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2013年名牌高校自主招生数学专题讲座及2013年全国高中数学联赛专题讲座


自主招生和数学竞赛专题 --极限、 导数与不等式--日照讲义-2013 年 2 月在线答疑 QQ50097009

极限与导数

一、

基础知识

1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数 m,当 ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无 n>m 且 n∈N

时,恒有|un-A|<ε成立(A 为常数) 穷大时的极限,记为 lim f ( x), lim f ( x) ,另外 lim f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x → +∞ x → ?∞
+ x → x0

x0 时 f(x)极限为 A,称右极限。类似地 lim f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)
? x → x0

的左极限。 2 极限的四则运算: 如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b, 那么 lim [f(x)±g(x)]=a±b,
x → x0 x → x0 x → x0

x → x0

lim [f(x)?g(x)]=ab, lim

x → x0

f ( x) a = (b ≠ 0). g ( x) b
x → x0 x → x0

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 lim f(x)存在,并且 lim f(x)=f(x0), 则称 f(x)在 x=x0 处连续。
1

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4. 最大值最小值定理: 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数, 那么 f(x)在[a,b] 上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δx 时 (Δx 充分小) , 因变量 y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 lim
?y ?x → 0 ?x

存在,则称 f(x)在 x0 处可导,此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数(或变化率) , 记作 f ' (x0)或 y ' x = x0 或
dy dx

,即 f ' ( x0 ) = lim
x0

x → x0

f ( x) ? f ( x0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 x ? x0

连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。 若 f(x)在区间 I 上有定义, 且在每一点可导, 则称它在此区间上可导。 导数的几何意义是: f(x)在点 x0 处导数 f ' (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 ; (2) ( x a )' = ax a ?1 (a 为任意常 6.几个常用函数的导数: (1) (c)' =0(c 为常数) 数) ; (3) (sin x)' = cos x; (4) (cos x)' = ? sin x ;(5) (a x )' = a x ln a ;(6) (e x )' = e x ;(7)
(log a x)' = 1 1 (8) (ln x)' = . log a x ; x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 (1) (2) (3) [u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v' ( x) ; [u ( x)v( x)]' = u ' ( x)v( x) + u ( x)v' ( x) ; [cu ( x)]' = c ? u ' ( x) (c 为常数) ; (4) [
1 ? u ' ( x) u ( x) u ( x )v ' ( x ) ? u ' ( x ) v ( x ) ; (5) [ 。 ]' = 2 ]' = u ( x) u ( x) u ( x) u 2 ( x)

8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= ? (x),已知 ? (x)在 x 处可导,f(u)在对 应的点 u(u= ? (x))处可导,则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导,且 (f[ ? (x)] )' = f '[? ( x)]? ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续; (2) 若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) > 0 , 则 f(x)在(a,b)单调递增; (3) 若对一切 x∈(a,b) 有 f ' ( x) < 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。 10. 极值的必要条件: 若函数 f(x)在 x0 处可导, 且在 x0 处取得极值, 则 f ' ( x0 ) = 0.
2

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11.极值的第一充分条件: 设 f(x)在 x0 处连续, 在 x0 邻域(x0-δ,x0+δ)内可导, (1)若当 x∈(x-δ,x0)时 f ' ( x) ≤ 0 ,当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x) ≥ 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2) 若当 x∈(x0-δ, x0)时 f ' ( x) ≥ 0 , 当 x∈(x0,x0+δ)时 f ' ( x) ≤ 0 , 则 f(x)在 x0 处取得极大值。 12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在 (1)若 f ' ' ( x0 ) > 0 ,则 f(x)在 x0 处取得 x=x0 处二阶可导,且 f ' ( x0 ) = 0, f ' ' ( x0 ) ≠ 0 。 极小值; (2)若 f ' ' ( x0 ) < 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。 13. 罗尔中值定理: 若函数 f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)上可导, 且 f(a)=f(b), 则存在ξ∈(a,b),使 f ' (ξ ) = 0. 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ∈ (a,b),使 f ' (ξ ) =
f (b) ? f (a) . b?a

15.曲线凸性的充分条件:设函数 f ( x) 在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果对 (2) 如果对任 x ∈ I , f ' ' ( x) < 0 , 任意 x ∈ I , f ' ' ( x) > 0 ,则曲线 y = f ( x) 在 I 内是下凸的; 则 y = f ( x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 16.琴生不等式:设 a1 , a2 , ???, an ∈ R + , a1 + a2 + ??? + an = 1. 若 f ( x) 是 [a, b] 上的凸函数, 则
x1 , x2 , ???, xn ∈ [a, b] 有 f (a1 x1 + a2 x2 + ??? + an xn ) ≤ a1 f ( x1 ) + a2 f ( x2 ) + ??? + an f ( xn ) .

