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福建省泉州七中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷


2014-2015 学年福建省泉州七中高一(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题 5 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={0,2}则 A∩(?UB)等于( A. { 1,2,3,4} B. { 0,1,2,3 } C. { 1,2 } D. { 1,3 }



2.已知 =(2,3) ,

=(1,1)则

=(



A. (1,2) B. (3,4) C. (1,1) D. (﹣1,﹣2) 3.函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( )

A. ( , ) B. ( , ) C. ( ,1) D. (1,2)

4.f(cosx)=cos2x,那么 f(sin150°)的值为 ( A. ﹣1 B. 1 C. D.



5.若 =(2,1) , =(3,4) ,则向量 在向量 方向上的投影为( A. 2 6.已知函数 A. 1 B. 2 C. D.
2



B. 2 C.

D. 10 的最大值是( )

7.已知单位向量 、 ,满足 ⊥ ,则函数 f(x)=(x + ) (x∈R) ( A. 既是奇函数又是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 8.已知函数 f(x)= ①函数 f(x)的最小正周期为 2π ②函数 f(x)的图象关于点 对称 个单位得到 , (x∈R)给出下面四个命题,



③函数 f(x)的图象可由 y=2cos2x 的图象向左平移 ④函数 是奇函数,

以上正确的命题是( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③

9.tan20°+tan40°+ A. B. ﹣

tan20°?tan40°的值是( C. D. ﹣



10. 如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆外的点 D, 若 =m +n ,则 m+n 的取值范围是( )

A. (1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (0,1) D. (﹣1,0) 11.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是 恒成立,则 t 的取值范围是( ) ,若不等式 asin x+cosx﹣t≥0 对
2

A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,2] C. (1,+∞) D. (0,1) 12.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10 +10 ) ,x,y∈R.对任意实数 a,b,c,给 出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c) ; ②a*b=b*a; ③(a*b)+c=(a+c)*(b+c) ; 其中正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
x y

二、填空题(每题 4 分) 13.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) ,且当 x∈(0,1)时,f(x)=4x+1, 则 = .

14.已知 tanx=2,则 tan2x=



15.已知 =m +n



是两个单位向量,且

?

=0.若点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°, .

(m,n∈R) ,则 =

16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 为 . 的坐标

三、解答题(共 74 分) 17. (12 分) (2014?泉州模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,x∈R. (Ⅰ)求 f( )的值;

(Ⅱ)试写出一个函数 g(x) ,使得 g(x)f(x)=cos2x,并求 g(x)的单调区间. 18. (12 分) (2013 秋?宁德期末)已知函数 f(x)=2x ﹣4x+a,g(x)=logax(a>0 且 a≠1) . (Ⅰ)若函数 f(x)在[﹣1,2m]上不具有单调性,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 f(1)=g(1) . (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)设 ,t2=g(x) , ,当 x∈(0,1)时,试比较 t1,t2,t3 的大小.
2

19. (12 分) (2014 秋?泉州校级期末)如图,在同一平面内,向量 与单位向量 分别为 30°、90°,已知 =

的夹角

(1)用 , 作为基底表示向量 (2)若向量 = + ,求| |及 与 的夹角 θ 的值.

20. (12 分) (2014 秋?泉州校级期末)已知 O 为坐标原点,对于函数 f(x)=asinx+bcosx,称 向量 为函数 f(x)的亲密向量,同时称函数 f(x)为向量 的亲密函数.

(1)设函数 g(x)=cos(2π﹣x)+2sin(π﹣x) ,试求 g(x)的亲密向量 (2)若 x 的方程 h(x)﹣t=0 在 , 与 同向共线,| |=2,记

的模;

的亲密函数为 h(x) ,求使得关于

内恒有两个不相等实数根的实数 t 的取值范围.

