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高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)


高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义(一)

──集合与简易逻辑
一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各 个对象称为元素, 用小写字母来表示, 元素 在集合 A 中, 称 属于 A, 记为 , 否则称 不属于 A, 记作 。

例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合 称为空集,用 来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2, 3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}, 分别表示有理数集和

正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,则 A 叫做 B 的子集, 记为 ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。

如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, 定义 4 并集, 定义 5 补集,若 定义 6 差集, 定义 7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ,R 记作 ,集合 称为 A 在 I 中的补集。

定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) (3) (4) (2) ;

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。 (1) 若 反之, 即 , 则 , 则 , 且 或 或 , 所以 , 即 或 且 或 , 即 , 即 且 ; ,

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(3)若 ,即

,则



,所以 ,反之也有



,所以

,又

,所以

定理 2 加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有 法,…,第 类办法中有

种不同的方法,第二类办法中有

种不同的方

种不同的方法,那么完成这件事一共有 种不同的方法,第二步有 种不同的方法。

种不同的方法。 种不同的方法,…,第 步

定理 3 乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步有 有 种不同的方法,那么完成这件事一共有 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 设 (1) (2) (3)若 [证明](1)因为 (2)假设 所以 (3)设 ; ; ,则 ,且 ,则存在 ,使 ,求证:

,所以 ,由于 和 有相同的奇偶性,

是奇数或 4 的倍数,不可能等于 ,则

,假设不成立,所以

(因为

)。 ,再证 ,则 A=B。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

,求集合 M(用 A,B 表示)。 【解】 先证 再证 则 综上, 3.分类讨论思想的应用。 , 若 。所以 , 若 , 则 , 因为 , 所以 1) 若 , 则 , 所以 ; 2) 若 ; ,

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例3 ,求 【解】依题设, 因为 因为 ,解得 综上所述, 或 ; 或 。 ,所以 ,所以 ,再由 ,所以 ,若 ,则 解得 ,所以 或 或 2,所以 ,即 ,

,若

或 3。 ,若 ,则 或

4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若 的个数;(2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】(1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, 中的每个元素恰属于其中一个子集,10 个 ,求有序集合对(A,B)

元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步,1 或者属于该子集或者 不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种,由乘法原理,子集共有 子集有 1022 个。 5.配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集: ,满足任何两个子集的交集非空,并且再添加 I 的任 个,非空真

何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 对,每一对不能同在这 个子集中,因此,

;其次,每一对中必有一个在这 个子集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 ,则 ,从而可以在 个子集中再添加 ,与已知矛盾,所以 。综上, 。

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 , 需要 xy 此结论可以推广到 个集合的情

况,即

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定义 8 集合的划分:若

,且

,则这些子集的全集叫 I

的一个 -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将 个元素放入 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 个元素,也必有一个

抽屉放有不多于 个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 ,由容斥原理, ,

,所以不能被 2,3,5 整除的数有

个。

例 7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组, 与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素,另 一方面,当 有 912 个元素。 例 8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足: 时,恰有 ,且 S 满足题目条件,所以最少含

【解】 当

时, 。下证当

;当

时,

;当 满足条件。

时,

时,不存在

令 所以必存在某两个下标

,则 ,使得 ,所以 或 ,即

,所以







(ⅰ)若 ,则

,考虑

,有



,即

,设

,导致矛盾,故只有

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考虑 推出矛盾,设 条件的实数。

,有 ,则



,即

,设

,则 故当

, 时,不存在满足

,又推出矛盾, 所以

(ⅱ)若 ,推出矛盾,故 是 所以 。故当

,考虑

,有 。考虑 ,所以 ,有

或 或

,即

,这时 ,即 =3,于 ,

,矛盾。因此

,这又矛盾,所以只有

时,不存在满足条件的实数。

例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两个数组成五个元素的集合 , 【解】 设 B 中每个数在所有 出现的所有 } 能是 2,3,4,5,6 这 5 个数,这不可能,所以 20 个 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 。当 时,如下 20 个集合满足要求: 中最多重复出现 次,则必有 。若不然,数 出现 次( ),则 在 求 的最小值。

中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它是 1,就有集合{1, ,其中 ,为满足题意的集合。 必各不相同,但只

{1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。 例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 正整数 ,其中 ,求满足条件的最小

【解】 设其中第 个三元集为

则 1+2+…+

所以

。 当 为偶数时, 有

, 所以

, 当 为奇数时, 有

, 所以

, 当

时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以 的最小值为 5。 三、基础训练题 1.给定三元集合 2.若集合 ,则实数 的取值范围是___________。 中只有一个元素,则 =___________。
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3.集合 4.已知集合 P=___________。 5.已知

的非空真子集有___________个。 ,若 ,则由满足条件的实数 组成的集合

,且 ,且若

,则常数 的取值范围是___________。 ,则 ,那么符合要求的集合 S 有___________个。

6.若非空集合 S 满足 7.集合 8.若集合 9. 集合 10.集合 ___________。 ,其中

之间的关系是___________。 , 且 , 且 ,若 ,则 A 中元素之和是___________。 值构成的集合为___________。

, 则满足条件的 ,则

11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) 少个元素?说明理由。 12.已知 四、高考水平训练题 1.已知集合

)若

,则

。如果

,S 中至少含有多

,又 C 为单元素集合,求实数 的取值范围。

,且 A=B,则

___________,

___________。

2. ,则 3.已知集合 ___________。 ___________。 ,当 时,实数 的取值范围是

4.若实数 为常数,且 5.集合 6.集合 7.集合

___________。 ,若 ,则 ,且 A=B,则 ,则 ___________。

中的最小元素是___________。 ___________。

8.已知集合

,且

,则

的取值范围是___________。

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9.设集合 在 ,使得 ,并证明你的结论。

,问:是否存

10. 集合 A 和 B 各含有 12 个元素, 且 C 中含有 3 个元素;2) 。

含有 4 个元素, 试求同时满足下列条件的集合 C 的个数: 1)

11.判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集, ,则必有 五、联赛一试水平训练题 ,证明你的结论。

,若对任何

,都有

1.已知集合 2.集合 是___________。 3. 已知集合 4. 已知集合 构成的集合,则 5.集合 N 的关系是___________。 6. 设集合 个。 7.非空集合 ___________。 8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 数是___________。 9.已知集合 ,≤则使 , 集合 A 满足: , 且当 时, ___________。 ,集合 , 其中 , 且 的子集 B 满足:对任意的

,则实数

的取值范围是___________。

,则集合 B 中元素个数的最大值

, 若 P=Q, 则实数 , 若

___________。

是平面上正八边形的顶点所

,则集合 M 与

, 则 A 中元素最多有___________

成立的所有 的集合是

, 则满足条件的有序三元组(A,B,C)个

,问:当 取何值时,

为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,结论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 11.S 是 Q 的子集且满足:若 ,试确定集合 S。 12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两个元素至多出现在两个不 同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题
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,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 ,则 恰有一个成立,并且若 ,则

1. 求证:

是三个非空整数集, 已知对于 1, 2, 3 的任意一个排列 中必有两个相等。

, 如果



, 则



2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 17 个元素;(2)每个 中各元素之和相同。

,使得(1)每个

恰有

3.某人写了 封信,同时写了 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的情况有多少种? 4.设 是 20 个两两不同的整数,且整合 中不同元素个数的最小可能值。 5.设 S 是由 6. 对于整数 个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶数。 , 求出最小的整数 , 使得对于任何正整数 , 集合 的任一个 中有 201 个不同的元素,求集合

