + =1 36 32 32 36
2 2

x2

y2

x2

y2

D.

x2
36



y2
32

=1 )

5. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. (1,+∞) B. (1,2) 1 C. ( ,1) 2 )

D. (0,1)

6. 已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为( A. x =-28y C. y =-28x
2 2

B. y =28x D. x =28y
2

2

7. 焦点为(0,±6)且与双曲线 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2 A. C. - =1 12 24 - =1 24 12

x2

2

)

x2 y2

y2 x2

B. D.

y2
12

- -

x2
24

=1 =1 )

x2
24

y2
12

5 8. 中心在坐标原点,离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( 3 5 A. y=± x 4 4 B. y=± x 5

4 C. y=± x 3
2

3 D. y=± x 4 )

9. 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么|AB|等于( A. 8
2

B. 10

C. 6

D. 4 )

10. 设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

11. 若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是( A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 )

)

12. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. 4 5 B. 3 5
2

C.

2 5

D.

1 5 )

13. 动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过点( A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,-2)

14. 设 P 是椭圆 + =1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A. 4
2 2

x

2

y

2

)

B. 5

C. 8

D. 10 )

15. 椭圆 x +my =1 的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( A. 1 4
2 2

B.

1 2

C. 2

D. 4

x y 1 16. 已知双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2
17. 若 中 心 在 坐 标 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 椭 圆 经 过 点 (4 , 0) , 离 心 率 为 ____________________________. 18. 设 F1 和 F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2 的面积为________. 4 4 19. 已知点 A(-2,0),B(2,0),过点 A 作直线 l 交以 A,B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ,且 5 直线 l 与圆 x +y =1 相切,求该椭圆的方程.
2 2

3 ,则椭圆的标准方程为 2

x2

2

20. 已知抛物线 y =6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被点 P 平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

2

冲刺 A 级

x y |PF2| 21. 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线左支上一点.若 的最小值为 8a,则该双曲线的离心 a b |PF1|
率的取值范围是( A. (1,3) ) B. (1,2) C. (1,3] D. (1,2] )

2

2

2

22. 已知△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0), △ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是( A. C.

x

2

9

- -

y

2

16

=1 =1(x>3)

B. D.

x

2

16

- =1 9

y

2

x2
9

y2
16

- =1(x>4) 16 9
2 2 2

x2

y2

23. 过双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点作圆 x +y =a 的两条切线, 切点分别为 A, B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点), 则双曲线 C 的离心率为________. 3π 2 24. 过抛物线 y =4x 的焦点,作倾斜角为 的直线交抛物线于 P,Q 两点,O 为坐标原点,则△POQ 的面积等于________. 4

x2 y2 a b

x y 1 25. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F1(1,0),离心率为 . a b 2
(1)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标; (2)设过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△PAB 的面积为错误!,求直线 AB 的方程.

2

2

专题训练 13

圆锥曲线Ⅱ

1. C 2. A [提示:根据椭圆的定义得到焦点在 x 轴上.] 3. B [提示: 依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上, 对于椭圆 C1: 焦距=2 25-9=8, 对于椭圆 C2: 焦距=2 (25-k)-(9-k) =8,故答案为 B.] 1 x2 y2 x2 y2 2 2 2 4. C [提示:∵长轴长 2a=12,∴a=6.又∵e= ∴c=2,∴b =a -c =32,∵焦点不定,∴椭圆方程为 + =1 或 + 3 36 32 32 36

=1.]

x y 2 2 2 5. D [提示:把方程 x +ky =2 化为标准形式 + =1,依题意有 >2,∴0<k<1.] 2 2 k k
6. B [提示:由条件可知 =7,∴p=14,抛物线开口向右,故抛物线方程为 y =28x.] 2 7. B [提示:与双曲线 -y =1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 -y =λ (λ ≠0).又∵双曲线的焦点在 y 轴上,∴方程 2 2 可写为 - =1.∵双曲线方程的焦点为(0,±6),∴-λ -2λ =36.∴λ =-12.∴双曲线方程为 - =1.] -λ -2λ 12 24 c 5 c2 a2+b2 25 b2 16 b 4 a 3 8. D [提示: ∵ = ,∴ 2= 2 = ,∴ 2= ,∴ = ,∴ = .又∵双曲线的焦点在 y 轴上,∴双曲线的渐近线方程为 a 3 a a 9 a 9 a 3 b 4 a 3 y=± x,∴所求双曲线的渐近线方程为 y=± x.] b 4 9. A [提示:由题意,得|AB|=x1+1+x2+1=(x1+x2)+2=6+2=8.] 10. B [提示:由抛物线的定义可知,点 P 到抛物线焦点的距离是 4+2=6.] 2 c c2 3b 3 2 2 2 2 11. D [提示:△ABF1 为等边三角形,∴2b=a,∴c =a -b =3b ,∴e= = = .] 2= a a2 4b 2 12. B [提示:本题考查了离心率的求法,这种题目主要是设法把条件转化为含 a,b,c 的方程式,消去 b 得到关于 e 的方程, 3 2 2 2 2 2 2 由题意得:4b=2(a+c)? 4b =(a+c) ? 3a -2ac-5c =0? 5e +2e-3=0(两边都除以 a )? e= 或 e=-1(舍),故选 B.] 5 13. B [提示:直线 x+2=0 是抛物线的准线,又因为动圆的圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2, 0).] 14. D [提示:由题可知 a=5,P 为椭圆上一点,∴|PF1|+|PF2|=2a=10.] x2 y2 1 1 1 15. A [提示:椭圆方程可化为 + =1,由焦点在 y 轴上可得长半轴长为 ,短半轴长为 1,所以 =2,解得 m= .] 1 1 m m 4

