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4 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式


精品题库试题

理数 1. (2014 大纲全国,3,5 分)设 a=sin 33° ,b=cos 55° ,c=tan 35° ,则( A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b [答案] 1.C [解析] 1.∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. )<

br />
又∵c=tan 35°=

>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选 C.

2.(2014 课表全国Ⅰ ,8,5 分)设 α∈

,β∈

,且 tan α=

,则(

)

A.3α-β= [答案] 2.C

B.3α+β=

C.2α-β=

D.2α+β=

[解析] 2.由 tan α=



=

,即 sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以

sin(α-β)=cos α,又 cos α=sin

,所以 sin(α-β)=sin

,又因为

α∈

,β∈

,所以-

<α-β<

,0<

-α<

,因此 α-β=

-α,所以 2α-β=

,故选 C.

3.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,3) “ 的( )

” 是“



[来源:Zxxk.Com]

[答案] 3. A

[解析] 3. 当

时, 可得

, 所以“



是“

” 的充分条件; 当

时, 可得

时,

或 必要条 件,故选 A.

, 推不出

是, 故“

” 是“

” 的不

4. (2014 重庆七校联盟, 6) 向量



, 且

, 则锐角 α 的余弦值为 (



A.

B.

C.

D. [答案] 4. D

[解析] 4. 依题意,当

,则

,即 )



为锐角,

.

5 .(2013 重庆,9,5 分)4cos 50° -tan 40° =(

A. [答案] 5.C

B.

C.

D. 2

-1

[解析] 5.4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -

=

=

=

=

=

=

, 故选 C.

6.(2013 江西,10,5 分)如图, 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1, l2 之 间, l∥l1, l 与半圆相交于 F, G 两点, 与三角形 ABC 两边相交于 E, D 两点. 设弧 的长为 x(0< x< π), y=EB+BC+CD, 若 l 从 l1 平行移动到 l2, 则函数 y=f(x) 的图象大致是( )

[答案] 6.D

[解析] 6.如图, 当

长为 x 时,

长为 , 又半径为 1, 此时∠GOH= , HI=1-cos ,

∴CD=BE=

= ·

, 又 BC= ,

∴y=EB+BC+CD=

+ =2

-

· cos .

显然 函数图象非直线型, 排除 A; 又 f ' (x) =

sin , 当 0< x< π 时, f ' (x) > 0, f(x) 在(0, π)

上单调递增, 排除 B; f ' (0) =0, 排除 C. 故选 D.

7.(2013 湖北,5,5 分)已知 0< θ< , 则双曲线 C1: ( ) B. 虚轴长相等

-

=1 与 C2:

-

=1 的

A. 实轴长相等 [答案] 7.D

C. 焦距相等

D. 离心率相等

[解析] 7.θ∈

时, 0< sin θ< cos θ< 1,

0< tan θ< 1, 故实轴长, 虚轴长均不相等.

焦距分别为 2 和 2

=2

=2tan θ< 2.

离心率 e1, e2 满足 -1=

=tan2θ,

-1=

=tan2θ, 故 e1=e2.

8. (2013 陕西, 7,5 分) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

[答案] 8.B [解析] 8.由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,

得 sin(B+C) =sin2A, ∴sin A=1, 即 A= . 故选 B.

9. (2014 陕西,13,5 分)设 0<θ<

,向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若 a∥b,则 tan θ=________.

[答案] 9.

[解析] 9.∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<

,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos

θ,∴tan θ=

.

10. (2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题, 13) 若 的最大值为 .

, 则

[答案] 10. [解析] 10.

(当且仅当

时等号成立). 在直线 上,则

11. (2 014 江西七校高三上学期第一次联考, 12) 若点 的值等于 .

[答案] 11. [解析] 11. 依题意, ,即 ,



.

12.(2013 大纲,13,5 分)已知 α 是第三象限角, sin α=- , 则 cot α=

.

[答案] 12.2

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

[解析] 12.∵α 是第三象限角, ∴cos α=-

=-

, cot α=

=

=2

.

13. (2014 广东,16,12 分)已知函数 f(x)=Asin (1)求 A 的值;

,x∈R,且 f

=

.

(2)若 f(θ)+f(-θ)= [答案] 13.查看解析

,θ∈

,求 f

.

[来源:学科网 ZXXK]

[解析] 13.(1)f

=Asin

=

,

∴A·

=

,A=

.

(2)f(θ)+f(-θ)=

sin

+

sin

=

,



=

,



cos θ=

,cos θ=

,

又 θ∈

,∴sin θ=

=

,

∴f

=

sin(π-θ)=

sin θ=

.

14.(2014 江苏,15,14 分)已知 α∈

,sin α=

.

(1)求 sin

的值;

(2)求 cos [答案] 14.查看解析

的值.

[解析] 14.(1)因为 α∈

,sin α=

,

所以 cos α=-

=-

.

故 sin

=sin

cos α+cos

sin α

=

×

+

×

=-

.

(2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2×

×

=-

,

cos 2α=1-2sin2α=1-2×

=

,

[来源:Zxxk.Com]

所以 cos

=cos

cos 2α+sin

sin 2α

=

×

+

×

=-

. 的始边与 轴的非负半轴重合,

15. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,16) 如图,角

终边与单位圆交于点 ),

,将射线 OA 按逆时针方向旋转 .

