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2016年全国卷1数学文科试卷及答案(高考文科试卷)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题卷 第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.
1.设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7}

>答案: B 解析:常规的集合习题,考察交集的运算性质。 2.设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= A.-3 答案:A 解析:本题考察复数实部虚部的基本概念,展开化简可得 (a ? 2) ? (2a ? 1)i ,所以 a ? 2 ? 2a ? 1 ,即 a ? ?3 . 3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中, 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A. B.-2 C.2 D.3

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

答案:C. 解析:本题考察古典概率。从基本情况出发只要确定一个花坛的颜色,另一个花坛随之确定,所以有我们只需要确 定一个花坛就好,因此有以下情况:红黄,红白,红紫,黄白,黄紫,白紫六种情况;其中红紫不在一起的情况有 四种,所以答案

2 3 2 ,则 b= 3

4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? A. 2 答案:D B. 3 C.2 D.3

解析:本题考察余弦定理,根据题目条件画出图形可以列出等式 a ? b ? c ?2bc cos A ,带入已知条件化简可得
2 2 2

3b2 ? 8b ? 3 ? 0 ,解得 b ? 3 .
1 5.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 4 A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 3 D. 4

1 / 10

答案:B 解析:如图,利用△BOF 的面积可得

1 1 bc ? a OD ,带入已知条件化简得 2 2

c 1 ? ?e a 2
π 1 6.若将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 6 4 π A. y=2sin(2x+ ) 4 答案:D 解析:该函数的周期为 T ? π B. y=2sin(2x+ ) 3 π C. y=2sin(2x– ) 4 π D. y=2sin(2x– ) 3

2?

?

? ? ,所以函数向右平移

?
4

,得 y ? 2sin(2( x ?

?

) ? ) ,化简可得 y=2sin(2x–3). 4 6

?

π

7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几 28π 何体的体积是 ,则它的表面积是 3 A.17π 答案:A 解析:该图形的直观图如图所示,所以此图属于切割体,切去了该球 B.18π C.20π D.28π

1 的体积,根据体 8

积公式 V球 =

4 3 1 7 4 28 7 ? r ,有 (1 ? )V球 = ? ? r 3 ? ? ,解得 r ? 2 。所以表面积 S ? S球 ? S截面 = ?4? ? r 2 ? 3? ? ?r 2 , 3 8 8 3 3 8

即 S ? 17? . 8.若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则 A. loga c ? logb c B. logc a ? logc b C. a ? b
c c

D. c ? c
a

b

答案:B 解析:本题属于指对数比较大小问题. 9.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A.

B.

C.

D.

2 / 10

答案:D 解析: 根据选择图像的步骤和排除法选择。 函数在定义域中为偶函数且 f (2) ? 0 , 排除 A;当 x ? 0 求导 y ? ? 4 x ? e x ,即 f ?(0) ? 0 , f ?( ) ? 0 。因此极值点一 定在 (0, ) ,因此答案选 D. 10.执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0, y ? 1, n=1,则输出 x, y 的值满足 A. y ? 2 x C. y ? 4 x 答案:C 解析:根据程序图可得最终输出 x ? B. y ? 3x D. y ? 5 x

1 2

1 2

3 , y ? 6 ,代入四个选项可得 C,即答案为 C. 2

11.平面 ? 过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A, ? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m ,? ? 平面ABB1 A 1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为 A.

3 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3

答案:A. 解析:画出大概图形,在前面和下面各接一个正方体可以得到 m 、 n 两边,根据异面直线所求角的方法将两个移到 一个三角形中即 △A1 BD ,易得 m 、 n 所成角的正弦值为

3 ,即答案为 A. 2

12.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是 A. ??1,1? B. ? ?1, ? 3

1 3

? ?

1? ?

C. ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

D. ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

答案:C 解析:此题考察恒成立问题,对原函数求导可得 f '( x) ? 1 ?

2 4 5 cos 2 x ? a cos x ? ? cos 2 x ? a cos x ? ,若原函 3 3 3 4 2 t ? 3at ? 5 ? 0 ,分别带入 t ? 1 和 t ? ?1 , 3

y'? ? 数在 R 上单调递增, 则 f '( x) ? 0 恒成立, 设 cos x ? t ,(t ?[?1,1]) ,
? 1 1? ? ?

解得 ? ? , ? . 3 3

3 / 10

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题-第(24)题为选 考题,考生根据要求作答.

