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2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学试题卷


绝密★启用前

试卷类型: B

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学试题卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 若集合 ? ? ??1,1? , ? ? ??2,1, 0? ,则 ? A.?0, ?

1? B.?0?
2

? ?(

) C.?1? D.??1,1?

2. 已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? ( A. ?2 B. 2

) C. ?2i ) C . y ? 2x ? D. 2i

3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A . y ? x ? sin x
2 2

B . y ? x ? cos x

1 2x

D. y ? x ? sin 2 x

?x ? 2 y ? 2 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A. 10 B. 8 C. 5



D. 2

5. 设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 a ? 2 ,c ? 2 3 ,cos ? ? 且 b ? c ,则 b ? ( A. 3 ) B.2 C.2 2

3 , 2

D.3

6. 若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线, 则下列命题正确的是( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 的概率为( A. 0.4 ) B. 0.6

7. 已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品 C. 0.8 D.1

-1-

8.已知椭圆 A. 9

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3

) D. 2

9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x?y 中 , 已 知 四 边 形 ??CD 是 平 行 四 边 形 , ?? ? ?1, ?2 ? ,

?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A.2 . 10. 若集合 ? ?

) B.3 C.4 D.5

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的元
素个数,则

card ? ? ? ? card ? F ? ? (
A . 50 D. 200

) B . 100 C . 150

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题)
11. 不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 . (用区间表示)

12. 已知样本数据 x1 ,x2 ,??? ,xn 的均值 x ? 5 , 则样本数据 2 x1 ? 1 ,2 x2 ? 1 ,??? ,2 xn ? 1 的均值为 . .

13. 若三个正数 a , b , c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则 b ?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数方程 为?
2 ? ?x ? t

? ? y ? 2 2t

( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角坐标为



15. (几何证明选讲选做题)如图 1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线上一点,过 ? 作 圆 ? 的切线,切点为 C ,过 ? 作直线 ?C 的垂线,垂足为 D .若 ?? ? 4 , C? ? 2 3 ,则

-2-

?D ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. )
16、 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 .

? 的值; 4? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 ?
17、 (本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180 ? ,

?1? 求 tan ? ?? ?

??

?180, 200 ? , ? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率分
布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的四组用户中,用 分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?
18、 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 .

?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.

-3-

19、 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,n ? ? ? . 已知 a1 ? 1 ,a2 ? 且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .

3 5 ,a3 ? , 2 4

?1? 求 a4 的值;

? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?

? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

-4-


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