元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。 7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 ,使 S 的任意一个 元子集中都存在两个不同的数 a 和 b,满足 。 8.集合 ,试作出 X 的三元子集族&,满足:

(1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) 9.设集合 。 ,求最小的正整数 ,使得对 A 的任意一个 14-分划 ,一定存在某个

集合

,在

中有两个元素 a 和 b 满足



高中数学精神讲义(二)

──二次函数与命题
一、基础知识 1.二次函数:当 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴为直线 x=,另外

配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=-

,下同。

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简称递 减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当 a<0 时,情况相反。
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3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与函数 f(x)的关系如下 (记△=b2-4ac)。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1 或 x>x2}和 {x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。

,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x

}和空集

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 当 a<0 时,请读者自己分析。

.f(x)图象与 x 轴无公共点。

4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=

,若 a<0,则当 x=x0=

时,f(x)取最大

值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0), 当 x0∈[m, n]时, f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0);

当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即 可得出)。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且 q”复合命题只有当 p,q 同时 为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q;逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中,如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p q 但 q 不 p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如 果 p 不 q 但 p q,则 p 称为 q 的必要非充分条件;若 p q 且 q p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 因为方程 x2-x+1=0 中△ 0, 所以α β ,所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2.方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。
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【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=

f(2)-

f(1),

所以

×(-1)+

≤f(3)≤

× 5+

× 4,

所以-1≤f(3)≤20. 3.利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。

例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;

,

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x.

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

]<0,所以 f(x)<x1.

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以



所以 5.构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

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例 6 当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u≤1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x=

3 时,ymin=

.

例 7 设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是 【解】 由 x2+bx≤-x(b<-1),得 0≤x≤-(b+1).

,求 b 的值。

ⅰ)-

≤-(b+1),即 b≤-2 时,x2+bx 的最小值为-

,所以 b2=2,所以

(舍去)。

ⅱ) -

>-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数,

所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-

,b=-

.

综上,b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例 8 已知不等式组

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。

若 a>0,ⅰ)当 0<a<

时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

ⅱ)当 a=

时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当 a>

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3, 所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。
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综上,a 的取值范围是 1<a≤2. 8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及 A,B, C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A 0,则因为②恒成立,所以 A>0, △=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0 恒成立,所以(B-A-C)2-4AC≤0,即 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成立。 2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥ (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题;②“两个全等三 角形的面积相等”的否命题;③“若 q≤1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等” 的逆否命题。 2.由上列各组命题构成“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为真,p 且 q 为假,非 p 为 真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a} 3. 当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________. 5. x 1且x 2 是 x-1 {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.

的__________条件, 而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1

的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集,A={x|3-x≥4}, B=

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y},点(2,1)∈A,但点(1,0) A,(3,2) A 则 a,b 的值 是_________. 10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1≥-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12.对任意 x∈[0,1],有 四、高考水平训练题

①②成立,求 k 的取值范围。

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1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________. 2.使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3.若不等式-x2+kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________. 4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围是_________. 5.设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集分别为 M 和 N,那么



”是“M=N”的_________条件。

6.若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,则实数 a 的取值范围 是_________. 7.已知 p, q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,则 r 是 q 的_________条件。

8.已知 p: |1-

|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是

_________. 9.已知 a>0,f(x)=ax2+bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求 x 的取值范围。 10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1 时,|f(x)|≤1, (1)求证:|c|≤1; (2)求证:当|x|≤1 时,|g(x)|≤2; (3)当 a>0 且|x|≤1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

11.设实数 a,b,c,m 满足条件: 五、联赛一试水平训练题 1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________.

=0, 且 a≥0,m>0, 求证: 方程 ax2+bx+c=0 有一根 x0 满足 0<x0<1.

2.如果实数 x, y 满足: ,那么|x|-|y|的最小值是_________. 2 3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0,当函数的最小值取最大值时, 2 a+b +c3=_________.

4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))=

x 有_________个实根。

5.若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1,1]上至少有一个实根,则 m 取值范围是_________. 6.若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 x∈R 都有 f(x)≥x 且 f(1)=1,则 p+q2=_________.

7. 对一切 x∈R,f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则 8.函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图,且

的最小值为_________.

=b-2ac. 那么 b2-4ac_________4. (填>、=、<)

9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两个不等的实根。 10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给出下一个二次方程:它的 常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数等于较小的根,二次项系数都是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下 去,并求最多能延续的次数。 11.已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1.设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最多有几个?
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2.设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式 |f(x)|≤5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。

3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x=

, y=

, 求 f=y-x2 的最大值。

4.F(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1,求|F(x)|的最大值。

5.已知 f(x)=x2+ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|≤

,|f(m+1)|≤

,求△=a2-4b 的最大值和最小值。

6.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件: 1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x;

2)当 x∈(0, 2)时,f(x)≤

;

3)f(x)在 R 上最小值为 0。 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)≤x. 7.求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。 8.设 a,b,A,B∈R+, a<A, b<B,若 n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间,n 个正数 b1, b2,?,bn 位于 b 与 B 之间,求 证:

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值:

(ⅰ)

=381;

(ⅱ)g(x)max=444; (ⅲ)g(x)min=364.

高中数学竞赛讲义(三)

──函数
一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素 与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x y, 都有 f(x) f(y)则称之为单射。 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从 B 到 A 由 相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若 x∈A, y∈B, 且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式 给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数 y=3 -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}.

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定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数,通 常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反

函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 y=

的反函数是 y=1-

(x

0).

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区 间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意的 x∈D,都有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图 象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成 立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小 正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b], 集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞), 集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出 函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);(1)向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象;(2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象;(3)向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象;(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; (5)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称;(7)与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称。

定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如 y=

, u=2-x 在(-∞,2)上是减函数,

y=

在(0,+∞)上是减函数,所以 y=

在(-∞,2)上是增函数。

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。

例 1 求方程|x-1|=

的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。

例 2 求函数 f(x)=

的最大值。

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【解】 f(x)= 示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

,记点 P(x, x?2),A(3,2),B(0,1),则 f(x)表

因为|PA|-|PA|≤|AB|= 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。

例 3 设 x, y∈R,且满足
3

,求 x+y.

【解】 设 f(t)=t +1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1],已知当 x∈I0 时, f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( +1)+n( +1)=0. ① 0, n 0. )+(2x-3)( +1)=0.

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t(

+1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又 f(m)=f(-n),所以 m=-n,所

以 3x-1+2x-3=0,所以 x=

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0 矛盾。

综上,方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 的值域。
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【解】 y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)-1≥

-1=-

.

当 x=-

时,y 取最小值-

,所以函数值域是[-

,+∞)。

4.换元法。 例 8 求函数 y=( + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。

【解】 令

+

=u, 因为 x∈[0,1], 所以 2≤u2=2+2

≤4,所以

≤u≤2,所以





2,1≤

≤2,所以 y=

,u2∈[ ,8]。

+2,8]。

所以该函数值域为[2+ 5.判别式法。

例 9 求函数 y=

的值域。

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。

所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0,解得

≤y≤1.

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立,

所以函数值域为[

,7]。

6.关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证:y=f-1(x)在(-∞,+ ∞) 上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1≥y2,则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,所以 x1 ≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

例 11 设函数 f(x)=

,解方程:f(x)=f-1(x).

【解】 首先 f(x)定义域为 (-∞, - ) ∪[-

, +∞) ; 其次, 设 x1, x2 是定义域内变量, 且 x1<x2<-

;

=

>0,

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所以 f(x)在(-∞,-

)上递增,同理 f(x)在[-

,+∞)上递增。

在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y≥0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以 x,y∈[-

,+∞).