二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
13.设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x=. 答案: ?

2 3 2 3

b ? 0 ,所以 3 x ? 2 ? 0 ,即 x ? ? 解析:本题考察向量垂直的坐标运算,由题意知: a ?
14.已知 θ 是第四象限角,且 sin (θ+ 答案: ?

π 3 π )= ,则 tan (θ– )=. 4 5 4

4 3

解 析 : 本 题 考 察 同 角 的 三 角 函 数 关 系 , 三 角 函 数 的 符 号 判 断 以 及 诱 导 公 式 的 运 用 : cos(? ?

?
4

)?

cos(? ?

?

? ? 3 ? 3 ? ? ) ? sin(? ? ) ? ,因为 θ 是第四象限角,且 cos(? ? ) ? ,所以 ? ? 也在第四象限,即 4 2 4 5 4 5 4

sin(? ? ) ? 4 ? 4 ?4. sin(? ? ) ? ? ,所以 tan(? ? ) ? ? 4 5 4 cos(? ? ) 3 4
15.设直线 y ? x ? 2a 与圆 C: x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 相交于 A,B 两点,若 | AB |? 2 3 ,则圆 C 的面积为。
2 2

?

答案: 4? 解析:此题考察直线与圆的位置关系,点到直线的距离等公式;直线方程的一般式可以写作: x ? y ? 2a ? 0 ,圆 的标准方程为: x2 ? ( y ? a)2 ? 2 ? a2 ,则圆心到直线的距离为: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

?

|a| ,利用勾股定理有: 2

(

a 2 AB 2 ) ?( ) ? r 2 ,解得 a ? 2 ,所以半径为 r ? 2 ,所以面积为 4? 2 2

16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg, 用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产 产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。 答案:216000

4 / 10

?3 x ? y ? 300 ? x ? 0.3 y ? 90 ? ? 解析:根据题目可得目标函数为 z ? 2100x ? 900y ,可行域满足的不等式组为 ?5 x ? 3 y ? 600 ,根据线性规划可 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
得目标函数的最大值为 216000.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ? 满足 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn ,. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?bn ? 的前 n 项和. 解析: (Ⅰ)由 anbn?1 ? bn?1 ? nbn 知 a1b2 ? b2 ? b1 带入已知条件得: a1 ? 2 所以由 an ? a1 ? (n ?1)d 得 an ? 3n ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 3

anbn?1 ? bn?1 ? nbn ,即 (3n ?1)bn?1 ? bn ? nbn
所以

1 bn ?1 1 ? ,所以 ?bn ? 是一个以 1 为首项, 为公比的等比数列 3 bn 3
1 1[1 ? ( ) n ] 3 3 1 3 ? ? ?( ) n 1 2 2 3 1? 3

b (1 ? q n ) 其前 n 项和为: 1 ? 1? q

18.(本题满分 12 分) 如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,D 在平面 PAB 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G. (Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点; (Ⅱ) 在答题卡第(18) 题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) , 并求四面体 PDEF 的体积. 解析: (Ⅰ)证明: ∵D 为 P 在面 ABC 的正投影, ∴PD⊥面 ABC ∴PD⊥AB 又∵E 为 D 在面 APB 的正投影 ∴DE⊥面 APB ∴DE⊥AB
5 / 10

∴AB⊥面 PGD ∴AB⊥PG 又∵正三棱锥 P-ABC,∴PA=PB ∴G 为 AB 的中点(三线合一) (Ⅱ) 正三棱锥 P ? ABC 中 PA ? PB ? PC ,且各面都为直角三角形,因 PA ? PB 、 PC ? PB 、 PA ? PC ,所以

平面PAC ? PB ,作 EF // PB 交 PA 于 F ,则 EF ? 平面PAC ,所以 F 为 E 在平面 PAC 内的投影;
D 为三角形 ABC 的重心, PA ? 6 , 正三棱锥 P ? ABC 中, 因此 DG ? AB ? 6 2 ,

6 , PG ? 3 2 , PD ? 2 3 ,

EF ? PA , EF ? PF ? 2 , 在三角形 PGD 中, 由射影定理可得 PE ? 2 2 , 又因为三角形 PAB 为等腰直角三角形,
因 此 S△ PEF ?