21. (12 分) (2014 秋?福州期末)已知函数 f(x)=2

sin(

x)在同一半周期内的图象过

点 O,P,Q,其中 O 为坐标原点,P 为函数图象的最高点,Q 为函数 f(x)的图象与 x 轴的 正半轴的交点. (1)试判断△ OPQ 的形状,并说明理由. (2)若将△ OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 a(0<a< 在曲线 y= (x>0)上(如图所示) ,求实数 k 的值. )时,顶点 P,Q,恰好同时落

22. (14 分) (2009?浦东新区一模)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道(Rt△ FHE,H 是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道 的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=20 米, 米,记∠BHE=θ. (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数,并写出定义域; (2)若 ,求此时管道的长度 L;

(3)问:当 θ 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

2014-2015 学年福建省泉州七中高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={0,2}则 A∩(?UB)等于( A. { 1,2,3,4} B. { 0,1,2,3 } C. { 1,2 } D. { 1,3 } 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={0,2}, ∴?UB={1,3,4}, 则 A∩(?UB)={1,3}. 故选:D. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. )

2.已知 =(2,3) , =(1,1)则

=(



A. (1,2) B. (3,4) C. (1,1) D. (﹣1,﹣2) 考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用坐标运算求解即可. 解答: 解: =(2,3) , =(1,1)则 =(1,2) .

故选:A. 点评: 本题考查向量的坐标运算,是基础题. 3.函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( )

A. ( , ) B. ( , ) C. ( ,1) D. (1,2)

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 要判断函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点位置,我们可以根据零点存在定理,依次判断 , , ,1,2 的函数值,然后根据连续函数在区间(a,b)上零点,则 f(a)与 f(b)异 号进行判断. 解答: 解:∵f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣4<0 f( )=log2 +2× ﹣1= ﹣3<0

f( )=log2\frac{1}{2}+2× ﹣1=1﹣2<0 f(1)=log21+2×1﹣1=2﹣1>0 f(2)=log22+2×2﹣1=5﹣1>0 故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点必落在区间( ,1) 故选 C 点评: 本题查察的知识点是函数的零点, 解答的关键是零点存在定理: 即连续函数在区间 (a, b)上零点,则 f(a)与 f(b)异号. 4.f(cosx)=cos2x,那么 f(sin150°)的值为 ( A. ﹣1 B. 1 C. D. )

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的解析式求解函数值即可. 解答: f(cosx)=cos2x,那么 f(sin150°)=f(sin(90°+60°) )=f(cos60°)=cos120°=﹣ . 故选:C. 点评: 本题考查函数的值的求法,考查计算能力.

5.若 =(2,1) , =(3,4) ,则向量 在向量 方向上的投影为( A. 2 B. 2 C. D. 10



考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 求出向量 a,b 的数量积和向量 b 的模,再由向量 在向量 方向上的投影为 入数据计算即可得到. 解答: 解: =(2,1) , =(3,4) , 则 | |= =2×3+1×4=10, =5, ,代

则向量 在向量 方向上的投影为 = 故选 B. =2.

点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式,考查向量的投影定义,考 查运算能力,属于基础题.

6.已知函数 A. 1 B. 2 C. 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. D.

的最大值是(



分析: 由三角函数公式化简可得 f(x)=2sin(2x﹣ 解答: 解:由三角函数公式化简可得 =1﹣cos2x+ sin2x﹣1= sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣

) ,由振幅的意义可得最大值.

) ,

∴函数的最大值为 2, 故选:B. 点评: 本题考查三角函数的最值,涉及二倍角公式和和差角的三角函数公式,属基础题.
2

7.已知单位向量 、 ,满足 ⊥ ,则函数 f(x)=(x + ) (x∈R) ( A. 既是奇函数又是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 解答: 解:由题意可得
2



=0,函数 f(x)=(x + ) =x +1,由此可得函数的奇偶性. =0,| |=| |=1,
2

2

2

∴函数 f(x)=(x + ) =x +2

x+1=x +1,

2

显然,函数 f(x)为偶函数, 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,函数的奇偶性的判断,属于中档题. , (x∈R)给出下面四个命题,