若 x y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}, 映射 f: X→Y 满足:对任意的 x∈X,它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数, 这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个;若 f 为满射,则 f 有_______ 个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3.若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有_______个交点。

4.函数 y=f(x)的值域为[

],则函数 g(x)=f(x)+

的值域为_______。

5.已知 f(x)=

,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。

7.设 y=f(x)在定义域( 8.若函数 y=

,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
-1

(x)存在反函数 y=

(x),则 y=

-1

(x)的图象与 y=-

(-x)的图象关于直线_______对称。

9.函数 f(x)满足 10. 函数 y=

=1-

,则 f(

)=_______。

, x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11.求下列函数的值域: (1)y= 12. 已知

; (2)y=

; (3)y=x+2

; (4) y=

定义在 R 上, 对任意 x∈R, f(x)=f(x+2), 且 f(x)是偶函数, 又当 x∈[2,3]时, f(x)=x, 则当 x∈[-2,0]

时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题

1.已知 a∈

, f(x)定义域是(0,1],则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。

2.设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,这样的映射 f 有_______个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解集为 Q,则 P,Q 的关系为: P_______Q(填=、 、 )。
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5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1) y= 6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x

; (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

(x)=

; (4)

0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在(0,+∞)是增函数,则

不等式 f(x)+f(x-

)≤0 的解集为_______。

7.函数 f(x)= ∈M},给出如下判断:①若 P∩M=

,其中 P,M 为 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x), x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x ,则 f(P) ∩f(M)= ;②若 P∩M ,则 f(P) ∩f(M) ;③若 P∪M=R, 则

f(P) ∪f(M)=R;④若 P∪M R,则 f(P) ∪f(M) R. 其中正确的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6]时是二次函数,又 f(6)=2, 当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)=

,求证:f(x)为周期函数。

11.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α ,β (α <β ),已知函数 f(x)=

,(1)求 f(α )、f(β );(2)求

证:f(x)在[α ,β ]上是增函数;(3)对任意正数 x1, x2,求证:

<2|α -β |.

五、联赛一试水平训练题 1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________.

2.若 a>0,a

1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x)

是________(奇偶性).

3.若

=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=

;③F(x-1)=F(x);④

F(F(x))=-x. 4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x, 则 g(2002)= ________.

6. 函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7. 函数 f(x)= 8. 函数 y=x+

的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。 的值域为________.
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9.设 f(x)=

,

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小值。

10.解方程组:

(在实数范围内)

11.设 k∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,求证:对任意 n∈N+, 都有

n≤f(n)≤ 六、联赛二试水平训练题

1.求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f,满足:(1)对任意 x≠0, f(x)=x·f ≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y).

;(2)对所有的 x

2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0, f(x)f f(1).

=1,试求

3. f:[0,1]→R 满足:(1)任意 x∈[0, 1], f(x)≥0;(2)f(1)=1;(3)当 x, y, x+y∈[0, 1]时,f(x)+f(y)≤f(x+y),试 求最小常数 c,对满足(1),(2),(3)的函数 f(x)都有 f(x)≤cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5. 对给定的正数 p,q∈(0, 1), 有 p+q>1≥p2+q2, 试求 f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时,试求 f(x)的最大值。

7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)=

,求 f(100)的值。

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。(1)求证:方程 f(x)=x 恰有一个

9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:f(xf(y))=

x, y∈Q+.

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高中数学竞赛讲义(四)

──几个初等函数的性质
一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为(0,+∞),当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。

2.分数指数幂:



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为 R,图象 过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0); 1)ax=M x=logaM(a>0, a 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;

3)loga(

)= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,

5)loga

=

loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=

(a,b,c>0, a, c

1).

5. 函数 y=x+

(a>0)的单调递增区间是



,单调递减区间为



。(请读

者自己用定义证明) 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0.

例 2 (柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R,则( 等号当且仅当存在 R,使 ai= , i=1, 2, ?, n 时成立。

)· (

)≥(

)2,

【证明】 令 f(x)= (

)x2-2(

)x+

=

,

因为

>0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,

所以△=4(

)-4(

)(

)≤0.

第 21 页 共 68 页

展开得(

)(

)≥(

)2。 ,使 ai= , i=1, 2, ?, n。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在

例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u=

的最小值。

【解】u=

=xy+

≥xy+

+2·

=xy+

+2.

令 xy=t,则 0<t=xy≤

,设 f(t)=t+ ,0<t≤

因为 0<c≤2,所以 0<

≤1,所以 f(t)在

上单调递减。

所以 f(t)min=f(

)=

+

,所以 u≥

+

+2.

当 x=y=

时,等号成立. 所以 u 的最小值为

+

+2.

2.指数和对数的运算技巧。

例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

的值。

【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

所以 9 t +12 t =16 t,即 1+

记 x=

,则 1+x=x2,解得



>0,所以

=

例 5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 【证明】 由 a =b =c =70 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
x y z w

,求证:a+b=c.

所以

lga=

lg70,

lgb=

lg70,

lgc=

lg70,

第 22 页 共 68 页

相加得

(lga+lgb+lgc)=

lg70,由题设



所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

, 因为 ac>0, ac 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调性的应用和未知数范 围的讨论。 例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

【解】 方程可化为 为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

=1。设 f(x)=

, 则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因

例 8 解方程组:

(其中 x, y∈R+).

【解】 两边取对数,则原方程组可化为 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4.

①②

所以方程组的解为 例 9 已知 a>0, a

. 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 若①、②同时成立,则③必成立,

.①②③

故只需解 由①可得 2kx=a(1+k ), ④
2

.

当 k=0 时,④无解;当 k

0 时,④的解是 x=

,代入②得

>k.

第 23 页 共 68 页

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。 三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0”的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等 式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。

4.若 log2a

<0,则 a 取值范围是_________。

5.命题 p: 函数 y=log2

在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是

q 的_________条件。 6.若 0<b<1, a>0 且 a 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数

的单调递增区间是_________。

10.函数 f(x)=
x x x x

的值域为_________。

11.设 f(x)=lg[1+2 +3 +?+(n-1) +n ·a],其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。

12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题

=2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是_________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立,则 m 的取值范围是_________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________.

4. 若 f(x)=ln

,则使 f(a)+f(b)=

_________.

5. 命题 p: 函数 y=log2 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a

在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|.
第 24 页 共 68 页

7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y=

的单调递增区间是_________.

10.函数 f(x)=

的值域为_________.

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n≥2,a∈R。若 f(x) 在 x∈(-∞,1]时有意义, 求 a 的取值范围。

12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题

=2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是__________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈
-x 2

时恒成立,则 m 的取值范围是 ________.

3.若 x∈{x|log2x=2 },则 x , x, 1 从大到小排列是________.

4.若 f(x)=ln

,则使 f(a)+f(b)=

成立的 a, b 的取值范围是________.

5.已知 an=logn(n+1),设

,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q 的值为_________.

6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________.

8.函数 f(x)=

的定义域为 R,若关于 x 的方程 f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解,则 b, c

应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0;(2)b>0 且 c<0;(3)b<0 且 c=0;(4)b≥0 且 c=0。

9.已知 f(x)=

x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t

0),则 F(x)是________函数(填奇偶性).

10.已知 f(x)=lg

,若

=1,

=2,其中|a|<1, |b|<1,则 f(a)+f(b)=________.

11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。

12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4.

