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重庆南开中学2011届高三下学期4月月考(数学理)


重庆南开中学 2011 届高三下学期 4 月月考 数 学(理)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3.考试结束,监考人员将答题卡收回. 一、选择题:(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)各题答案必须答在机读卡上. 1.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 4, a6 ? 12, 则公差 d= ( A. 1 2.复数 B. 2 C.±2 ) B. -2 C. 2 D. 1 ) D. 8

3?i 的虚部为 ( 1? i

A. -2i

3.设 p : 0 ? x ? 1, q : ( x ? a)[ x ? (a ? 2)] ? 0, 若 p 是 q 的充分而不必要条件,则实数 a 的取 值范围是 ( )

A.[?1, 0]
C.(??,0] ? [1, ??)
4.函数 f ( x) ?

B.(?1, 0) D.(??, ?1) ? (0, ??)
)

3 sin x ? cos x 的单调递增区间是 (

2? ? ? 2k? , ? 2k? )(k ? Z ) 3 3 ? 2? C ? ( ? ? 2 k? , ? 2k? )(k ? Z ) 3 3 A ? (?

5? ? ? 2? , ? k2 k ) ( Z k ? ? 6 6 ? 5? D ? (? ? 2k? , ? 2k? )(k ? Z ) 6 6 B? ( ?

)

? x 2 ? mx ? ( x ? 0) 是 R 上的连续函数,则实数 m 的值为 ( 5.设函数 f ( x)? ? ? x ?log 2 ( x ? 2) ( x ? 0) ?
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

)

6.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加学生座谈会,若这 3 人中既有男生又有女生,则 不同的选法共有 ( )
-1-

A. 60 种

B. 32 种

C.31 种

D. 30 种

( 7.已知向量 a、 满足: | a |? 1, | b |? 2 且 (a ? b)? a ? 2b) ? ?6, 则向量 a 与 b 的夹角是 ( b

??

?

?

? ?

?

?

?

)

A.?
8. P 为椭圆 设 则

B.

? 6

C.

? 3

D.

2? 3

x2 y2 若 ? ? 1 上的一点,F1、F2 是该双曲线的两个焦点, | PF |: | PF2 |? 2 : 1, 9 4

?PF1 F2 的面积为 (
A. 2

) B. 3 C. 4 D. 5

9.设 ?ABC 是边长为 l 的等边三角形, P 是 AB 边上的一点,从 1

P1 作 PQ1 ? BC , 垂足为 Q1 , 从 Q1 作 Q1 R1 ? CA, 垂足为 R1 , 从 1

R1 作 R1 P2 ? BA, 垂足为 P2 如此继续下去,得到点列 P、Q1、 1
R1、P2、Q2、P3 ?, 当 n ? ? 时,点 Pn 的极限位置是点 P ,
则 AP: PB ? ( A.l∶l
4

) B. 2∶1 C.1∶2 D.1∶3

10.设函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0), 且方程 f ( x) ? 0 的根都在区间 [0,4] 上,那么使方程

f ( x) ? 1
有正整数解的实数 a 的取值个数为 ( A.2 B.3 ) C.4 D.无穷个

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结 果,不要过程) 11.若 (1 ? 3 x) 的展开式中,二项式系数之和为 an , 各项系数之和为 bn 则 lim
n
n ??

an ? bn 的值 an ?3bn



. .

12.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(1,4),且 P(? ? 3) ? 0.84, 则 P(?1 ? ? ? 1) ?

-2-

13.若直线 ax ? by ? 1 ? 0(a ? 0, b ? 0) 平分圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 的周长,且不等式
2 2

1 4 ? ?m a b
对满足上述条件的 a,b 都成立,则实数 m 的取值范围是 14.已知球面上有 A、B、C 三点, AB ? 2, ?ACB ? 球的体积是__________. 15.点 F 足椭圆 E : .

?
4

, 球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,直线 l 是椭圆 E 的右准线,A 是椭圆上异于顶点的 a 2 b2 ???? ???? ? 任意一点,直线 AF 交 l 于 M,椭圆 E 在 A 点处的切线交 l 于 N,则 FM ?FN ? ______ .