8.已知函数 f(x)= ①函数 f(x)的最小正周期为 2π ②函数 f(x)的图象关于点

对称 个单位得到

③函数 f(x)的图象可由 y=2cos2x 的图象向左平移

④函数

是奇函数,

以上正确的命题是( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③ 考点: 余弦函数的图象. 分析: 由条件利用诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数 的奇偶性以及它们的图象的对称性,得出结论. 解答: 解:对于函数 f(x)= 当 x= 确. y=2cos2x 的图象向左平移 函数 个单位得到函数 y=2cos2(x+ )+ ]=2cos(2x+ )=2cos(2x+ ) ,故③不正确. 时,函数 f(x)=2cos ,它的最小正周期为 =0,故函数 f(x)的图象关于点 =π,故①不正确. 对称,故②正

=2cos[2(x+

)=﹣sin2x,是奇函数,故④正确.

故选:C. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、 余弦函数的奇偶性以及它们的图象的对称性,属于基础题. 9.tan20°+tan40°+ A. B. ﹣ tan20°?tan40°的值是( C. D. ﹣ )

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 先利用两角和的正切公式的变形 tanα+tanβ=tan(α+β)[1﹣tanαtanβ]将 tan20°+tan40° 转化,再利用 tan60°= 化简即可 解答: 解:tan20°+tan40°+ tan20°?tan40° =tan(20°+40°)[1﹣tan20°tan40°]+ tan20°?tan40° = [1﹣tan20°tan40°]+ tan20°?tan40° = ﹣ tan20°?tan40°+ tan20°?tan40° = 故选 A 点评: 本题考查了两角和的正切公式的变形公式的运用,特殊角三角函数值在化简中的应用 10. 如图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆外的点 D, 若 =m +n ,则 m+n 的取值范围是( )

A. (1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (0,1) D. (﹣1,0) 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示,由 A,B,D 三点共线,利用向量共线定理可得:存在实数 λ 满足 , 又 比较,即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵A,B,D 三点共线, ∴存在实数 λ 满足 又 ∴ 即 可得 , = ,与 , ,t<﹣1, , =m +n 比较, , , t<﹣1, 可得 , 与 =m +n

则 m+n= ∈(﹣1,0) . ∴m+n 的取值范围是(﹣1,0) . 故选:D.

点评: 本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.
2

11.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是 恒成立,则 t 的取值范围是( )

,若不等式 asin x+cosx﹣t≥0 对

A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,2] C. (1,+∞) D. (0,1)

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数图象的对称性可得 a=1, 问题转化为只需 t≤sin x+cosx 在 的最小值即可,由二次函数区间的最值可得. 解答: 解:∵函数 f(x)=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是 ∴f(0)=f(
2 2



) ,代值可得 a=1, 恒成立, 恒成立, 恒成立, 的最小值即可,
2 2

∵不等式 asin x+cosx﹣t≥0 对 ∴不等式 sin x+cosx﹣t≥0 对 ∴不等式 t≤sin x+cosx 对 只需 t≤sin x+cosx 在
2 2 2 2

变形可得 y=sin x+cosx=﹣cos x+cosx+1=﹣(cosx﹣ ) + , ∵ ,∴cosx∈[0,1],

由二次函数可知当 cosx=0 或 1 时,y 取最小值 1, ∴t 的取值范围为(﹣∞,1], 故选:A. 点评: 本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角形图象的对称性和恒成立问题以及二次函 数区间的最值,属中档题. 12.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10 +10 ) ,x,y∈R.对任意实数 a,b,c,给 出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c) ; ②a*b=b*a; ③(a*b)+c=(a+c)*(b+c) ; 其中正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;新定义. x y 分析: 由 x*y=lg(10 +10 ) ,x,y∈R,对①②③逐个判断即可. x y 解答: 解:∵x*y=lg(10 +10 ) ,x,y∈R, a b ∴①中,a*b=lg(10 +10 ) , ∴(a*b)*c=lg(10
a*b x y

+10 )=lg(
a b c

c

+10 )=lg(10 +10 +10 ) ;

c

a

b

c

同理可求,a*(b*c)=lg(10 +10 +10 ) ;

