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2015创新设计(高中理科数学)题组训练10-3


第3讲

二项式定理

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 西安调研)若(1+ 3)4=a+b 3(a,b 为有理数),则 a+b= A.36 C.34 解析 B.46 D.44
2 3 4 (1+ 3)4=1+C1 ( 3)2+C3 由题设 a 4· 3+C4· 4( 3)

+( 3) =28+16 3,

(

).

=28,b=16,故 a+b=44. 答案 D

1 ?n ? ? (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为 2.(2013· 辽宁卷)使?3x+ x x? ? ( A.4 C.6 解析 1 ?r n-r? ? ?= Tr+1=Cr n(3x) ?x x? B.5 D.7 5 , 当 Tr+1 是常数项时, n-2r=0, ).

当 r=2,n=5 时成立. 答案 B

? a? 3.已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项 ? ? 系数的和是 A.28 C.1 或 38 解析 B.38 D.1 或 28 ( ).

由题意知 C4 (-a)4=1 120,解得 a=± 2,令 x=1,得展开式各项系数 8·

和为(1-a)8=1 或 38. 答案 C

4.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列 a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11, k∈Z)是一个单调递增数列,则 k 的最大值是 A.6 C.8 解析 B.7 D.5
-1 10 由二项式定理知 an=Cn 10 (n=1,2,3,…,n).又(x+1) 展开式中二项

(

).

式系数最大项是第 6 项. ∴a6=C5 10,则 k 的最大值为 6. 答案 A

5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且 a1+a2+…+a6=63,则实数 m 的 值为 A.1 或 3 C.1 解析 B.-3 D.1 或-3 令 x=0,得 a0=(1+0)6=1,令 x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+ ( ).

a6,又 a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1 或 m=-3. 答案 D

二、填空题 6.(2013· 四川卷)二项式(x+y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是________(用数 字作答). 解析
5-r r Tr+1=Cr y (r=0,1,2,3,4,5),依题意,r=3, 5x

∴含 x2y3 的系数为 C3 5= 答案 10

5×4×3 =10. 3×2×1

7.(a+x)4 的展开式中 x3 的系数等于 8,则实数 a=______. 解析
4-r r (a+x)4 的展开式中的通项 Tr+1=Cr x ,当 r=3 时,有 C3 a=8,所 4a 4·

以 a=2. 答案 2

1? ? 8.设?5x- ?n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N x? ? =240,则展开式中含 x 的项为______. 解析 由已知条件 4n-2n=240,解得 n=4,

1 ?r 4-r?- ? ?= Tr+1=Cr 4(5x) x? ? 3r 令 4- 2 =1,得 r=2,T3=150x. 答案 150x



三、解答题 1 3 9.已知二项式( x+ x)n 的展开式中各项的系数和为 256. (1)求 n;(2)求展开式中的常数项. 解
0 1 2 n (1)由题意得 Cn +Cn +Cn +…+Cn =256,

∴2n=256,解得 n=8. (2)该二项展开式中的第 r+1 项为 3 8-r ?1?r ? x? =Cr Tr+1=Cr · 8( x) 8· ? ? ,

8-4r 2 令 3 =0,得 r=2,此时,常数项为 T3=C8 =28. 1? ? 10.若(2+x+x2)?1-x?3 的展开式中的常数项为 a,求?a(3x2-1)dx. ? ? ?
0



1? 3 3 1 ? ∵?1- x?3=1-x+x2-x3, ? ?

1? ? ∴(2+x+x2)?1-x?3 的展开式中的常数项为 ? ? a=2×1+1×(-3)+1×3=2. ? ? 因此? (3x -1)dx=(x -x)? =(x3-x)? =6. ?0 ?0 ?0
a 2 3 a 2

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 ?? 1?6 ??x- ? ,x<0, 1.(2013· 陕西卷)设函数 f(x)=?? x? ? ?- x,x≥0, 则当 x>0 时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ).

A.-20 C.-15 解析 当 x>0 时,f(x)=- x<0,

B.20 D.15

?1 ? 所以 f[f(x)]=f(- x)=? - x?6, ? x ?

由 r-3=0,得 r=3. 所以 f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(-1)3C3 6=-20. 答案 A

2.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3= A.8 C.10 解析 B.9 D.11
r 3 f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为 Tr+1=Cr (-1)5-r,T4=C5 · (- 5(1+x) ·

(

).

1)2(1+x)3=10(1+x)3, ∴a3=10. 答案 C

二、填空题 3.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则 a2+a4+…+a12=________. 解析 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=36,

令 x=-1,则 a0-a1+a2-…+a12=1, 36+1 ∴a0+a2+a4+…+a12= 2 . 36+1 令 x=0,则 a0=1,∴a2+a4+…+a12= -1=364. 2 答案 364

三、解答题 ?16 2 1 ? 4.已知(a2+1)n 展开式中的各项系数之和等于? 5 x + ?5 的展开式的常数项, x? ? 而(a2+1)n 的展开式的系数最大的项等于 54,求正数 a 的值.



?16 2 1 ?5 ?16 2?5-r ? 1 ?r ?16?5-r ? 5 x + ? 展开式的通项为 Tr+1=Cr ? ? =? ? · 5? 5 x ? ? ? ? x? ? 5 ? x? ?



4 16 令 20-5r=0,得 r=4,故常数项 T5=C5 × 5 =16.又(a2+1)n 展开式的各项

系数之和为 2n,由题意得 2n=16,∴n=4.
2 2 ∴(a2+1)4 展开式中系数最大的项是中间项 T3, 从而 C2 解得 a= 3. 4(a ) =54,


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