精品题库试题
理数 1. (2014 大纲全国,3,5 分)设 a=sin 33° ,b=cos 55° ,c=tan 35° ,则( A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b [答案] 1.C [解析] 1.∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. )
又∵c=tan 35°=
>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选 C.
2.(2014 课表全国Ⅰ ,8,5 分)设 α∈
,β∈
,且 tan α=
,则(
)
A.3α-β= [答案] 2.C
B.3α+β=
C.2α-β=
D.2α+β=
[解析] 2.由 tan α=
得
=
,即 sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以
sin(α-β)=cos α,又 cos α=sin
,所以 sin(α-β)=sin
,又因为
α∈
,β∈
,所以-
<α-β<
,0<
-α<
,因此 α-β=
-α,所以 2α-β=
,故选 C.
3.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,3) “ 的( )
” 是“
”
[来源:Zxxk.Com]
[答案] 3. A
[解析] 3. 当
时, 可得
, 所以“
”
是“
” 的充分条件; 当
时, 可得
时,
或 必要条 件,故选 A.
, 推不出
是, 故“
” 是“
” 的不
4. (2014 重庆七校联盟, 6) 向量
,
, 且
, 则锐角 α 的余弦值为 (
)
A.
B.
C.
D. [答案] 4. D
[解析] 4. 依题意,当
,则
,即 )
,
为锐角,
.
5 .(2013 重庆,9,5 分)4cos 50° -tan 40° =(
A. [答案] 5.C
B.
C.
D. 2
-1
[解析] 5.4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -
=
=
=
=
=
=
, 故选 C.
6.(2013 江西,10,5 分)如图, 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1, l2 之 间, l∥l1, l 与半圆相交于 F, G 两点, 与三角形 ABC 两边相交于 E, D 两点. 设弧 的长为 x(0< x< π), y=EB+BC+CD, 若 l 从 l1 平行移动到 l2, 则函数 y=f(x) 的图象大致是( )
[答案] 6.D
[解析] 6.如图, 当
长为 x 时,
长为 , 又半径为 1, 此时∠GOH= , HI=1-cos ,
∴CD=BE=
= ·
, 又 BC= ,
∴y=EB+BC+CD=
+ =2
-
· cos .
显然 函数图象非直线型, 排除 A; 又 f ' (x) =
sin , 当 0< x< π 时, f ' (x) > 0, f(x) 在(0, π)
上单调递增, 排除 B; f ' (0) =0, 排除 C. 故选 D.
7.(2013 湖北,5,5 分)已知 0< θ< , 则双曲线 C1: ( ) B. 虚轴长相等
-
=1 与 C2:
-
=1 的
A. 实轴长相等 [答案] 7.D
C. 焦距相等
D. 离心率相等
[解析] 7.θ∈
时, 0< sin θ< cos θ< 1,
0< tan θ< 1, 故实轴长, 虚轴长均不相等.
焦距分别为 2 和 2
=2
=2tan θ< 2.
离心率 e1, e2 满足 -1=
=tan2θ,
-1=
=tan2θ, 故 e1=e2.
8. (2013 陕西, 7,5 分) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
[答案] 8.B [解析] 8.由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
得 sin(B+C) =sin2A, ∴sin A=1, 即 A= . 故选 B.
9. (2014 陕西,13,5 分)设 0<θ<
,向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若 a∥b,则 tan θ=________.
[答案] 9.
[解析] 9.∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<
,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos
θ,∴tan θ=
.
10. (2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题, 13) 若 的最大值为 .
, 则
[答案] 10. [解析] 10.
(当且仅当
时等号成立). 在直线 上,则
11. (2 014 江西七校高三上学期第一次联考, 12) 若点 的值等于 .
[答案] 11. [解析] 11. 依题意, ,即 ,
又
.
12.(2013 大纲,13,5 分)已知 α 是第三象限角, sin α=- , 则 cot α=
.
[答案] 12.2
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
[解析] 12.∵α 是第三象限角, ∴cos α=-
=-
, cot α=
=
=2
.
13. (2014 广东,16,12 分)已知函数 f(x)=Asin (1)求 A 的值;
,x∈R,且 f
=
.
(2)若 f(θ)+f(-θ)= [答案] 13.查看解析
,θ∈
,求 f
.
[来源:学科网 ZXXK]
[解析] 13.(1)f
=Asin
=
,
∴A·
=
,A=
.
(2)f(θ)+f(-θ)=
sin
+
sin
=
,
∴
=
,
∴
cos θ=
,cos θ=
,
又 θ∈
,∴sin θ=
=
,
∴f
=
sin(π-θ)=
sin θ=
.
14.(2014 江苏,15,14 分)已知 α∈
,sin α=
.
(1)求 sin
的值;
(2)求 cos [答案] 14.查看解析
的值.
[解析] 14.(1)因为 α∈
,sin α=
,
所以 cos α=-
=-
.
故 sin
=sin
cos α+cos
sin α
=
×
+
×
=-
.
(2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2×
×
=-
,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×
=
,
[来源:Zxxk.Com]
所以 cos
=cos
cos 2α+sin
sin 2α
=
×
+
×
=-
. 的始边与 轴的非负半轴重合,
15. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,16) 如图,角
终边与单位圆交于点 ),
,将射线 OA 按逆时针方向旋转 .
后与单位圆交于点
(Ⅰ )若角
为锐角,求
的取值范围;
(Ⅱ )比较
与
的大小.