∴(a*b)*c=a*(b*c) ,故①正确; ②由①知,a*b=lg(10 +10 ) ,同理可得 b*a=lg(10 +10 ) , 即 a*b=b*a,故②正确; a b ③中,左边(a*b)+c=lg(10 +10 )+c; 右边(a+c)*(b+c) a+c b+c =lg(10 +10 ) c a b =lg[10 (10 +10 )] c a b =lg10 +lg(10 +10 ) a b =c+lg(10 +10 )=左边, 故③正确; 故选:D. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查对数的运算性质与对数恒等式的应用,考查推 理与运算能力,属于中档题. 二、填空题(每题 4 分) 13.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) ,且当 x∈(0,1)时,f(x)=4x+1, 则 = 2 .
a b a b

考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知中函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) ,可得函数 f(x)是周期为 2 的周期 函数,进而得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) , ∴f(x+2)=﹣f[(x+1)+1]=﹣f(x+1)=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, 又∵当 x∈(0,1)时,f(x)=4x+1, ∴ = =2,

故答案为:2. 点评: 本题考查的知识点是函数的周期性,其中根据已知求出函数的周期为 2,是解答的关 键.

14.已知 tanx=2,则 tan2x=



考点: 专题: 分析: 解答:

二倍角的正切. 三角函数的求值. 把已知条件直接代入二倍角的正切公式计算可得. 解:∵tanx=2, = =

∴tan2x=

故答案为: 点评: 本题考查二倍角的正切公式,属基础题.

15.已知 =m +n



是两个单位向量,且

? .

=0.若点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,

(m,n∈R) ,则 =

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 , 是两个单位向量,且 =m , +n ? =0.建立如图所示的直角坐标系.A(1,0) ,

B(0,1) ,由 解答: 解:由

,可得 C(m,n) ,利用∠AOC=30°,即可得出. ? =0.建立如图所示的直角坐标系.

是两个单位向量,且

A(1,0) ,B(0,1) , ∵ =m +n ,

∴C(m,n) , ∵∠AOC=30°, ∴ ∴ . . ,

故答案为:

点评: 本题考查了向量的坐标运算、正切函数,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 16.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, (2﹣sin2,1﹣cos2) . 的坐标为

考点: 圆的参数方程;平面向量坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用;坐标系和参数方程. 分析: 设滚动后圆的圆心为 O',切点为 A,连接 O'P.过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交 圆 O'于 B(3,1) ,设∠BO'P=θ,则根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sinθ) , 再根据圆的圆心从(0,1)滚动到(2,1) ,算出 θ= 简可得 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) ,即为向量 ﹣2,结合三角函数的诱导公式,化 的坐标.

解答: 解:设滚动后的圆的圆心为 O',切点为 A(2,0) ,连接 O'P, 过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B(3,1) ,设∠BO'P=θ ∵⊙O'的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =1, ∴根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sinθ) , ∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,圆滚动到圆心位于(2,1) ∴∠AO'P=2,可得 θ= 可得 cosθ=cos( ﹣2 ﹣2)=﹣cos2,
2 2

﹣2)=﹣sin2,sinθ=sin(

代入上面所得的式子,得到 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) ∴ 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) .

故答案为: (2﹣sin2,1﹣cos2)

点评: 本题根据半径为 1 的圆的滚动,求一个向量的坐标,着重考查了圆的参数方程和平面 向量的坐标表示的应用等知识点,属于中档题. 三、解答题(共 74 分) 17. (12 分) (2014?泉州模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,x∈R. (Ⅰ)求 f( )的值;

(Ⅱ)试写出一个函数 g(x) ,使得 g(x)f(x)=cos2x,并求 g(x)的单调区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)把函数解析式提取 后利用两角和的正弦化积,然后直接取 x= 求得 f( )

