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浙江省温州市2015届高三下学期第三次适应性测试数学(理)试题


2015 年温州市高三第三次适应性测试 数学(理科)试题
2015.5
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱

体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ? 4 ?R 3 其中 R 表示球的半径

1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
球的表面积公式: S ? 4? R 2

3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
2 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ,则 ? p 是( 1.已知命题 P:? x0∈R, x0

▲ )

A.? x0∈R, x ? 2 x0 ? 2 ? 0
2 0

B.? x∈R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 D . ? x∈ R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ▲ ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ▲ ) B.若 m⊥α,n⊥α,则 m//n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α//β

C.? x∈R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 A.若 m⊥α,m⊥β,则 α//β C.若 α//γ,β//γ,则 α//β 4.要得到函数 y ? 3sin(2 x ? A.向左平行移动

2.已知 a,b 是实数,则“a>|b|”是“a2>b2”的(

3.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 为三个不同的平面,则下列命题中错误 的是( ..

?
3

) 的图象,只需将 y ? 3sin 2 x 图象上所有的点( ▲ )

? 个单位长度 3 ? C.向左平行移动 个单位长度 6
A. 2 3
2 2

? 个单位长度 3 ? D.向右平行移动 个单位长度 6
B.向右平行移动 ▲ ) C. 3 D. 1

5.已知向量 a,b,c,满足|a|=|b|=|a?b|=|a+b?c|=1,记|c|的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=( B. 2

6.已知双曲线 C:

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点为 F1,F2,若双曲线 C 上存在一点 P, 2 a b 1 使得△ PF1F2 为等腰三角形,且 cos∠F1PF2= ,则双曲线 C 的离心率为( ▲ ) 4 4 3 A. B. C.2 D. 3 3 2

7.如图,正三棱柱 ABC?A1B1C1(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的 各条棱长均相等, D 为 AA1 的中点. M, N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点) ,且满足 BM=C1N.当 M,N 运动时,下列结论 中不正确 的是( ... ▲ )

A1 B1

C1

N D

A.平面 DMN⊥平面 BCC1B1 B.三棱锥 A1?DMN 的体积为定值 C.△ DMN 可能为直角三角形
A

M

C

D.平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角范围为 (0, ] 4 8.若对任意 x ? [1, 2] ,不等式 4 ? a ? 2
x ?x

?

B 第 7 题图

? 1 ? a ? 0(a ? R) 恒成立,
2

则 a 的取值范围是(

▲ ) B. a ?

5 或 a ? ?2 2 17 C. a ? 或 a ? ?2 4
A. a ?

17 或 a ? ?4 4 5 D. a ? 或 a ? ?4 2

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分。 9.设全集 U ? R ,集合 A={x|x2?4x?5=0},B={x|x2=1},则 A ? B ? ▲ , A? B ? ▲ ,

A?( C ? UB )



.
2 5 正视图 5 2

10.已知等差数列{an},Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满 足 a4=10,S6=S3+39,则数列{an}的首项 a1= 通项 an= 面积是 ▲ ▲
2





侧视图

.
4

11.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的表 cm ,体积为 ▲ cm . .
3

3

? 1 12.已知 sin ? ? cos ? ? ,0≤α≤π,则 sin2α= ▲ ,sin(2α? )= ▲ 4 5

俯视图

第 11 题图

?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 | x ? 2 y ? 1| 的取值范围是 ?3x ? y ? 3 ? 0 ?
14.已知正数 x,y 满足 xy+x+2y=6,则 xy 的最大值为 15.在平面内,|AB|=4,P,Q 满足 kAP?kBP= ? 为 2,则|PQ|的取值范围是 ▲ . ▲ .



.

uuu r uuu r 1 , kAQ?kBQ=?1,且对任意 λ∈R, ? AP ? AB 的最小值 9

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 15 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 对应的三边长分别为 a,b,c,

且满足 c(acosB? (Ⅰ)求角 A;

1 b)=a2?b2. 2

(Ⅱ)若 a= 3 ,求 b+c 的取值范围.

17. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ADB=90° ,AB=2AD. (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD=AD=1, PE ? 2EB ,求二面角 P?AD?E 的余弦值.

uur

uur

18. (本小题满分 15 分)如图,在△ ABC 中, B(?1,0), C (1,0) ,CD、BE 分别是△ ABC 的两条中线且相交 于点 G,且|CD|+|BE|=6. (Ⅰ)求点 G 的轨迹 Γ 的 方程; (Ⅱ)直线 l : y ? x ? 1 与轨迹 Γ 相 交于 M、N 两点, P 为轨迹 Γ 的动点,求△ PMN 面积的最大值.