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说 明、演算步骤或推理过程) 16.(本小题 13 分,(I)小问 6 分,(II)小问 7 分) 已 知 ?ABC 的 角 A 、 、 B 所 C 对 的 边 分 别 是 a、b、c , 设 向 量

?? ? m ? (a, b), n ? (sin A, cos B), ? ? p ? (1,1).
(I)若 m ∥ n, 求角 B 的大小; (Ⅱ)若 m?p ? 4, 边长 c=2,角 C ?

??

?

?? ? ?

?
3

, 求 ?ABC 的面积.

17.(本小题 13 分,(I)小问 6 分,(II)小问 7 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是梯形,

AD // BC, PA ? 2, AB ? 2, PB ? 2 2 ,
PA ? AD, PC ? CD .
(I)求证: AC ? CD ; (Ⅱ)设 E 为 PD 的中点,求二面角 E-AC-D 的大小.

-3-

18.(本小题 l3 分.(I)小问 4 分,(II)小问 6 分,(III)小问 3 分) 某商场在“五一”节期间搞促销活动,决定从 1 种品牌的洗衣机,3 种品牌的电视机和 2 种 品牌的 电冰箱中,选出 3 种品牌的商品进行促销. (I)求选出的 3 种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率; (II)该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案,即在该商品现价的基础上先将价格提 高 200 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获 得口元 奖金,假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 , 设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总 额(单 位:元)为随机变量 ? , 求 ? 的分布列; (III)在(II)的条件下,问该商场若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元?

2 3

19.(本小题 l2 分,(l)小问 6 分,(II)小问 6 分) 函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? ln x(a ? ?1); 2

(I)求 f (x) 的单调区间; (II)若存在 x0 ? (0,??), 使 f ( x0 ) ? 0, 求实数 a 的范围.

-4-

20.(本小题 12 分,(I)小问 5 分,(II)小问 7 分) 已知抛物线 E : y ? x,
2

(I)设点 P 在抛物线 E 上,若点 P 到直线 y ? x ? 1 的距离最小,求点 P 的坐标; (II)对于定点 M ( x0 , y0 ), 直线 l : y0 y ?

x ? x0 2 称为点 M 关于抛物线 y ? x 的伴随直线. 设 2

M (2,1) 的伴随直线为 l ,过 M 作直线交抛物线 E 于 A、B 两点,再过 A、B 分别作 l 的
垂线, 垂足分别为 A1 , B1 , 求证:

| AA1 | | AM | ? . | BB1 | | BM |

21.(本小题 12 分,(I)小问 4 分,(II)小问 8 分) 函数 y ? f (x) 对任意的实数 x 均有 f ( x) ? 2 f ( x ? 1), 当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (I)当 x ?[n, n ? 1) 时 (n? N *), 求 f (x) 的解析式; (II)令 an ? n f (n), 求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an?1 ) ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 (n ? 2)
2

1 ?x. 2

-5-

重庆南开中学高 201 1 级 4 月考试题 数学(理科)答案
1-10.BBAAC 11. ? DDCCB 12. 0.34 13. (??,9] 14. 4 3? 15.0

1 3
?? ?

16.解:(I) m ∥ n ,? a cos B ? b sin A ……2 分

?2R sin A cos B ? 2R sin B sin A ……4 分

?cos B ? sin B ,? B ?
?? ? ?

?
4

…………6 分

(Ⅱ)由 m?p ? 4 得 a ? b ? 4 …………8 分 由余弦定理可知: 4 ? a ? b ? 2ab cos
2 2

?
3

? a 2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

于是 ab ? 4 …………12 分

S?ABC ?
2

1 ab sin C ? 3 …………13 分 2
2 2

17.证明:(I) PA ? AB ? 4 ? 4 ? 8 ? PB ,? PA ? AB 又 PA ? AD ? PA ? 平面 ABCD 因 PC ? CD, 所以 AC ? CD …………6 分 (Ⅱ)令 AD 的中点为 F,AC 的中点为 O, 又 E 为 PD 的中点,则 EF ∥ PA, OF //CD, 由 PA ? 平面 ABCD 知 EF ? 平面 ABCD,

FA ? AC, 则 EF ? AC ,
所以 ?EOF 二面角 E-AC-D 的平面角………9 分 易知 EF ?

1 1 PA ? 1, FO ? CD ? 1 ,则 2 2

tan ?EOF ?

EF ? 1 ? ?EOF ? 45?. OF
二面角 E-AC-D 为 45 的二面角. ………13 分
?