,求证:

第 25 页 共 68 页

13.设 a>0 且 a

1, f(x)=loga(x+

)(x≥1),(1)求 f(x)的反函数 f-1(x);(2)若 f-1(n)<

(n∈N+),

求 a 的取值范围。 五、联赛一试水平训练题

1.如果 log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到大排列为___________.

2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log 为___________.

1993+ log

1993+ log

1993> klog

1993 恒成立,则 k 的最大值

3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则
0 0

的值为___________. )logbsina,

4.已知 0<b<1, 0 <α <45 ,则以下三个数:x=(sinα y=(cosα ) logbsina, z=(sinα ) logbsina 从小到大排列为 ___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为 ___________.

7.若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)= 为___________.

,则



由小到大排列

8.不等式

+2>0 的解集为___________.

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

10.(1)试画出由方程

所确定的函数 y=f(x)图象。

(2)若函数 y=ax+

与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 ]+[ ]+?+[ ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。

11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ 六、联赛二试水平训练题

1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=

的最小值。

2.当 a 为何值时,不等式 log

·log5(x2+ax+6)+loga3≥0 有且只有一个解(a>1 且 a

1)。

3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x).

4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
第 26 页 共 68 页

5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:

f(n)=

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。

8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对 x 轴上的某个长为



开区间中的每一个数 x, 有

9.设α ,β 为实数,求所有 f: R+→R,使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f

成立。

高中数学竞赛讲义(五)

──数列
一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,?,n,?. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{an}的 一般形式通常记作 a1, a2, a3,?,an 或 a1, a2, a3,?,an?。其中 a1 叫做数列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为 数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数列,d 叫做公差。若三个 数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d.

定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式:Sn=

;3)

an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数;4)若 n+m=p+q,则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1); 6)若 A,B 至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.

定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有

,则{an}称为等比数列,q 叫做公比。

定理 3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q 如果 a, b, c 成等比数列,即 b =ac(b
2

1 时,Sn=

;当 q=1 时,Sn=na1;3)

0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq。

第 27 页 共 68 页

定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈N),都有|an-A|< ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前 n 项和 Sn 的

极限(即其所有项的和)为

(由极限的定义可得)。

定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)对一切 n≤k 的自然数 n 都成立时(k ≥n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α ,β :(1)若α β ,则 xn=c1an-1+c2β n-1,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β ,则 xn=(c1n+c2) α n-1,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的 值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人类探索未知世界的普遍方 式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,?;2)1,5,19,65,?;3) -1,0,3,8,15,?。 【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.

例 2 已知数列{an}满足 a1=

,a1+a2+?+an=n2an, n≥1,求通项 an.

【解】 因为 a1=

,又 a1+a2=22·a2,

所以 a2=

,a3=

,猜想

(n≥1).

证明;1)当 n=1 时,a1=

,猜想正确。2)假设当 n≤k 时猜想成立。

当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a1+?+a1=[(k+1)2-1] ak+1,,

所以

=k(k+2)ak+1,



=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立,所以

第 28 页 共 68 页

例 3 设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+

,求证:对任意 n∈N+,有 an>1.

【证明】 证明更强的结论:1<an≤1+a. 1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立; 2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an≤1+a,则当 n=k+1 时,有

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法 通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q 【证明】 ·an+1+ 0,求证:存在常数 c,使得 =an+2·(-qan)+ ). + + =0,取 c=0 即可. ,公式为 q 的等比数列。 = ·an+

(pan+1+an+2)+

+an(pqn+1+qan)]=q( 若 若 所以 + =0,则对任意 n, 0,则{ =

}是首项为 ·qn.

取 综上,结论成立。 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+

·

即可.

,求证:an 都是整数,n∈N+.

【证明】 因为 a1=0, a2=1,所以由题设知当 n≥1 时 an+1>an. 又由 an+1=5an+ 移项、平方得 ① 当 n≥2 时,把①式中的 n 换成 n-1 得 ② 因为 an-1<an+1,所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ an-1=10an(n≥2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知,当 n∈N+时,an 都是整数。 3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 -1=0 的两个不等根。由韦达定理得 an+1+ ,即

例 6 已知 an=

(n=1, 2, ?),求 S99=a1+a2+?+a99.
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【解】 因为 an+a100-n=

+

=



所以 S99=

例 7 求和:

+?+

【解】 一般地,



所以 Sn=

例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列

的前 n 项和,求证:Sn<2。

【证明】 由递推公式可知,数列{an}前几项为 1,1,2,3,5,8,13。

因为





所以





由①-②得



所以



又因为 Sn-2<Sn 且

>0,

所以

Sn, 所以


第 30 页 共 68 页

所以 Sn<2,得证。 4.特征方程法。 例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2.

故设 an=(α +β n)·2n-1,其中



所以α =3,β =0, 所以 an=3·2n-1. 例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an. 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,

所以 an=α ·3n+β ·(-1)n,其中



解得α =

,β



所以 5.构造等差或等比数列。

·3]。

例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足

=2an-1(n≥2)且 a0=a1=1,求通项。

【解】 由



=1,



令 bn=

+1,则{bn}是首项为

+1=2,公比为 2 的等比数列,

所以 bn=

+1=2n,所以

=(2n-1)2,

所以 an=

·

?

·

·a0=

注:

C1·C2·?·Cn.

例 12 已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

,n∈N+, 求通项。

【解】 考虑函数 f(x)=

的不动点,由

=x 得 x=

第 31 页 共 68 页

因为 x1=2, xn+1= 又 +2≥

,可知{xn}的每项均为正数。 ,所以 xn+1≥ (n≥1)。又

Xn+1-

=

=

,



Xn+1+

=

=

,



由①÷②得







>0,

由③可知对任意 n∈N+,

>0 且

,

所以

是首项为

,公比为 2 的等比数列。

所以

·

,所以



解得 · 。 注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 三、基础训练题 1. 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中 Sn 为{xn}前 n 项和,当 n≥2 时,xn=_________.

2. 数列{xn}满足 x1=

,xn+1=

,则{xn}的通项 xn=_________.

3. 数列{xn}满足 x1=1,xn= 4. 5. 6. 7.

+2n-1(n≥2),则{xn}的通项 xn=_________.

等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0, Sn 为前 n 项之和,则当 Sn 最大时,n=_________. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_________. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+?+ xn,则 S100=_________. 数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+?+|a10|=_________.

8. 若

,并且 x1+x2+?+ xn=8,则 x1=_________.

9. 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若
第 32 页 共 68 页

,则

=_________.

10. 若 n!=n(n-1)?2·1, 则

=_________.

11.若{an}是无穷等比数列,an 为正整数,且满足 a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+

log2a5·log2a6=36,求

的通项。 }是公比为 q 的等比数列,且 b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)

12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{ q 的值;(2)数列{bn}的前 n 项和 Sn。 四、高考水平训练题

1. 已知函数 f(x)=

, 若数列{an}满足 a1=

, an+1=f(an)(n∈N+), 则 a2006=_____________.

2.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 an= 3. 若 an=n2+ , 且{an}是递增数列,则实数 的取值范围是__________.

.

4. 设正项等比数列{an}的首项 a1=

, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)S20+S10=0,则 an=_____________.

5. 已知

,则 a 的取值范围是______________.

6. 数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) , 存在_________个 a1 值, 使{an}成等差数列; 存在________个 a1 值, 使{an} 成等比数列。

7.已知

(n ∈N+),则在数列{an}的前 50 项中,最大项与最小项分别是____________.