二、极限 1、数列极限:
1 ? lim p = 0 (1) 公式: lim C = C ( C 为常数) ; (p>0) ; lim q n = ?1 n →∞ n n →∞ n →∞ ?不存在
? ?0 q <1 q =1 q > 1或q = ?1

.

(2)运算法则:若数列 {an } 和 {bn } 的极限都存在,则 {an } 和 {bn } 的和、差、 积、商的极限等于 {an } 和 {bn } 的极限的和、差、积、商.

3

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例题:① 将直线 l1 : x + y ? 1 = 0 、l2 : nx + y ? n = 0 、l3 : x + ny ? n = 0( n ∈ N * , n ≥ 2 ) 围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim Sn =
n →∞

.
p

? 1? ?1 + ? ? 1 ? n? ② 已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 lim = q n→∞ ? 1? ?1 + ? ? 1 ? n? 1 + 3 + 5 + " + (2n ? 1) 习题:① lim = n →∞ n(2n + 1) 4b n . ② 0 < a < b, 则 lim =_ n →∞ a n ? b n



___. .

③ 若 lim n→∞

(1 + a )n + 1 = 2, 则a = n+a

. ④ lim n →∞

1 2n( n + 1 ? n 2 ? 1)
2

=

⑤ 数列 ? ?

? Sn =________. ? 的前 n 项和为 Sn,则 lim n →∞ ? 4n ? 1 ? 1
2

⑥ 已知数列 {an } 的首项 a1 ≠ 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且
S n +1 = 2Sn + a1 ,则 lim an = n →∞ S n

.

2、函数极限:
C = C (C 为常数) ; lim (1)公式: lim x →∞ x →∞
?0 ? lim a = ?1 x →+∞ ?不存在 ?
x

1 = 0 (p>0) ; np a <1 ?0 a >1 ? x ; xlim . a =1 a = ?1 a =1 →?∞ ? a > 1或a = ?1 a < 1或a = ?1 ?不存在

(2)运算法则: 若函数 f ( x) 和 g ( x) 的极限都存在,则函数 f ( x) 和 g ( x) 的和、差、积、商的 极限等于 f ( x) 和 g ( x) 的极限的和、差、积、商. 习题:① ② 已知 lim x →∞ ③ lim( π
x→ 2

lim
x →1

x ?1 4 1 ? = ______ ; lim ( )= 2 x →?2 4 ? x x + 3x ? 4 2+ x
2

. .

ax 2 + cx bx + c ax 2 + bx + c 7 , lim = 5 ,且 bc ≠ 0 ,则 lim = = x →∞ cx + a x →∞ cx 2 + ax + b bx 2 + c

sin x ? tan 2 x) = 2 cos x

.

4

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3、函数的连续性: 函数 f ( x) 在 x = x0 处连续的充要条件是 xlim f ( x) = f ( x0 ) . →x
0

习题:① 已知函数 f ( x) = ? ② 已知 f ( x) = ?

?2 x + 3 ( x ≠ 0 ) 在 x=0 处连续,则 a = (x = 0 ) ?a

.

?2 x + 3 , x ≠ 1 ,下面结论正确的是 ? 2 , x =1





(A) f ( x) 在 x = 1 处连续 (B) f (1) = 5 (C) lim f ( x) = 2 (D) lim f ( x) = 2
x→ 1 ? x→ 1

③ 若 lim(
x →1

a b ? ) = 1 ,则常数 a, b 的值分别为 1 ? x 1 ? x2

.

三、导数 1、导数的概念: (1) 导数的定义: 函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的导数 f / ( x0 ) = lim ?x → 0
f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) . ?x

(2)导数的几何意义:曲线 y = f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率为 f / ( x0 ) . 因此曲线 y = f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 y ? f ( x0 ) = f / ( x0 )( x ? x0 ) . (3)导数的物理意义: 若质点运动的位移函数为 S=s(t),则 t = t0 时质点运动的瞬时速度是 s '(t0 ) . 例题:① 若 lim
?x → 0

f ( x0 + 2?x ) ? f ( x0 ) = 1 ,则 f '( x0 ) 等于 3?x
1 2 ? 1 2

.

② 若曲线 y = x 在点 (a, a ) 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a = . ③ 已知曲线 f ( x) = x3 + . (1) 求曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程; (2) 求曲线过点 P(2, 4) 的切线方程. ④求抛物线 y = ? x 2 上的点到直线 4 x + 3 y ? 8 = 0 距离的最小值. 习题:① 若 lim
?x → 0

?

1 3

4 3

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) = 1 ,则 f '( x0 ) 等于 ?x

.