18.解:(I)从总共 6 种型号的商品中选出 3 种型号的商品一共有 C 6 ? 20 种选法.
3

选出的 3 种型号的商品中没有电冰箱的选法有 C4 ? 4 种,
3

-6-

所以选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率为:

P ? 1?

3 C4 4 4 ? ? ………4 分 3 ? 1? C6 20 5

(Ⅱ)设中奖的次数为? ,则? 服从 ? ~ B(3, ),

2 3

? 的分布列为: ?
P
0 a 2a 3a

1 27

6 27

12 27

8 27
………10分

(Ⅲ)由? ~ B(3, ) ,? E? ? 2, 又 ? ? a? ,? E? ? 2a 要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数 额, 因此 2a ? 200 ,?a ? 100. 故每次中奖奖金要低于 100 元,才能使促销方案对商场有利.………13 分 19.解:函数定义域为 (0,??), f ?( x) ? ax ? 1 ? a ? (I)当 a ? 0 时,

2 3

1 (ax ? 1)( x ? 1) ………2 分 ? x x

x
f ?( x)

(0,1)

1

(1, ??)

?

0

?

f (x) 在(0,1)上递减, (1, ??) 上递增………5 分
当 ? 1 ? a ? 0 时, f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 1) ?a ? 1? ? ? x ? ? ( x ? 1) x x ? a?
1

x
f ?( x)

(0,1)

1 (1, ? ) a
?

?

1 a

1 (? , ??) a
?

?

0

0

即 f (x) 在(0,1), (?

1 1 , ??) 递减,在 (1,? ) 上递增………8 分 a a

(Ⅱ)存在 x0 ? (0,??), 使 f ( x0 ) ? 0, 等价于 f ( x) min ? 0

-7-

a ?1? a ? 0 ? a ? 2 2 1 当-l<a<0 时,当 x ? ?? 时, ax2 ? (1 ? a) x ? ??, ? ln x ? ??, 2
当 a ? 0 时, f ( x)min ? f (1) ? 则 f ( x) ? ??, 显然存在 x0 , 使 f ( x0 ) ? 0 ………11 分 综上, a ? (?1,0) ? (2, ??) ………12 分 20.解:(I)法 1:令 P( x, y ), 则 d ? 当y?

| x ? y ? 1 | | y 2 ? y ?1| 1 1 3 3 ? ? | ( y ? ) 2 ? |? 2 4 4 2 2 2 2

1 1 1 时,d 取最小值,此时, P ( , ) ………5 分 2 4 2

法 2:用平行切线法 (Ⅱ)M(2,1)的伴随直线为 l:x ? 2 y ? 2 ? 0, 容易知抛物线在 l 下方.

y 2 ? 2 y1 ? 2 | AA1 | x1 ? 2 y1 ? 2 ? 1 , ………7 分 ? 2 | BB1 | x2 ? 2 y 2 ? 2 y2 ? 2 y2 ? 2

| MA | y1 ? 1 ? ………8 分 | MB | 1 ? y2
显然 AB 不垂直 y 轴, 设方程为: m( y ? 1) ? x ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y2 ? x ? y 2 ? my ? m ? 2 ? 0, 由? ? x ? my ? 2 ? m
且 y1 ? y 2 ? m, y1 y2 ? m ? 2 ………9 分 要证

y 2 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 1 | AA1 | | AM | ? 1 ? ? 2 y2 ? 2 y2 ? 2 1 ? y2 | BB1 | | BM |

? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y1 ? y 2 ? 2) ? 4 ? 0 ? m 2 ? 4m ? (m ? 2) 2 ? 4 ? 0,
显然成立. 从而得证.………12 分 21.解:(I)由 f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? f ( x) ?

1 f ( x ? 1), 当 x ?[n, n ? 1) 时, x ? n ? [0,1), 2 f ( x ? 1) f ( x ? 2) f ( x ? n ) 1 ? 2 x ? 2n 则 f ( x) ? ? ??? ? 2 2n 2 n?1 2 2

-8-

f ( x) ?
(Ⅱ) f (n) ?