第 18 题图

19. (本小题满分 15 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的一个不动点.设 函数 f(x)=ax +bx+1(a>0).
2

(Ⅰ)当 a=2,b=?2 时,求 f(x)的不动点; (Ⅱ)若 f(x)有两个相异的不动点 x1,x2, (ⅰ)当 x1<1<x2 时,设 f(x)的对称轴为直线 x=m,求证: m ? (ⅱ)若|x1|<2 且|x1?x2|=2,求实数 b 的取值范围.

1 ; 2

20. (本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 3Sn=an?1. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

an 1 ,数列{bn}前 n 项的和为 Tn,证明:Tn< . 3 1 ? an

2

2015 年温州市部分学校高三第三次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
要求。

2015.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目

题号 答案

1 C

2 B

3 D

4 C

5 A

6 C

7 C

8 B

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分。
9.{?1},{?1,1,5},{5} 10. 1;3n ? 2 11. 14 ? 2

13;4

12.

24 31 2 ; 25 50

13. [0,5]

14.2

15. ? 2 ?

? ?

2 3 2 3? ,2 ? ? 3 3 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解析: (Ⅰ)? c( a cos B ?

1 b) ? a 2 ? b 2 2 ? a2 ? c2 ? b2 ? bc ? 2a2 ? 2b2 , a2 ? b2 ? c2 ? bc ………………………………………3 分
[:.]

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A …………………………………………………………………4 分 1 ? cos A ? …………………………………………………………………………………6 分 2 ? ? A ? ………………………………………………………………………………………6 分 3 a b c ? ? ? 2 ,………………………………8 分 (Ⅱ)解法 1 由正弦定理得 sin A sin B sin C
∴ b=2sinB,c=2sinC. ∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+ 3 cosB = 2 3 sin( B ? ) ……………………………………………………………………………11 分 6 ∵ B∈(0,

?

? ?1 ? 2? ? ? 5? ),∴ B ? ? ( , ) , sin( B ? ) ? ? ,1? ………………………………14 分 3 6 6 6 6 ?2 ?

所以 b+c ? ( 3, 2 3] .…………………………………………………………………………15 分 (Ⅱ)解法 2:

? a ? 3 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,3 ? b2 ? c2 ? bc ……………………………………7 分
3 ? ? b ? c ? ? 3bc ……………………………………………………………………………9 分
2

?b?c? ? bc ? ? ? ? 2 ?

2

?b?c? 3 ? ?b ? c ? ? 3? ? ,…………………………………………………………………12 分 ? 2 ?
2

2

?b ? c ?

2

? 12 ,即 b ? c ? 2 3 ……………………………………………………………13 分

?b ? c ? a ? 3
? b+c ? ( 3, 2 3] .. …………………………………………………………………………15 分 17 解析: (Ⅰ)? PD ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD ? PD ? BD …………………………………………………………………………………2 分 ? ?ADB ? 90? ? AD ? BD …………………………………………………………………………………3 分 ? AD ? PD ? D ? BD ? 平面 PAD……………………………………………………………………………5 分 ? BD ? 平面 PBD, ? 平面PAD ? 平面PBD …………………………………………………………………7 分 (Ⅰ)解法 1? AD ? 平面 PDB ,? AD ? DE 即 ?PDE 为所求的角………………………………………………………………………9 分 AD ? PD ? 1, AB ? 2, DB ? 3, PB ? 2 , ?PBD ? 300 ………………………………10 分 uur uur 4 2 Q PE ? 2 EB,? PE ? , EB ? 3 3 2 DE ? BE 2 ? BD2 ? 2BE ? BD cos ?PBD 在 ? BDE 中,由余弦定理得 4 2 3 13 13 …………………………………………13 分 DE 2 ? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? ? , DE ? 9 3 2 9 3 PD 2 ? DE 2 ? PE 2 13 在 ? PDE 中, ?PDE ? ……………………………………15 分 ? 2 PD ? PE 13
解法 2:以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系

D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0), B(0, 3,0) , uur uur 2 3 1 , ) ………………………9 分 设 P(0,x,y), Q PE ? 2EB , E (0, 3 3 u r ? BD ? 平面 PAD,所以平面 PAD 的一个法向量 n1 ? (0,1,0) ……10 分 u u r 设平面 ADE 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z) u u r uuu r ?2 3 1 ? y? z ?0 ?n2 ? DE ? 0 ? x ,? 3 , x ? 0, y ? 1, z ? ?2 3 A u r uuu r ?u 3 n ? DA ? 0 ? ? ? 2 ?x ? 0 u u r 解得 n2 ? (0,1, ?2 3) ………………………………………………13 分
设 ? 为所求的角

Z

P

D E

C

B

y

u r u u r n1 ? n2 13 ……………………………………………15 分 cos ? ? u r u u r ? 13 n1 n2
18.解析: (Ⅰ)设 BE 与 CD 交于 G 点,则 G 为△ABC 的重心,

BG ?