8.有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和中 16,第二个数 与第三个数的和是 12,则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列, 对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中,最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11.已知数列{an}中,an 0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

(n≥2)①恒成立。

第 33 页 共 68 页

12.已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

(n≥2), 当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且 p+q=1 时, (1)求证:an>0,

bn>0 且 an+bn=1(n∈N);(2)求证:an+1= 13.是否存在常数 a, b, c,使题设等式

;(3)求数列

1·22+2·32+?+n·(n+1)2=

(an2+bn+c)

对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972,这样的数列共有_________个。

2.设数列{xn}满足 x1=1, xn= 3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0,且

,则通项 xn=__________. ,则通项 an=__________.

4. 已知数列 a0, a1, a2, ?, an, ?满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且 a0=3,则

=__________.

5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样的数列至多有__________ 项.

7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

=2,则

________. 8. 数列{an} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公比为 q 的等比数列,q 称为此等差比 数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时,项数最多有__________项.

9.设 h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1=

。问:对于怎样的 h,存在大于 0 的整数 n,

使得 an=1? 10.设{ak}k≥1 为一非负整数列,且对任意 k≥1,满足 ak≥a2k+a2k+1,(1)求证:对任意正整数 n,数列中存在 n 个连续项为 0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的数列。 11.求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,?,使得

a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题 1.设 an 为下述自然数 N 的个数:N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4,求证:a2n 是完全平方数, 这里 n=1, 2,?. 2. 设 a1, a2,?, an 表示整数 1, 2, ?, n 的任一排列, f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目: ①a1=1; ②|ai-ai+1| ≤2, i=1,2,?,n-1。
第 34 页 共 68 页

试问 f(2007)能否被 3 整除? 3.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且

求证:an (n=0,1,2,?)是完全平方数。 4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,?),

(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个 n≥1,使

≥3.999 均成立;

(2)寻求这样的一个数列使不等式

<4 对任一 n 均成立。

5. 设 x1,x2,?,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,?,n)①.试问这样的序列最多有多少项?

6.设 a1=a2=

,且当 n=3,4,5,?时,an=

,

(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

是整数的平方。

7.整数列 u0,u1,u2,u3,?满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定的正整数。如果 u2000=2000, 求 k 的所有可能的值。

8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的 m, k,有|xm-xk|≥ 9.已知 n 个正整数 a0,a1,?,an 和实数 q,其中 0<q<1,求证:n 个实数 b0,b1,?,bn 和满足: (1)ak<bk(k=1,2,?,n);

(2)q<

<

(k=1,2,?,n);

(3)b1+b2+?+bn<

(a0+a1+?+an).

高中数学竞赛讲义(六)

──三角函数
一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方 向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |=

,其中 r 是圆的半径。

第 35 页 共 68 页

定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意

取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα =

,余弦函数 cosα =

,正切函

数 tanα =

,余切函数 cotα =

,正割函数 secα =

,余割函数 cscα =

定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα =

,sinα =

,cosα =

;商数关系:tanα

=

; 乘积关系: tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cosα ; 平方关系: sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2

α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cotα ;(Ⅱ)sin(-α )=-sin α , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-

α )=-cotα ; (Ⅳ)sin

=cosα , cos

=sinα , tan

=cotα (奇变偶不变,符号看象限)。

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间



为增函数,在区间

上为减函数,最小正周期为 2

. 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+

时,

y 取最大值 1,当且仅当 x=3k

-

时, y 取最小值-1。对称性:直线 x=k

+

均为其对称轴,点(k

, 0)均为其对

称中心,值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区

间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点



为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这 里 k∈Z.

定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x

kπ+

)在开区间(kπ-

, kπ+

)上为增函数, 最小正周期为

π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ 定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α

,0)均为其对称中心。 β )=cosα cosβ sinα sinβ ,sin(α β )=sinα cosβ cosα sinβ ;

tan(α

β )=

定理 7 和差化积与积化和差公式:

sinα +sinβ =2sin

cos

,sinα -sinβ =2sin
第 36 页 共 68 页

cos

,

cosα +cosβ =2cos

cos

, cosα -cosβ =-2sin

sin

,

sinα cosβ =

[sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ =

[sin(α +β )-sin(α -β )],

cosα cosβ =

[cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =-

[cos(α +β )-cos(α -β )].

定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

定理 9 半角公式:sin

=

,cos

=

,

tan

=

=

定理 10 万能公式:

,

,

定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2

0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β ,

则 sinβ = asinα +bcosα =

,cosβ =

,对任意的角α . sin(α +β ).

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

,其中 a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,R

为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ )的图象(相

位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的

,得到 y=sin

( x+ )(

)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变 >0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐

为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin(

第 37 页 共 68 页

标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( 单位得到 y=Asin x 的图象。

x+

)(

,

>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移



定义 4 函数 y=sinx

的反函数叫反正弦函数, 记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]), 函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的

反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx

的反函数叫反正切函数。记作

y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解

集是{x|x=2kx

arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R, 方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。 恒等式: arcsina+arccosa=



arctana+arccota=

.

定理 16 若

,则 sinx<x<tanx.

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。

【解】 若

,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos



所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).



,则因为 sinx+cosx=

(sinxcos

+sin

cosx)=

sin(x+

)≤

<



所以 0<sinx<

-cosx<



所以 cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

例 3 已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β -

)>0,求证:

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【证明】 若α +β >

,则 x>0,由α >

-β >0 得 cosα <cos(

-β )=sinβ ,

所以 0<

<1,又 sinα >sin(

-β )=cosβ , 所以 0<

<1,

所以

若α +β <

,则 x<0,由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ,所以

>1,

所以

,得证。

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx);其次,当且仅当 x=kπ+ y=0(因为|2cosx|≤2<π), 所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ, m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ sin(2cosπ),所以 T0=2π。

时,

,求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令 sinx=

,

则有 y=

因为

,所以



所以

≤1,

所以当

,即 x=2kπ-

(k∈Z)时,ymin=0,



,即 x=2kπ+

(k∈Z)时,ymax=2.

第 39 页 共 68 页

【解法二】 因为 y=sinx+ =2(因为(a+b) ≤2(a +b )), 且|sinx|≤1≤ ,所以 0≤sinx+ ≤2,
2 2 2

,

所以当

=sinx,即 x=2kπ+

(k∈Z)时, ymax=2,



=-sinx,即 x=2kπ-

(k∈Z)时, ymin=0。

例 6 设 0< <π,求 sin

的最大值。

【解】因为 0< <π,所以

,所以 sin

>0, cos

>0.

所以 sin

(1+cos )=2sin

·cos2

=



=

当且仅当 2sin2

=cos2

, 即 tan

=

,

=2arctan

时,sin

(1+cos )取得最大值



例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

【解】 因为 sinA+sinB=2sin

cos

, ①

sinC+sin

,



又因为

,③

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin

≤4sin

,

所以 sinA+sinB+sinC≤3sin

=

,

第 40 页 共 68 页

当 A=B=C=

时,(sinA+sinB+sinC)max=

.

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单 调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。

例8 求

的值域。

【解】 设 t=sinx+cosx=

因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,

所以 sinxcosx=

,所以



所以

因为 t

-1,所以

,所以 y

-1.

所以函数值域为

例 9 已知 a0=1, an=

(n∈N+),求证:an>

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈

,则

an=

因为

,an∈

,所以 an=

,所以 an=

又因为 a0=tana1=1,所以 a0=

,所以

·



又因为当 0<x<

时,tanx>x,所以
第 41 页 共 68 页

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当 x∈

时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。 x+ )(A, , >0).