② 已知点 P 在曲线 y= 取值范围是 .

4 上,α 为曲线在点 e +1
x

P 处的切线的倾斜角,则 α 的

5

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2、导数的运算: (1)常见函数的导数:
C ' = 0 ; ( x n ) ' = nx n ?1 ; (sin x) ' = cos x ; (cos x) ' = ? sin x .

(ln x) ' =

1 1 ; (log a x) ' = log a e ; (e x ) ' = e x ; (a x ) ' = a x ln a . x x

(2)导数的四则运算法则:
[u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) ;
[u( x)v( x)]′ = u '( x)v( x) + u( x)v '( x) , [C ? u ( x)]′ = C ? u '( x) ;

? u ( x) ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) ? v( x) ? = v 2 ( x) ? ?

'

(v( x) ≠ 0) .

(3)复合函数的求导法则:首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函 数关系 y=f(μ),μ=f(x);然后将已知函数对中间变量求导 ( y '? ) ,中间变量对 自变量求导 ( ? ' x ) ;最后求 y '? ? ? 'x ,并将中间变量代回为自变量的函数 习题:① 若 f ( x) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f ′(1) = 2 ,则 f ′(?1) = . .
新疆 源头学子小屋
ht p /: w / ww.x jk t y g .c o m/ wx c/

特级 教师 王新敞
om wx ckt @1 2 6 .c

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则 f ′ ( 0) = ② 等比数列 {an } 中, a1 = 2 , a8 = 4 ,f ( x ) = x( x ? a1 )( x ? a2 ) " ( x ? a8 ) , ③ 求下列函数的导数:
x ?1 (1) y = ln ( x > 1) x +1

(2) y = ln

x4 x2 + 1

.

3、导数的应用: (1)求函数的单调性:用导数求函数单调区间的一般步骤为:求 f ′( x) ;
f ′( x) >0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f ′( x) <0 的解集与定义域的

交集的对应区间为减区间. 例题:① 函数 f ( x) = x 2 e? x 的单调递增区间为
k 2

.

② 已知函数 f ( x) = ln(1 + x) ? x + x 2 (k ≥ 0) ,求 f ( x )的单调区间. (1, 4) 内为减函数, 在区间(6, ③ 若函数 f ( x) = x3 ? ax 2 + (a ? 1) x + 1 在区间
6

1 3

1 2

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+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围. ④已知函数 f ( x) = 3ax 4 ? 2(3a + 1) x 2 + 4 x 在 ( ?1,1) 上是增函数,求 a 的取值范围. 习题:① 函数 f ( x) = x3 ? 15 x 2 ? 33x + 6 的单调减区间为 ② 若 f ( x) = ax3 + x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围是 . .

(2)求函数的极值:求导数 f ′( x) ;求方程 f ′( x) =0 的根;用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查 f ′( x) 在方 程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这个根处取得极大值;如果 左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或 都为负,则 f ( x) 在这个根处无极值. 例题:设函数 f ( x ) = sin x ? cos x + x + 1 , 0 < x <
π
2

,求函数 f (x ) 的极值.

(3)求函数的最值:利用导数求函数的最值步骤:求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; 将 f ( x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 [ a, b ] 上的最值. 例题:① 函数 f ( x) = x3 ? 3x 2 + 2 在区间 [ ?1,1] 上的最大值是
1 2 1 ③ 设函数 f ( x) = x3 ? (1 + a) x 2 + 4ax + 24a ,其中常数 a > 1 . 3

.

② 求抛物线 y = x 2 上与点 A(6,0) 距离最近的点.

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若当 x ≥ 0 时, f ( x) > 0 恒成立,求 a 的取值范 围. 四、数学竞赛与自主招生中的极限与导数例题与方法 1.极限的求法。 例1 (1) (2) ;
7

求下列极限 ;

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(3) (4) 例2 (1) (2) (3) 2.连续性的讨论。 例3 求下列极限: (1+x)(1+x2)(1+ ; 。 )…(1+



)(|x|<1);

设 f ( x) 在(-∞,+∞)内有定义, 且恒满足 f ( x + 1) = 2 f ( x) , 又当 x ∈ [0,1) 时,

f ( x) = x(1 ? x) 2 ,试讨论 f ( x) 在 x = 2 处的连续性。

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 例4 并且与曲线 求过点 (2, 0)
y= 1 x 相切的直线方程。

4.导数的计算。 例5 求下列函数的导数:

5 x 2 + 3x ? x (1) y = sin(3 x + 1);(2) y = ;(3) y = ecos 2 x ; x 1 (4) y = ln( x + x 2 ? 1)(5) y = (1 ? 2 x) x (0 < x < ). 2