2 2 BE , CG ? CD ……………………………………………………………………2 分 3 3
…………………………………………………4 分

由于|CD|+|BE|=6,则 BG+CG=4,根据椭圆的定义,故 G 是以 B,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(除 x 轴上点外) , a ? 2, c ? 1, b ? 3
2 2

x y ? ? 1( y ? 0) ………………………………………………6 分 4 3 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
即 G 满足的轨迹方程为

? x2 y2 8 8 ?1 ? ? 2 得到 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? ……………………………8 分 3 ?4 7 7 ? y ? x ?1 ? 24 MN ? 1 ? 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ……………………………………………………10 分 7 设直线 y ? x ? b ,当直线与椭圆相切时,切点即为 P,此时三角形面积最大

? x2 y 2 ?1 2 ? ? , 7 x ? 8bx ? 4b 2 ? 12 ? 0 ,因为相切,故 ? ? 0 3 ?4 ?y ? x ?b ? 64b2 ? 28(4b2 ?12) ? 0, b2 ? 7, b ? 7, b ? ? 7 (舍) ……………………………12 分
x??
?

4 7 3 7 4 7 3 7 ,y? , P(? , ) 7 7 7 7
……………………………………………………14 分

h?

4 7 3 7 ? ?1 14 ? 2 7 7 ? 2 2

Smax ?

1 1 24 14 ? 2 6( 14 ? 2) …………………………………15 分 MN ? h ? ? ? ? 2 2 7 2 7

14 ? 2 2 2 2 2 19. (本题 14 分)解: (Ⅰ)依题意: f ( x) ? 2x ? 2x ? 1 ? x ,即 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , 1 1 解得 x ? 或 1,即 f ( x ) 的不动点为 和 1 ; …………………………5 分 2 2
备注:也可以用两平行线距离公式 d ?

7 ?1

?

b (Ⅱ) (ⅰ) 由 f (x)表达式得 m =- , 2a ∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0, 由 x1,x2 是方程 f (x) = x 的两相异根,且 x1 <1 < x2,

b b 1 1 ∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? - > 1 ? - > ,即 m > . …………9 分 a 2a 2 2 (ⅱ)△= (b-1) 2-4a > 0 ? (b-1) 2 > 4a, x1 + x2 = 1- b 1 ,x1x2 = , a a

1-b 2 4 ∴ | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = ( ) - = 2 2, a a ∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*) 又 | x1-x2 | = 2, ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 1-b 的距离都为 1, 2a

……………11 分

要使 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2), 则 g(x) 对称轴 x = ∴ -3 < 1-b ? (-3,3), 2a ……………13 分

b-1 1 < 3 ? a > | b-1 |, 2a 6 2 1 | b-1 | + (b-1) 2, 3 9

把代入 (*) 得:(b-1) 2 > 解得:b <

1 7 或 b> , 4 4 1 7 ∴ b 的取值范围是:(-?, )∪( ,+?). ……………………………………15 分 4 4 1 20.解: (Ⅰ)由 3Sn=an?1,得 a1=S1=? ,……………………………………………2 分 2 当 n≥2 时,3Sn-1=an-1?1, 1 两式相减得 3Sn?3Sn-1=an?an-1,即 an= ? an ?1 ,……………………………………………4 分 2 1 1 所以,数列{an}是首项 a1=? ,公式 q=? 的等比数列, 2 2 1 所以, an ? (? )n ……………………………………………………………………………6 分 2 1 1 n 1 1 .…………………10 分 4n (Ⅱ)∵ an ? (? ) . b ? ? ? n 2 1 n 4 n ? (?2) n 3 ? 2 n 1 ? (? ) 2 1 1 (1 ? 2 ) 1 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ?bn ? ? ??? ? ?2 2 n 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1? 2 ………………………………………………………………………………………………14 分 命题教师 吴云浪 徐登群 郑志远 鲍凡克 凌爱民 叶事一
[:.]

-END-

-END-

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