的值; (Ⅱ)由二倍角的余弦公式可知 g(x)=cosx﹣sinx,化积后利用余弦型复合函数的单调性求 函数 g(x)的单调区间. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=sinx+cosx= ∴ (Ⅱ)g(x)=cosx﹣sinx. 下面给出证明: ∵g(x)f(x)=(cosx﹣sinx) (sinx+cosx)=cos x﹣sin x=cos2x, ∴g(x)=cosx﹣sinx 符合要求. 又∵g(x)=cosx﹣sinx= 由 ∴g(x)的单调递增区间为 又由 ∴g(x)的单调递减区间为 ,得 ,得 ,k∈Z. , ,k∈Z. , ,
2 2

, ;

点评: 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函 数的恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.是中档题. 18. (12 分) (2013 秋?宁德期末)已知函数 f(x)=2x ﹣4x+a,g(x)=logax(a>0 且 a≠1) . (Ⅰ)若函数 f(x)在[﹣1,2m]上不具有单调性,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 f(1)=g(1) . (ⅰ)求实数 a 的值; (ⅱ)设 ,t2=g(x) , ,当 x∈(0,1)时,试比较 t1,t2,t3 的大小.
2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)可得抛物线的对称轴为 x=1,由题意可得﹣1<1<2m; (Ⅱ) (i)由题意可得 f(1)=0,即﹣2+a=0; (ii)当 x∈(0,1)时,易求 t1,t2,t3 的取值 范围,由范围可得大小关系; 2 解答: 解: (Ⅰ)∵抛物线 y=2x ﹣4x+a 开口向上,对称轴为 x=1, ∴函数 f(x)在(﹣∞,1]单调递减,在[1,+∞)单调递增, ∵函数 f(x)在[﹣1,2m]上不单调, ∴2m>1,得 ,

∴实数 m 的取值范围为 (Ⅱ) (ⅰ)∵f(1)=g(1) , ∴﹣2+a=0, ∴实数 a 的值为 2. (ⅱ)∵



,t2=g(x)=log2x,



∴当 x∈(0,1)时,t1∈(0,1) ,t2∈(﹣∞,0) ,t3∈(1,2) , ∴t2<t1<t3. 点评: 本题考查二次函数、对数函数、指数函数的性质图象,考查学生灵活运用知识解决问 题的能力,属中档题.熟练掌握常见基本函数的性质是解题关键.

19. (12 分) (2014 秋?泉州校级期末)如图,在同一平面内,向量 与单位向量 分别为 30°、90°,已知 =

的夹角

(1)用 , 作为基底表示向量 (2)若向量 = + ,求| |及 与 的夹角 θ 的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)设 ,分别求出 m,n 即可; 的计算即可. =3,

(2)由(1)结合数量积公式,进行 解答: 解: (1)设 n| |=n= sin30°=2

,m| |=m=| |cos30°=2 ,∴ ;

(2) | = =(3

, = ) ( )=3 =1. +(3+ )

=cos120°=



+

=





=

=



点评: 本题考查了平面向量的基本定理以及向量的数量积运算,考查学生的运算能力. 20. (12 分) (2014 秋?泉州校级期末)已知 O 为坐标原点,对于函数 f(x)=asinx+bcosx,称 向量 为函数 f(x)的亲密向量,同时称函数 f(x)为向量 的亲密函数. 的模;

(1)设函数 g(x)=cos(2π﹣x)+2sin(π﹣x) ,试求 g(x)的亲密向量 (2)若 x 的方程 h(x)﹣t=0 在 , 与 同向共线,| |=2,记

的亲密函数为 h(x) ,求使得关于

内恒有两个不相等实数根的实数 t 的取值范围.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简函数 f(x)的解析式,可得 f(x)的亲密向量 (2)先由条件求得 =(1, ) ,可得 ,可得该向量的模. ) .由题意可得

的亲密函数为 h(x)=2sin(x+

函数 y=h(x)的图象和直线 y=t 在

内恒有两个不同的交点,数形结合可得实数 t 的

取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 g(x)=cos(2π﹣x)+2sin(π﹣x)=cosx+2sinx, ∴f(x)的亲密向量为 故 f(x)的亲密向量 =(1,2) , 的模为 = .