1 ? 2 x ? 2n ( x ?[n, n ? 1), n ? N *) ………4 分 2 n?1
1 1 n2 1 an ? n 2 f (n) ? n?1 , ? a1 ? , a2 ? , 2 4 2 2n?1
n ?1
0 1 2 3 ? n2 ? (1 ? 1)n ?1 ? n2 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? n 2

因 n ? 2, 2

? n?

n(n 2 ? 3n ? 8) (n ? 1)n (n ? 1)n(n ? 1) ?n 2 ? ?0 ? 6 2 6

即 0 ? an ? 1 (也可用导数求证)

3 3 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) L(1 ? an ) ? (1 ? a1 ) ?1 ? , a1 ? a 2 ? L ? a n ? a1 ? a 2 ? , 4 4
即 (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an ………8 分(也可用数学归纳法求证) 下面证明: S ? a1 ? a2 ? L ? an ? 3 成立 法 1: S ?

12 22 32 n2 12 22 32 n2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 22 2 2 2 2 2 2 2
1 3 5 7 2n ? 3 2 n ? 1 n 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n ? n ?1 ………① 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 2n ? 1 n 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ………② 2 21 2 2 2

两式相减得: S ?

2S ? 1 ?

两式再相减: S ? 1 ?

2 2 2 2 2n ? 1 n 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2

则 S ? 3?

8 2 n?1

?

2n ? 1 n 2 ? n?1 ? 3 ………12 分 2 2n
2 n

法 2:(母函数法)令 g ( x) ? x ? x ? ? ? x ?

x n ?1 ? x x ?1

g ?( x) ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nx n?1 ?

nx n ?1 ? (n ? 1) x n ? 1 ( x ? 1) 2

F ( x) ? xg ?( x) ? x ? 2 x2 ? 3x3 ? ? ? nxn ? F ?( x) ? 1 ? 22 x ? 32 x2 ? ? ? n2 xn?1

nx n ? 2 ? (n ? 1) x n ?1 ? x ( x ? 1) 2

-9-

?

[n(n ? 2) x n ?1 ? (n ? 1) 2 x n ? 1]( x ? 1) ? 2[nx n ? 2 ? (n ? 1) x n ?1 ? x] ( x ? 1)3

22 32 n2 1 F ?( ) ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 2 2 2 2
? 4[ n(n ? 2) 2
n ?1

?

(n ? 1) 2 2
n

? 1] ? 8( 2

n
n ?1

?

n ?1 2n

? 1)

n(n ? 2) (n ? 1) 2 n 2(n ? 1) 12 22 32 n2 ? ? n? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? 3 ? 2n 2 2 2 2 2n ?1 2 2n ? 3? n 2 ? 4n ? 6 ?3 2 n?1

法 3:(加强命题,数归法)求证: 令 bn ?

12 22 32 n2 n2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? 3 ? n?1 2 22 2 2 2

1 (n ? 1) 2 2n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2 n 2 1 (n ? 1) 2 n2 ? n ?1 ? ? n ?1 ? bn?1 ? n? 2 ? n n?2 2 2 2n?1 4 2 2 2

bn?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 bn ?1 ? n ?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? ? n ?1 4 2 2 4 2

3 1 n2 ? 4 1 1 1 ? Sn?1 ? S n ? ( S n ? bn ) ? ? n?1 ? Sn ? ? n ?3 4 2 2 4 2 2

1 1 1 ? ? 3 ? 2 =右边,命题成立; 2 2 4 2 2 k ②假设 n=k 时, Sk ? 3 ? k ?1 成立, 2
①当 n=l 对,左边 ?

3 1 k2 ?4 3 k2 1 k 2 ? 4 11 k 2 ? 2 S k ?1 ? S k ? ? k ?3 ? (3 ? k ?1 ) ? ? k ?3 ? ? k ? 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2
下面证明:

11 k 2 ? 2 (k ? 1) 2 ? k ? 2 ? 3 ? k ? 2 成立,即证 2k ? 1 ? 2 k 2 4 2
x

令 g ( x) ? 2 ? 2 x ? 1( x ? 1) ? 当 x ? 2 时,

g ?( x) ? 2 x ln 2 ? 2 x ? 1 ? 4ln 2 ? 2 ? 0 ,

g (x) 在 [2,??) 递增 ? g (k ) ? min{g (1), g (2)} ? 0 ? 2k ? 1 ? 2 k 成立
即当 n=k+l 时,命题成立. 由①②知,命题成立.

- 10 -

- 11 -


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