6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( 由 y=sinx 的图象向左平移

个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后再保持纵坐标不变,

横坐标变为原来的

,得到 y=Asin(

x+

)的图象;也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的

A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的

,最后向左平移

个单位,得到 y=Asin(

x+

)的图象。

例 10 例 10 已知 f(x)=sin(

x+

)(

>0, 0≤

≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点

对称, 且在区间

上是单调函数,求



的值。 + )=sin(x+ ),所以 cos sinx=0,对任意 x∈R 成立。

【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin(

又 0≤

≤π,解得

=



因为 f(x)图象关于

对称,所以

=0。

取 x=0,得

=0,所以 sin

所以

(k∈Z),即

=

(2k+1) (k∈Z).



>0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=1 时,

=2,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=2 时,



,此时 f(x)=sin(

x+

)在[0,

]上不是单调函数,

综上,

=

或 2。

7.三角公式的应用。

第 42 页 共 68 页

例 11 已知 sin(α-β)=

,sin(α+β)=-

,且 α-β∈

,α+β∈

,求 sin2α,cos2β 的值。

【解】 因为 α-β∈

,所以 cos(α-β)=-

又因为 α+β∈

,所以 cos(α+β)=

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

,

例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

,试求

的值。

【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

=cos(600-C),

又由于

=



所以

=0。

解得







>0,所以



例 13 求证:tan20 +4cos70 .

【解】 tan20 +4cos70 =

+4sin20

第 43 页 共 68 页

三、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

2.适合

-2cscx 的角的集合为___________。

3.给出下列命题:(1)若 α β,则 sinα sinβ;(2)若 sinα sinβ,则 α β;(3)若 sinα>0,则 α 为第一或 第二象限角;(4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四个命题中,正确的命题有__________个。

4.已知 sinx+cosx=

(x∈(0, π)),则 cotx=___________。

5.简谐振动 x1=Asin 6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+

和 x2=Bsin
1)=5sin(x2)=5cos(x+

叠加后得到的合振动是 x=___________。
3)=5cos(x4),则 1, 2, 3, 4 分别是第________象

限角。 7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。

8.已知

,则

=___________。

9.

=___________。

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

11.已知 α,β∈(0, π), tan

, sin(α+β)=

,求 cosβ 的值。

12.已知函数 f(x)=

在区间

上单调递减,试求实数 m 的取值范围。

四、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大时,a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

3. 函数

的值域为__________.

4. 方程

=0 的实根个数为__________.

5. 若 sina+cosa=tana, a

,则

__________a(填大小关系).

6. (1+tan1 )(1+tan2 )?(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.

7. 若 0<y≤x<

且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________.
第 44 页 共 68 页

8.

=__________.

9.

·cos

·cos

·cos

·cos

=__________.

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

13. 已知 f(x)= (kA 0, k∈Z, 且 A∈R),(1)试求 f(x)的最大值和最小值;(2)若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数(包括整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得 一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________.

2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= ____________.

的一个最大值点与一个最小值点,则实数 k 的取值范围是

3.f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________.

5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6.设 sina>0>cosa, 且 sin

>cos

,则

的取值范围是____________.

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9.若 0< <

, m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .

10.cot70 +4cos70 =____________.

11. 在方程组

中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。

12.已知 α,β,γ

,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求 tanαtanβtanγ 的最小值。

13.关于 x, y 的方程组 值。

有唯一一组解,且 sinα, sinβ, sinγ 互不相等,求 sinα+sinβ+sinγ 的

第 45 页 共 68 页

14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y 联赛一试水平训练题(二)

.

1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2.若

,则 y=tan

-tan

+cos

的最大值是__________.

3.在△ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,则

=__________.

4.设 f(x)=x2-πx, α=arcsin

, β=arctan

, γ=arccos

, δ=arccot

, 将 f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为

__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为__________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则 tanα·tanβ·tanγ=__________.

7.已知矩形的两边长分别为 tan

和 1+cos (0< <π),且对任何 x∈R, f(x)=sin ·x2+

·x+cos ≥0,则此

矩形面积的取值范围是__________. 8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0 恒成立,则 的取值范围是__________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

11.已知 a1, a2, ?,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数:f(x)=cos(a1+x)+ 若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ.

cos(a2+x) +?+

cos(an+x)。求证:

12.在△ABC 中,已知

,求证:此三角形中有一个内角为



13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+?+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

.

六、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).

2. 已知 a 为锐角,n≥2, n∈N+,求证:

≥2n-2

+1.

3. 设 x1, x2,?, xn,?, y1, y2,?, yn,?满足 x1=y1=

, xn+1=xn+

, yn+1=

,求证:2<xnyn<3(n≥2).

4.已知 α,β,γ 为锐角,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证;

π<α+β+γ<π.

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5. 求实数 a 的取值范围, 使得对任意实数 x 和任意

, 恒有(x+3+2sin cos )2+(x+asin +asin )2≥

6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x

都有 2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.

7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, ?, cos2na, ?中的每一项均为负数。

9.已知
1,

i

,tan
n 都有

1tan

2?tan

n=2

, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
n≤λ,求

2,?,

cos

1+cos

2+?+cos

λ 的最小值。

高中数学竞赛讲义(七)

──解三角形
一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长, 周长。 为半

1.正弦定理:

=2R(R 为△ABC 外接圆半径)。

推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= 推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a.

推论 3:在△ABC 中,A+B= ,解 a 满足

,则 a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由正弦函数定义,BC 边上

的高为 bsinC, 所以 S△ABC=

; 再证推论 2, 因为 B+C=

-A, 所以 sin(B+C)=sinA, 即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,

两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 3,由正弦定理

,所以

,即 sinasin(

-A)=sin( -a)sinA,等价于

[cos( -A+a)-cos( -A-a)]=

[cos( -a+A)-cos( -a-A)],等价于 cos( -A+a)=cos(

-a+A),因为 0< -A+a, -a+A<

. 所以只有 -A+a= -a+A,所以 a=A,得证。

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2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA

,下面用余弦定理证明几个常用的结论。

(1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点,BD=p,DC=q,则 AD2= 【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos 因为 ADB+ ADC= , 所以 cos ADB+cos ADC=0, 所以 q×①+p×②得 , ① ② ,

(1)

qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =

2

2

2

2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式

(2)海伦公式:因为 -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c).
2 2 2

b c sin A=

2 2

2

b c (1-cos A)=

2 2

2

bc

2 2

[(b+c)

这里 所以 S△ABC= 二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 OR 的长分别为 u, w, v,这里 α,β,α+β∈(0, ),则 P,Q,R 的共线的充要条件是 ,另外 OP,OQ,

【证明】P,Q,R 共线

(α+β)=

uwsinα+

vwsinβ

,得证。 2.正弦定理的应用。 例 2 如图所示,△ABC 内有一点 P,使得 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 BPCBAC= CPACBA= APBACB。

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【证明】 过点 P 作 PD

BC,PE

AC,PF

AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D,C,E;P,E,A,F;P,

D, B, F 三组四点共圆, 所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。 由题设及 BPC+ CPA+ 0 0 APB=360 可得 BAC+ CBA+ ACB=180 。 所以 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB=600。 所以 EDF=600,同理 DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 所以 DE=EF=DF,由正弦定理,CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC,两边同时乘以△ABC 的外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例 3 如图所示,△ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证:PA 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M, BC。

因为 O1G

BC,O2D

BC,所以只需证

由正弦定理



所以

另一方面,



所以



所以 即 PA

,所以 PA//O1G, BC,得证。

3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a (b+c-a)+b (c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。
2 2

例 5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求

的最大值。

【解】 由题设

,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

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则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤



当且仅当 α+β=

,sinγ=

,即 a=

时,Pmax=

例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc<

【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β

.