(2)设

=λ?( ,

)=(



λ) ,则|

|=

=λ=2,

即 故

=(1,

) . cosx=2sin(x+ ) ,

的亲密函数为 h(x)=sinx+

关于 x 的方程 h(x)﹣t=0 在 即函数 y=h(x)的图象和直线 y=t 在 如图所示:∴t∈[ ,2) .

内恒有两个不相等实数根, 内恒有两个不同的交点.

点评: 本题主要考查新定义,正弦和函数的图象特征,方程根的存在性以及个数判断,体现 了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.

21. (12 分) (2014 秋?福州期末)已知函数 f(x)=2

sin(

x)在同一半周期内的图象过

点 O,P,Q,其中 O 为坐标原点,P 为函数图象的最高点,Q 为函数 f(x)的图象与 x 轴的 正半轴的交点. (1)试判断△ OPQ 的形状,并说明理由. (2)若将△ OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 a(0<a< 在曲线 y= (x>0)上(如图所示) ,求实数 k 的值. )时,顶点 P,Q,恰好同时落

考点: 正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)先求函数 f(x)的周期,从而可求|OQ|,由 P 为函数图象的最高点,可得|OP| 的值,又由 Q 坐标,可求|PQ|,从而可证△ OPQ 为等边三角形.

(2)由|OP|=|OQ|=4,得点 P′,Q′的坐标分别为(4cos(

) ,4sin(

) ) , (4cosα,

4sinα) ,由 的值. 解答: 解: (1)△ OPQ 为等边三角形. 理由如下: ∵函数 f(x)=2 ∴T= sin( x) ,

,可解得 sin2α= .从而可得所求实数 k

=8,∴函数 f(x)的半周期为 4,

∴|OQ|=4, ∵P 为函数图象的最高点, ∴点 P 的坐标为(2,2 ) ,∴|OP|=4 又∵Q 坐标为(4,0) ,∴|PQ|= ∴△OPQ 为等边三角形. (2)由(1)知,|OP|=|OQ|=4, ∴点 P′,Q′的坐标分别为(4cos( ) ,4sin( ) ) , (4cosα,4sinα) , =4,

∵点 P′,Q′在函数 y= (x>0)的图象上,





消去 k 得,sin2α=sin(2α ∴sin2α=sin2αcos ∴ sin2α= ∴tan2α= ∵0<a< ∴2α= ∴sin2α= . cos2α +cos2αsin

) ,

∴k=4.即所求实数 k 的值为 4. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象特征,反比例函数的性质,二倍角公式等基础知识,考 察运算能力,考察数形结合思想,化归与转化思想,函数与方程思想,属于中档题. 22. (14 分) (2009?浦东新区一模)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道(Rt△ FHE,H 是直角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道 的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=20 米, 米,记∠BHE=θ. (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数,并写出定义域; (2)若 ,求此时管道的长度 L;

(3)问:当 θ 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度.

考点: 函数模型的选择与应用;正弦函数的定义域和值域. 专题: 应用题. 分析: (1)由∠BHE=θ,H 是 AB 的中点,易得 , ,

, 由污水净化管道的长度 L=EH+FH+EF, 则 易将污水净化管道的长度 L 表示为 θ 的函数. (2)若 ,结合(1)中所得的函数解析式,代入易得管道的长度 L 的值.

(3)污水净化效果最好,即为管道的长度最长,由(1)中所得的函数解析式,结合三角函 数的性质,易得结论. 解答: 解: (1) 由于 分) (2) (3) 时, = , , , …(2 分) …(4 分) , …(6 分) ,…(8 分) ;…(10 分) …(5

设 sinθ+cosθ=t 则

…(12 分)

由于 分) 在

,所以 内单调递减, 于是当 时 . L 的最小值

…(14

米.…(15 分) 答:当 时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 米…(16 分)

点评: 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形,根据已知条件构造 出 L 关于 θ 的函数,是解答本题的关键.


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