5.用导数讨论函数的单调性。 例6 设 a > 0 ,求函数 f ( x) = x ? ln( x + a )( x ∈ (0, +∞)) 的单调区间。

6.利用导数证明不等式。 例7 设 x ∈ (0, ) ,求证: sin x + tan x > 2 x .
2

π

7.利用导数讨论极值。

8

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例8

设 f ( x) = a ln x + bx 2 + x 在 x1 = 1 和 x2 = 2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值, 并

指出这时 f ( x) f(x)在 x1 = 1 和 x2 = 2 处是取得极大值还是极小值。 例 9 设 x ∈ [0, π ], y ∈ [0,1], 试求函数 f ( x, y ) = (2 y ? 1) sin x + (1 ? y ) sin(1 ? y ) x 的最小值。 微积分与不等式 1. 证明: (1) ln ( n 2 + 1) + ln ( n 2 + 3) + " + ln ( n 2 + 2n ? 1) < 1 + 2n ln n ; (2) 1 ?
2 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1 ? < ln ? 1 + 2 ? + ln ? 1 + 2 ? + " + ln ? 1 + 2 ? < 1 ; 3n n ? ? n ? ? n ? ?
1
2

3
2

2 n ?1 n2

(3) n + 1 < e n + e n + " + e (4) 1 ?

< n +1+

4 ; 3n

1 1 3 2n ? 1 < sin 2 + sin 2 + " + sin 2 < 1 ; 2 3n n n n

(5) e

?

2 3n

1 ?? 3? ? ? 2n ? 1 ? ?1 + 2 ? ?1 + 2 ?" + ?1 + 2 ? n ?? n ? n ? ? <? < 1; e
1 + 1 3 2n ?1 ?1 2 18n < cos cos "cos <e . n n n

(6) e

1 1 ? ? 2 6n

1? n +1 ? 1? ? 1? 2. 证明: (1) ln ? (2) n < e ; ?1 + ? + 2 ln ? 1 + ? + " + n ln ? 1 + ? < n ; ? 1? ? 2? ? n? n!

(3) 1!+ 2! + " + n n ! > 3. (1)
1 2 n <

n 2 + 3n . 2e

1 ? 3 ?" ? (2n ? 1) 1 2 4 2n ? ; (2) ln 2n < 2 ? < ? ln + ln + " + ln ? < ln 4n . 3 2n ? 1 ? 2 ? 4 ?" ? (2n) 2n ? 1
1 n
2

4. 证明: 2 < 5. 证明: 2 ?

+

1 n +1
2

+" +

1 (n + 1)
2

< 2 + 2(n ? n 2 ? 1) .

1 1 n ? ? ? ? 1 1 . < ∑ ?( n k + 1) k + ( n k ? 1) k ? < 2 + 1 n + 1 k =1 ? n ? ?

6. 填空:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? + ? + + ?" = ____________ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9

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23 ? 1 33 ? 1 n3 ? 1 2 7. 证明: 3 ? 3 " 3 > . 2 +1 3 +1 n +1 3

8. 设 a1 > 0 , an +1 = ln(1 + an ) .则 lim nan 是否存在? n →∞ 9. 记 {x} 表示 x 的小数部分,求 lim ( 2 + 3 ) . n →∞
n

{

}

10. 11. (3) ? ? 12. 13.

1? 证明 ln 2 ? ?1 + ? < ? x?

1 ( x > 0) x(1 + x)
2

sin x ? π sin x π 证明: (1) (2) ? > cos x, (0 < x < ) ; ? ? > cos x, (0 < x < ) ; 2 x 2 ? x ? sin x ? π ? > cos x, (0 < x < ) . 2 ? x ?
1? ? 1? 证明: ? ?1 + ? < e < ?1 + ? ? n? ? n?
n n +1

3

.
n

证明: 1 <

e ? 1? ?1 + ? ? n?
i

n

< 1+

e 1 ? 1? .证明: 1 < ? ?1 + ? < e. n 2n ? n? ? 1? ?1 + ? ? n?

14. 15.

证明: ∑ x (1 ? x)2i ≤
i =1

n

4 , (0 < x < 1) . 23

求所有满足下列条件的实数 α ,使得对于任意正数 x, y ,不等式

α ?1 xα x≤ y + α ?1 成立. α αy

16.

证明:

1 1 1 1 1 ; (1) + + " + < ln n < 1 + + " + 2 3 n 2 n ?1

(2)

ln 2 ln 3 ln n 1 2 ln 2 ln(n ? 1) + +" + < ln n < 1 + +"+ ; 2 3 2 2 n n ?1

(3) ln 2 + ln 3 + " + ln n < (n + 1) ln n ? n + 1 .

10


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