[答案] 15.查看解析
[解析] 15. (I)如图,在
中,
,由三角函数的定义可知
,
,
由于角
为锐角,所以
,所以
,
所以
,即
. (6 分)
(Ⅱ )因为
,
,
,函数
在
上单调递减,
所以
.
(12 分) , .
16. (2014 江苏苏北四市 高三期末统考, 15) 已知向量
(Ⅰ )若
,求
的值;
(Ⅱ )若
,
,求
的值.
[答案] 16.查看解析 [解析] 16. 解析 (Ⅰ )由 可知, ,所以 ,
所以 (Ⅱ )由
. (6 分) 可得,
, 即 , ① (10 分)
又
,且
② ,由① ② 可解得,
,
所以
. (14 分)
17. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 在△ABC 中,角 A,B,C,所对的边分别为 a,
b,c,且
,
.
(Ⅰ )求 sinB 的值; ,求△ABC 的面积.
(Ⅱ )若 [答案] 17.查看解析
[解析] 17.解::(Ⅰ )因为
,
, 所以 cosA=
,(2 分)
由已知得
,所以 sinB=sin
=
. (5 分)
(Ⅱ )由(Ⅰ )知
,所以 sinC=
,由正弦定理得
,(8 分)
又因为
,所以
,a=
, (10 分)
所以
. (12 分)
18. (2013 重庆, 20,12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且 a2+b2+ (Ⅰ ) 求 C;
ab=c2.
(Ⅱ ) 设 cos Acos B=
,
= , 求 tan α 的值.
[答案] 18.(Ⅰ ) 因为 a2+b2+
ab=c2,
由余弦定理有 cos C=
=
=- ,
故 C= .
(Ⅱ ) 由题意得
= ,
因此(tan αsin A-cos A) (tan αsin B-cos B) = ,
tan2αsin As in B-tan α(sin Acos B+cos Asin B) +cos Acos B= ,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B) +cos Acos B= . ①
因为 C= , A+B= , 所以 sin(A+B) = ,
因为 cos(A+B) =cos Acos B-sin Asin B, 即 由① 得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4. 18.
-sin Asin B= , 解得 sin Asin B=
- = .
19.(2013 广东,16,12 分)已知函数 f(x) =
cos
, x∈R.
(1) 求 f
的值;
(2) 若 cos θ= , θ∈
, 求f
.
[答案] 19.(Ⅰ )f
=
cos
=
cos
[来源:Zxxk.Com]
=
cos =1;
(Ⅱ )f
=
cos
=
cos
=cos 2θ-sin 2θ.
因为 cos θ= , θ∈
, 所以 sin θ=- ,
所以 sin 2θ=2sin θcos θ=- ,
cos 2θ=cos2θ-sin2θ=- ,
所以 f 19.
=cos 2θ-sin 2θ=- -
= .
20.(2013 江西,16,12 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cos C+(cos Asin A) cos B=0.
(1) 求角 B 的大小; (2) 若 a+c=1, 求 b 的取值范围. [答案] 20.(1) 由已知得
-cos(A+B) +cos Acos B-
sin Acos B=0,
即有 sin Asin B-
sin Acos B=0,
因为 sin A≠0, 所以 sin B-
cos B=0,
又 cos B≠0, 所以 tan B=
,
又 0< B< π, 所以 B= . (2) 由余弦定理, 有 b2=a2+c2-2accos B.
因为 a+c=1, cos B= , 有 b2=3
+.
又 0< a< 1, 于是有 ≤b2< 1, 即有 ≤b< 1. 20. 21.(2013 湖北,17,12 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c. 已知 cos 2A-3cos(B+C) =1. (Ⅰ ) 求角 A 的大小;
(Ⅱ ) 若△ABC 的面积 S=5
, b=5, 求 sin Bsin C 的值.
[答案] 21.(Ⅰ ) 由 cos 2A-3cos(B+C) =1, 得 2cos2A+3cos A-2=0,
即(2cos A-1) (cos A+2) =0, 解得 cos A= 或 cos A= -2(舍去).
因为 0< A< π, 所以 A= .
(Ⅱ ) 由 S= bcsin A= bc· = bc=5
, 得 bc=20. 又 b=5, 知 c=4.
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a=
.
又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= sin2A= × = .
21.
22. (2013 湖南,17,12 分)已知函数 f(x) =sin
+cos
, g(x) =2sin 2 .
(Ⅰ ) 若 α 是第一象限角, 且 f(α) =
, 求 g(α) 的值;
(Ⅱ ) 求使 f(x) ≥g(x) 成立的 x 的取值集合.
[答案] 22.f(x) =sin
+cos
= sin x- cos x+ cos x+ sin x
=
sin x,
g(x) =2sin2 =1-cos x.
(Ⅰ ) 由 f(α) =
得 sin α= . 又 α 是第一象限角, 所以 cos α> 0. 从而 g(α) =1-cos
α=1-
=1- = .
(Ⅱ ) f(x) ≥g(x) 等价于
sin x≥1-cos x, 即
sin x+cos x≥1. 于是 sin
≥.
从而 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ , k∈Z, 即 2kπ≤x≤2kπ+ , k∈Z.
故使 f(x) ≥g(x) 成立的 x 的取值集合为 x 2kπ≤ x≤2kπ+ , k∈Z . 22.