后与单位圆交于点

(Ⅰ )若角

为锐角,求

的取值范围;

(Ⅱ )比较



的大小.

[答案] 15.查看解析

[解析] 15. (I)如图,在

中,

,由三角函数的定义可知





由于角

为锐角,所以

,所以



所以

,即

. (6 分)

(Ⅱ )因为





,函数



上单调递减,

所以

.

(12 分) , .

16. (2014 江苏苏北四市 高三期末统考, 15) 已知向量

(Ⅰ )若

,求

的值;

(Ⅱ )若



,求

的值.

[答案] 16.查看解析 [解析] 16. 解析 (Ⅰ )由 可知, ,所以 ,

所以 (Ⅱ )由

. (6 分) 可得,

, 即 , ① (10 分)



,且

② ,由① ② 可解得,



所以

. (14 分)

17. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 在△ABC 中,角 A,B,C,所对的边分别为 a,

b,c,且



.

(Ⅰ )求 sinB 的值; ,求△ABC 的面积.

(Ⅱ )若 [答案] 17.查看解析

[解析] 17.解::(Ⅰ )因为



, 所以 cosA=

,(2 分)

由已知得

,所以 sinB=sin

=

. (5 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ )知

,所以 sinC=

,由正弦定理得

,(8 分)

又因为

,所以

,a=

, (10 分)

所以

. (12 分)

18. (2013 重庆, 20,12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且 a2+b2+ (Ⅰ ) 求 C;

ab=c2.

(Ⅱ ) 设 cos Acos B=

,

= , 求 tan α 的值.

[答案] 18.(Ⅰ ) 因为 a2+b2+

ab=c2,

由余弦定理有 cos C=

=

=- ,

故 C= .

(Ⅱ ) 由题意得

= ,

因此(tan αsin A-cos A) (tan αsin B-cos B) = ,

tan2αsin As in B-tan α(sin Acos B+cos Asin B) +cos Acos B= ,

tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B) +cos Acos B= . ①

因为 C= , A+B= , 所以 sin(A+B) = ,

因为 cos(A+B) =cos Acos B-sin Asin B, 即 由① 得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4. 18.

-sin Asin B= , 解得 sin Asin B=

- = .

19.(2013 广东,16,12 分)已知函数 f(x) =

cos

, x∈R.

(1) 求 f

的值;

(2) 若 cos θ= , θ∈

, 求f

.

[答案] 19.(Ⅰ )f

=

cos

=

cos

[来源:Zxxk.Com]

=

cos =1;

(Ⅱ )f

=

cos

=

cos

=cos 2θ-sin 2θ.

因为 cos θ= , θ∈

, 所以 sin θ=- ,

所以 sin 2θ=2sin θcos θ=- ,

cos 2θ=cos2θ-sin2θ=- ,

所以 f 19.

=cos 2θ-sin 2θ=- -

= .

20.(2013 江西,16,12 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cos C+(cos Asin A) cos B=0.

(1) 求角 B 的大小; (2) 若 a+c=1, 求 b 的取值范围. [答案] 20.(1) 由已知得

-cos(A+B) +cos Acos B-

sin Acos B=0,

即有 sin Asin B-

sin Acos B=0,

因为 sin A≠0, 所以 sin B-

cos B=0,

又 cos B≠0, 所以 tan B=

,

又 0< B< π, 所以 B= . (2) 由余弦定理, 有 b2=a2+c2-2accos B.

因为 a+c=1, cos B= , 有 b2=3

+.

又 0< a< 1, 于是有 ≤b2< 1, 即有 ≤b< 1. 20. 21.(2013 湖北,17,12 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c. 已知 cos 2A-3cos(B+C) =1. (Ⅰ ) 求角 A 的大小;

(Ⅱ ) 若△ABC 的面积 S=5

, b=5, 求 sin Bsin C 的值.

[答案] 21.(Ⅰ ) 由 cos 2A-3cos(B+C) =1, 得 2cos2A+3cos A-2=0,

即(2cos A-1) (cos A+2) =0, 解得 cos A= 或 cos A= -2(舍去).

因为 0< A< π, 所以 A= .

(Ⅱ ) 由 S= bcsin A= bc· = bc=5

, 得 bc=20. 又 b=5, 知 c=4.

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a=

.

又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= sin2A= × = .

21.

22. (2013 湖南,17,12 分)已知函数 f(x) =sin

+cos

, g(x) =2sin 2 .

(Ⅰ ) 若 α 是第一象限角, 且 f(α) =

, 求 g(α) 的值;

(Ⅱ ) 求使 f(x) ≥g(x) 成立的 x 的取值集合.

[答案] 22.f(x) =sin

+cos

= sin x- cos x+ cos x+ sin x

=

sin x,

g(x) =2sin2 =1-cos x.

(Ⅰ ) 由 f(α) =

得 sin α= . 又 α 是第一象限角, 所以 cos α> 0. 从而 g(α) =1-cos

α=1-

=1- = .

(Ⅱ ) f(x) ≥g(x) 等价于

sin x≥1-cos x, 即

sin x+cos x≥1. 于是 sin

≥.

从而 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ , k∈Z, 即 2kπ≤x≤2kπ+ , k∈Z.

故使 f(x) ≥g(x) 成立的 x 的取值集合为 x 2kπ≤ x≤2kπ+ , k∈Z . 22.


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