因为 a, b, c 为三边长,所以 c<

, c>|a-b|,

从而

,所以 sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

=

[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]

=

+

cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)

>

+

cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=

.

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1.在△ABC 中,边 AB 为最长边,且 sinAsinB= 2.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 3.在△ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+

,则 cosAcosB 的最大值为__________.

的取值范围是__________. tanCtanB,则△ABC 的面积为__________. =__________.

4.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则

5.在△ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

7.在△ABC 中,sinA=

,cosB=

,则 cosC=__________.
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8.在△ABC 中,“三边 a, b, c 成等差数列”是“tan

”的__________条件.

9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12 ,求这个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M,N 两点。求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题

,试判断其形状。

1.在△ABC 中,若 tanA=

, tanB=

,且最长边长为 1,则最短边长为__________.

2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. 3.已知 p, q∈R+, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC 为__________角三角形.

5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小:

__________3.

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= , b=4 的三角形有__________个.

8.设 为三角形最小内角,且 acos2

+sin2

-cos2

-asin2

=a+1,则 a 的取值范围是__________.

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km, 求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 的实数解。

11.求证: 五、联赛一试水平训练题 1.在△ABC 中,b2=ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

2.在△ABC 中,若

,则△ABC 的形状为____________.

3.对任意的△ABC,

-(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为____________.

4.在△ABC 中,

的最大值为____________. , C, D 为动点, 且|AD|=|DC|=|BC|=1。 记 S△ABD=S,

5. 平面上有四个点 A, B, C, D, 其中 A, B 为定点, |AB|= S△BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________.

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6 . 在 △ ABC 中 , AC=BC , ACO=____________.

, O 为 △ ABC 的 一 点 ,



ABO=300 , 则

7.在△ABC 中,A≥B≥C≥

,则乘积

的最大值为____________,最小值为__________.

8.在△ABC 中,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧

=____________. ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC

于 R,△ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10. 如图所示, P, Q, R 分别是△ABC 的边 BC, CA, AB 上一点, 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 求证: AB+BC+CA≤2 (PQ+QR+RP)。 11.在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使 BF=FC,CD=DA,AE=EB, AEB=2 ABC, BFC=2 ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形状。 ADC=2 BAC,

六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G,EF 与 半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线,两垂线相交于 P,作 PQ BC,Q

为垂足。求证:

,此处 =

B。

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重合)分别是△AOB 与△COD 的垂心,求证:H1H2 MN。 ,此

3.已知△ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等,求证:



(a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 4.已知凸五边形 ABCDE,其中 ABC= AED=900, BAC= EAD,BD 与 CE 交于点 O,求证:AO BE。

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平行,点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 6. AP, AQ, AR, AS 是同一个圆中的四条弦, 已知 PAQ= QAR= RAS, 求证: AR (AP+AR) =AQ (AQ+AS) 。 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, A, B, C 指的

都是△ABC 的内角,求证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则 9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E,F 是垂足),求证: PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。

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高中数学竞赛讲义(八)

──平面向量
一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号 用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零 的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0,使得 a= f

定理 3 平面向量的基本定理, 若平面内的向量 a, b 不共线, 则对同一平面内任意向是 c, 存在唯一一对实数 x, y, 使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c, 由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非零向量 a, b 的夹角为 ,则 a, b 的数量积记作 a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos<a, b>, 也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b

0),

定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数 λ,使

,λ 叫 P 分

所成的

比,若 O 为平面内任意一点,则

。由此可得若 P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则

定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平移|a|=

个单位得

到图形

,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移到

上对应的点为

,则

称为

平移公式。 定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,

所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

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注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化 简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,

所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|,化简 即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

【证明】 记 所以 不变,这不可能,所以

,若

,则将正 n 边形绕中心 O 旋转

后与原正 n 边形重合,

例 2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG 所以 充分性。若 ,则 , 延 长 AG 交 BC 于 D , 使 GP=AG , 连 结 CP , 则 ,所以 GB CP,所以 AG 平分 BC。 因为 PC,所以

同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中, P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点, 求证: AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 因为 所以 = = 又因为 同理 , ② , ③ · ① ,

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由①,②,③可得 。得证。 2.证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1:2。

【证明】 首先

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE 又 AH 又 EA 所以 所以 所以 所以 与 , 共线,所以 O,G,H 共线。 , BC,所以 AH//CE。 AB,CH AB,所以 AHCE 为平行四边形。

所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 b. a·b=0 a b. CD。

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

例 6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE 【证明】 设 ,









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所以

a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE CD。

4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形边长为 1,则 A,B 坐 标分别为 (-1, 1) 和 (0, 1) , 设 E 点的坐标为 (x, y) , 则 又因为 ,所以 x2+y2=2. =(x, y-1), , 因为 , 所以-x-(y-1)=0.

由①,②解得

所以

设 所以 所以

,则 ,即 F =4+

。由

和 ,

共线得

,所以 AF=AE。

三、基础训练题 1.以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|,且 a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c, 则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充要条件是 x=m, y=n;⑤若 C,D 共线;⑥a=(8, 1)在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2. 已知正六边形 ABCDEF, 在下列表达式中: ① 与 ,相等的有__________. 3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 b 的夹角为__________. 5.已知 a, b 不共线, =a+kb, =la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P 共线”的__________条件. ,BM 与 CN 交于 D,若 , ; ② ; ③ ; ④ ,且 a, b 共线,则 A,B,

6.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 则 λ=__________. 7.已知 不共线,点 C 分 所成的比为 2,
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,则

__________.

8.已知

=b, a·b=|a-b|=2,当△AOB 面积最大时,a 与 b 的夹角为__________. ,c·b=4,则 b 的坐标为

9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 __________.

10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 与 的夹角 取何值时

11. 在 Rt△BAC 中, 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 试问 的值最大?并求出这个最大值。 12.在四边形 ABCD 中, 的形状。

,如果 a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形 ABCD

四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2.在△ABC 中, 3.非零向量 ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. ,若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1,则 =__________.

4.若 O 为△ABC 的内心,且 5.设 O 点在△ABC 内部,且 6.P 是△ABC 所在平面上一点,若 7.已知

,则△ABC 的形状为__________. ,则△AOB 与△AOC 的面积比为__________. ,则 P 是△ABC 的__________心. ,则| |的取值范围是__________.

8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 的最小值为__________. N=__________. , △OAB

10.已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R},集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M 11. 设 G 为△ABO 的重心, 过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q, 已知 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T,

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域;(2)求

的取值范围。 成公差小于零的等差数列。 为 与 的夹角,求 tan .

