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1.1.1正弦定理


一、创设情境
1、问题的给出: 如图,要测量小河两岸A,B两个码头的距离。可在小河 一侧如在B所在一侧,选择C,为了算出AB的长,可先测出 BC的长a,再用经纬仪分别测出B,C的值,那么,根据a, B, C的值,能否算出AB的长。 A.

2、实际问题转化为数学问题:

a 已知三角形的两个角和一条边,求另一条边。 A.

/>
B.

.C

B.

a

.C

想一想?

二、定理的猜想

a b c ? ? (1)你有何结论? sin A sin B sin C
(2)上述结论是否可推广到任意三角形?若成立,如何证明?

问题

a a sin A ? ? c ? sin A c b b sin B ? ? c ? sin B c c c sin C ? 1 ? ? c? sin C c

在一个直角三角形?ABC中

A

b

c

C

a

B

三、定理的证明

平面几何法

在?ABC中, 已知BC ? a, AC ? b, AB ? c, 作三角形的外接圆 , O为圆心, 连结AO并延长交圆于 B ' , 设AB ' ? 2 R, 则

A O b

B

C

B`

b =2R sinB a b c = = =2R. sinA sinB sinC

? ?ACB ' ? 900 , ?B ? ?B ' b ' ? sin B ? sin B ? 2R

a b c ? ? ? 对任意三角形都成立 . sin A sin B sin C

正弦定理:
a b c ? ? sin A sin B sin C

(1)文字叙述 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等. (2)结构特点 和谐美、对称美. (3)方程的观点

正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?

在锐角三角形中 B

两边同取与j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)

jc
A
于 AC,

a
b

?

?

证明:过点A作单位向量 j垂直
? 90 j与AC的夹角为? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

C

j ? AC ? cos90? ? j ? CB ? cos(90? ? C ) ? j ? AB ? cos(90? ? A)

?C j与CB的夹角为? ?90 ? ? ? ? ? ? ? ?,
? ? 90 ?A j与AB的夹角为? ? ???????? .

即a ? sinC ? c ? sin A a c ? ? sin A sinC

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sinB a b c 也有 ? ? sin A sin B sin C

在钝角三角形中

设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A ? 90?
90? ? C

B

j与CB的夹角为

j
A C

具体证明过程 马上完成!

学以致用 如图:若测得a=48.1m,B=43 ° ,

C=69 °,求AB。

A.

B.

a

.C

解:A=180 °-(43 °+69 °)=68 °
在 ABC中,由正弦定理得:
a AB = sinA sinC

sinC 48.1·sin69° ∴AB= a· = ≈48.4(m)
sinA sin68 °

You try
例1.在?ABC中, 已知c ? 10, A ? 45?, C ? 30?. 求角B和边b.
解:
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? b c ∵ sin B ? sin C

c ? sin B 10 ? sin 105 ? ?  b ?   ? sin 30? sin C

? 5 6 ? 5 2 ? 19

正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC a中,已知 b a=4,b= 2 2,A=45°, 解   ? 求 B: 和 csin 。 A ? sin B 2 ,b=2 2 ,A=45°, 变式2:在△ABC中,已知a2 =2 4 3 ? 3 a b b sin A 2 ?1 B 和 解:  ?求 ? c。    ? sin B? ?
a sin Bb a sin A 2 解:  ? ?    sin A sin B2 2 ? 2    ?B ? 90 2 b sin A     c 2 ?2 1    ? sin B ? ? 2 2? ? b sin A 3 a 4 2 2    ? sin B ? ? ?    4 3 a 2    ? B ? 30 或150 ( 舍去)     3 6? 2    4? 正弦定理应用二: a sin C    ? B ?  c 60 或120 4  C ? 105 ?      ? ?2 3?2 42 3 6? 2 sin A 已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 ? a sin C 23 8 3 4  C ? 75 或15  c。(要注意可能有两解) ? ? ? 8? 而可求其它的边和角 2 sin A 3 2
0
0 0
0 0

0

0

0

1.在?ABC中 (1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;

(2)已知c ? 10, A ? 45? , C ? 30? , 求b, S ?ABC .
(3)已知A ? 300 , B ? C ? 600 , a ? 2, 求c.

点拨:已知两角和任意一边,求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.

(1)已知b ? 12, A ? 30 , B ? 120 , 求a;
0 ?

a b 解: (1) ? ? , sin A sin B b sin A 12 sin 300 ?a ? ? sin B sin 1200

?4 3

( 2 )已知c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求b, S?ABC .
? ?

b c 解: ? ? , sin B sin C
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105? ,
c ? si nB 10si n105 ?b ? ? ? 5( 6 ? ? si nC si n30 1 S ?ABC ? bc sin A 2
?

2)

1 ? ? 5( 6 ? 2 ) ? 10 sin 45 ? 2 ? 25( 3 ? 1)

(3)已知A ? 30? , B ? C ? 60? , a ? 2, 求c.
解:

? A ? 30 , B ? C ? 60
?

?

? B ? C ? 150? ? C ? 45?

a c 又? ? , sin A sin C

a ? sin C 2 sin 45 ?c ? ? ?2 2 ? sin A sin 30
?

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;
(2)已知a ? 2 3, b ? 2 2 , B ? 45? , 求A。

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 1200 , 解这个三角形.

点拨:已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;

b c 解: ? , sin B sin C

c sinB 1 ? sin60 1 ? sinC ? ? ? b 2 3
?

? b ? c, B ? 60? ,? C ? B, C为锐角, C ? 30?,A ? 90?

?a ?

c ?b ? 2
2 2

(2)已知a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? , 求A.
a sin B 2 3 sin45? 3 解: sin A ? ? ? 2 b 2 2 ? a ? b,? A ? C (大边对大角 )

? A ? 60? 或120?

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 120? , 解这个三角形.
? b sin A 28 s i n 120 解: ? sin B ? ? a 20

?

? 本题无解 .

7 3 ?1 10

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( C )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3
2 2

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=( C )
?
3

? 5? D、 或 6 6

练习3.在?ABC中, 若 sin A ? sin B ? sin C , 则?ABC的形状是 (    B)
2

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、不能确定

课时小结
a b c 一个 定理 ——正弦定理 ? ? sin A sinB sinC
二种 方法 —— 平面几何法 向量法

二个 应用 —— 已知两角和一边(只有一解) 已知两边和其中一边的对角
(有一解,两解,无解)

P144

习题5.9 1, 2, 4

思考题: 在?ABC中的两边a , b及角A
它们之间满足什么关系式有 一解, 两解, 无解.


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