2

2

p

2

x2

2

x2

2

y2

x2

y2

x2

m b 1 16. 1 [提示:由题意知 = ,解得 b=1.] 2 2
17.

x2
16



x y 3 2 2 2 =1 或 + =1 [提示:若焦点在 x 轴上,则 a=4,由 e= ,可得 c=2 3,∴b =a -c =16-12=4,椭圆方 64 16 4 2
2

y2

2

2

3 c 3 3 2 1 2 x 2 2 2 2 2 程为 + =1.若焦点在 y 轴上,则 b=4,由 e= ,可得 = ,∴c = a .又 a -c =b ,∴ a =16,a =64.∴椭圆方程为 + 16 4 2 a 2 4 4 16 =1.] 64 1 2 2 18. 1 [提示: 由题设知|PF1|-|PF2|=4①,|PF1| +|PF2| =20②,得|PF1|?|PF2|=2.∴△F1PF2 的面积 S= |PF1|?|PF2|= 2 1.] 19. 解:易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y=k(x+2)①,椭圆方程为 2+

x

2

y2

y2

x2 y2 2 2 =1(a >4)②.因为直线 l 与圆 x + 2 a a -4

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 =1,解得 k = .将①代入②整理,得(a k +a -4)x +4a k x+4a k -a +4a =0,而 k = ,即(a -3)x + 3 3 k +1 3 a2 a2 4 a2x- a4+4a2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,由题意有 2 =2? (a2>3),求得 a2=8.经检验,此时Δ >0.故所 4 a -3 a -3 5

y2=1 相切, 故

|2k|
2

求的椭圆方程为 + =1. 8 4 2 2 20. 解:设直线上任意一点坐标为(x,y),弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2 在抛物线上,∴y1 =6x1,y2 =6x2.两式相 y1-y2 6 减得 (y1+ y2)(y1 -y2)= 6(x1 -x2).∵y1+ y2=2,∴k = = =3.∴直线的方程为 y -1= 3(x -4),即 3x -y- 11= 0. 由 x1-x2 y1+y2

x2 y2

? ?y =6x, 2 ? 得 y -2y-22=0,∴y1+y2=2,y1?y2=-22.∴|P1P2|= ? ?y=3x-11,

2

1 2 230 2 1+ ? 2 -4?(-22)= . 9 3
2

冲刺 A 级 |PF2| (|PF1|+2a) 4a 4a 21. C [提示: = =|PF1|+ +4a≥8a,当|PF1|= ,即|PF1|=2a 时取等号.又∵|PF1|≥c-a, |PF1| |PF1| |PF1| |PF1| ∴2a≥c-a.∴c≤3a,即 e≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3].]
2 2 2

22. C [提示: 如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8 2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是:以 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为 - 9 16 1 (x>3).]

- =

x

2

y

2

23. 2 [提示:如图,设双曲线一个焦点为 F,则△AOF 中,|OA|=a,|OF|=c,∠FOA=60°.∴c =2a,∴e= =2.]

c a

(第 22 题) (第 23 题)

24. 2 2

[提示: 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),F 为抛物线焦点,由?

?y=-(x-1), ? ?y =4x, ?
2

得 y +4y-4=0,

2

1 2 2 ∴|y1-y2|= (y1+y2) -4y1y2= (-4) +4?4=4 2.∴S△POQ= |OF||y1-y2|=2 2.] 2 c 1 x2 y2 2 2 2 25. 解:(1)由题意可知 c=1, = ,所以 a=2.所以 b =a -c =3.所以椭圆 C 的标准方程为 + =1,左顶点 P 的坐标是(- a 2 4 3 2 2 2 2 2,0). (2)根据题意可设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),可得(3m +4)y +6my-9=0.所以 Δ =36m +36(3m 2 6m 9 1 1 3 (y2+y1) -4y2y1 = + 4)>0 , y1 + y2 = - 2 , y1y2 = - 2 . 所 以 △PAB 的 面 积 S = |PF1| |y2-y1| = ? 3? 3m +4 3m +4 2 2 2

m ? 36 18 m +1 36 m +1 2 1 ?- 6 ? 3m2+4? +3m2+4= 3m2+4 .因为△PAB 的面积为13,所以 3m2+4 =13.令 t= m2+1,解得 t1=6(舍去),t2=2.所以 m=± ? ?
3.所以直线 AB 的方程为 x+ 3y-1=0 或 x- 3y-1=0.

2

2

2


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