12.已知两点 M(-1,0),N(1,0),有一点 P 使得 (1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), 五、联赛一试水平训练题
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1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q 满足 点 C, D 分别在 x 轴, y 轴上, 且

时,若

, 则直线 CD 恒过一个定点, 这个定点的坐标为___________. 则

2. p 为△ABC 内心, 角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点,

=___________(用 a, b, c, x, y, z 表示). 3.已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均为 1200,若|ka+b+c|>1(k∈R),则 k 的取值范围是 ___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 个. 5 . 已 知 A1A2A3A4A5 是 半 径 为 r 的 ⊙ O 内 接 正 五 边 形 , P 为 ⊙ O 上 任 意 一 点 , 则 取值的集合是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA· O 为△ABC 的___________心. 7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8.在△ABC 中, |c|=____________. 9.已知 P 为△ABC 内一点,且 ,CP 交 AB 于 D,求证: (a-b)”的___________条件. ,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ABC 三边长之比|a|:|b|: +sinB· +sinC· ,则点 ,则 的取值有___________

10 . 已 知 △ ABC 的 垂 心 为 H , △ HBC , △ HCA , △ HAB 的 外 心 分 别 为 O1 , O2 , O3 , 令 ,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H 为△O1O2O3 的外心。 11 .设坐标平面上全部向量的集合为 V, a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); 六、联赛二试水平训练题 ,若 ,求 a. 的变换 T,由

1. 已知 A, B 为两条定直线 AX, BY 上的定点, P 和 R 为射线 AX 上两点, Q 和 S 为射线 BY 上的两点,

为定比,M,N,T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点,

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置

关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,使得 AM:AC=CN:CE=r, 如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD, AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。

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4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是 线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的自然数,求证:其中 至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于 点 N,求证:(1)OB DF,OC DE,(2)OH MN。

8 . 平 面 上 两 个 正 三 角 形 △ A1B1C1 和 △ A2B2C2 , 字 母 排 列 顺 序 一 致 , 过 平 面 上 一 点 O 作 ,求证△ABC 为正三角形。 9.在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义(九)

──不等式
一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; (3)a>b a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac>bc; (5)a>b, c<0 ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ;

(9)a>0, |x|<a -a<x<a, |x|>a x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6),可得性质(7);再证性质(8), 用反证法,若 ,由性质(7)得 ,即 a≤b,与 a>b 矛盾,所以假设不成立,所以 ;

由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左 边, 因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|, 所以|a|-|b|≤|a+b|, 所以 (10) 成立; (11) 显然成立; 下证 (12) , 因为 x+y-2 ≥0, 所以 x+y≥ , 当且仅当 x=y 时, 等号成立, 再证另一不等式, 令 , 因为 x3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 二、方法与例题
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,等号当且仅当 x=y=z 时成立。

1.不等式证明的基本方法。

(1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ , 试 证 : 对

(A,B>0)与 1 比较大小,最后得出结 任 意 实 数 x, y, z, 有

x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【解】 因为 1-x

1,所以 loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)

>log(1-x)(1-x)=1

(因为 0<1-x2<1,所以

>1-x>0, 0<1-x<1).

所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. (2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止,叙述方式为:要证??, 只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 , ,所以原不等式成立。

例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

,求证:

【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c),

所以



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所以



所以只需证明



也就是证



只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。

2)设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k,当 n=k+1 时,只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1,即

>1. 因为

,所以只

需证

,即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1,只需证(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0,且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数, 不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个出现的正数, 则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。

例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ)x≥y≥z,则

,x2≥y2≥z2,由排序原理可得

,原不等式成立。

ⅱ)x≥z≥y,则

,x2≥z2≥y2,由排序原理可得

,原不等式成立。 (6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).

例 8 求证:

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【证明】

,得证。

例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证:

【证明】

(因为 a+b>c),得证。 (7)引入参变量法。

例 10 已知 x, y∈R+, l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)=

的最小值。

【解】 设

,则

,f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

,等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】 设 x1=k(x2+x3+x4),依题设有 即

≤k≤1, x3x4≥4,原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+



上递减,

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)



·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。

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例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证:

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理





所以

例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证:

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。



同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。

例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1,求 f(a, b, c)=

的最小值。

【解】 当 a, b, c 中有一个为 0, 另两个为 1 时, f(a, b, c)=

, 以下证明 f(a, b, c) ≥

. 不妨设 a≥b≥c, 则 0≤c≤

,

f(a, b, c)=

因为 1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c,

第 63 页 共 68 页

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

-c).

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

)上单调递增。

又因为 0≤c≤

,所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2



所以 f(a, b, c)=



=

=



下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

,所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

,所以 f(a, b, c)min=

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.
第 64 页 共 68 页

( 2 ) 平 均 值 不 等 式 : 设 a1, a2, ? ,an ∈ R+ , 记 Hn=

, Gn=

,

An=

,则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an. 【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意排列 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ ≤a1b1+a2b2+?+anbn. ,有

【证明】 引理:记 A0=0,Ak= 贝尔求和法)。 证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 记 sk=

,则

=

(阿

≥b1+b2+?+bk.

-( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。

所以

-(a1b1+a2b2+?+anbn)=

+snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二:(调整法)考察 若 因为 ≥0, 所 调整后,和是不减的,接下来若 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调整就可将乱序和调整为顺 (j≤n-1),则将 与 互换。 ,若 ,则存在。

序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可得左边不等式。

例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+,求证;

a1+a2+?+an.

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【证明】证法一:因为

,?,

≥2an.

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二:由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2,

因为 a1+a2+?+an >0,所以

≥a1+a2+?+an.

证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为 由排序原理可得

,则





=a1+a2+?+an≥

,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则

的最小值是____________.

2.已知 x∈R+,则

的最小值是____________.

3.已知 a, b, c∈R,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M,最小值为 N,则 MN=___________.

4.若不等式 5.若不等式

对所有实数 x 成立,则 a 的取值范围是____________. x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________.

6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7.若 a, b∈R+,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥

;②

≤a3+b3<1;③

;④

;⑤

;⑥

8.已知 0< <

,若

,则 =____________.

9.已知 大小:p___________q.

,p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?+(xn-a)2, 若

,则比较

第 66 页 共 68 页

10.已知 a>0, b>0 且 a

b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.

11.已知 n∈N+,求证:

12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13.已知 x∈R,

,求证:

四、高考水平训练题 1.已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R),设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2,则下列结论成立的 有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q;(4)m+q≥n+p. 2.已知 a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较大小:M________N.

3.若

R+,且



,将

从小到大排列为________.

4.已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则

的取值范围是________.

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是________.

7.对 x1>x2>0, 1>a>0,记

,比较大小:x1x2________y1y2.

8.已知函数

的值域是

,则实数 a 的值为________.

9.设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长,若不等式

恒成立,则 M 最大值为________.

10. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 则 11 . 已 知 a, b, c ∈ R+ 且 满 足

的取值范围是________.

a+b+c≥abc , 求 证 : 下 列 三 个 式 子 中 至 少 有 两 个 成 立 :

12.已知 a, b∈R+且

,求证:对一切 n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.

13.已知 a, b, c ∈R+,求证:

14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求 五、联赛一试水平训练题

的最大值。

第 67 页 共 68 页

1.已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R,a1c1-

=a2c2

>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大小:P_______Q.

2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5.已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且

,则 x1x2?xn 的最小值为__________(这里 n>1).

6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________.

7.已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则

的最大值为__________.

8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

的最大值为__________.

9.已知

≤x≤5,求证:

10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证:

11.已知 ai>0(i=1, 2, ?, n),且 六、联赛二试水平训练题

=1。又 0<λ1≤λ2≤?≤λn,求证:



1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证: 2.设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+?+xn>y1+y2+?+ym,求证: x1x2xn>y1y2?ym. 3 .设 f(x)=x2+a ,记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ? ) , M={a ∈ R|对所有正整数 n, |fn(0)| ≤2} ,求证:

。 4 . 给 定 正 数 λ 和 正 整 数 n(n≥2) , 求 最 小 的 正 数 M ( λ ) , 使 得 对 于 所 有 非 负 数 x1, x2, ? ,xn , 有

M(λ)

5.已知 x, y, z∈R+,求证:(xy+yz+zx) 6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c),并求出等号成立的条件。

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