1 * 2 * 2 ? 2 , D ? PEF 的 高 为 DE , 根 据 等 面 积 法 可 以 得 到 DE =2 , 因 此 四 面 体 的 体 积 为 2

1 4 *2*2 ? 3 3
19.(本小题满分 12 分) 某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零 件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购 买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位: 元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于 n‖的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (Ⅲ)100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计算这 100 台机器 在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 解析: (Ⅰ) y ? ?

?3800,16 ? x ? 19 ?3800 ? ( x ? 19) ? 500, x ? 19

(Ⅱ)此题要求为求平均值,即 16 ? 0.06 ? 17 ? 0.16 ? 18 ? 0.24 ? 19 ? 0.24 ? 20 ? 0.2 ? 21? 0.1 = 18.66 ,所以 n 最 小取 19. (Ⅲ)若都购买 19 个易损零件,则费用为: 19 ? 200 ? 70 ? 20 ? 500 ? 2 ? 500 ?10 ? 286000 元 若都购买 20 个易损零件,则费用为:
6 / 10

20 ? 90 ? 200 ? 500 ?10 ? 410000 元
所以每一台机器购买 19 个零件划算. 20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l : y ? t (t ? 0) 交 y 轴于点 M,交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 P,M 关于点 P 的 对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (Ⅰ)求

OH ON



(Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 解析: (Ⅰ)如图所示: 已知 M (0, t ) ,P 点纵坐标与 M 相同,所以带入抛物线求得 P (

t2 , t) 2p

t2 又∵N 点是 M 点关于 P 的对称点,所以 N ( , t ) , p
设 ON 所在直线方程为 y ? kx ,带入点 N 解得 k ?

p p ,所以直线为 y ? x t t

联立直线与抛物线方程解得 H (

2t 2 , 2t ) p



OH ON

?

xH ?2 xN

(Ⅱ)不存在除 H 以外的公共点。 由(Ⅰ)知 M (0, t ) , H (

2t 2 , 2t ) p
p x?t , 2t
p2 2 x ? px ? t 2 ? 0 4t 2

可得 MH 所在直线方程为 y ?

与抛物线方程联立消去 y 得:

该方程 Δ=0,所以表明直线与抛物线只有一个交点。 所以不存在 H 以外的交点。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ?1) .
x 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.

7 / 10

解析: (Ⅰ) f '( x) ? (e x ? 2a)( x ?1) ①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 解得 x ? 1 ; f '( x) ? 0 解得 x ? 1 ; ②当 a ? ?

e 时, f '( x) ? 0 解得 x ? ln 2 a 或者 x ? 1 ; f '( x) ? 0 解得 1 ? x ? ln 2a 2

③a ? ?

e , f '( x) ? 0 解得 x ? 1 或者 x ? ln 2a ; f '( x) ? 0 解得 ln 2a ? x ? 1 2 e , f '( x) ? 0 恒成立; 2

④a ? ?

( Ⅱ ) 设 f ( x) ? 0 即 ( x ? 2)e x ? a( x ? 1) 2 ? 0 , 当 x ? 1 时 等 式 不 成 立 。 当 x ? 1 时 , a ?

( 2 ? x )e x ,设 ( x ? 1) 2

(2 ? x)e x ? ( x ? 1)e x ( x 2 ? 4 x ? 5) ? ,因此 g ( x) ? ; g ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 4
当 x ? 1 时 g ( x) ?

(2 ? x)e x (2 ? x)e x x ? 1 单 调 递 减 , 当 时 单 调 递 增 , 而 且 x ? ?? 时 , g ( x ) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

g ( x) ?

(2 ? x)e x (2 ? x)e x x ? 1 x ? 1 ,因此当 时, 且单调递增,当当 时 单调递减,而且 g ( x ) ? 0 ? 0 g ( x ) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

(2 ? x)e x x ? 1 时, g ( x) ? ? ?? , g (2) ? 0 ,因此函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ?1)2 有两个零点时 a 的取值范 2 ( x ? 1)
围为 a ? 0 。 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

?OAB 是等腰三角形, 如图, ∠AOB=120° .以⊙O 为圆心, OA
为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙O 相切; (Ⅱ)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD. 解析: (Ⅰ)过 O 点,作 OE⊥AB 交 AB 与 E 若证得 OE=

1 2

1 OA ,则该圆与 AB 相切: 2
?

因为 ?OAB 是等腰三角形,∠AOB=120° ,所以 ?A ? 30 , 由直角三角形 OEA 知 OE=

1 OA ,所以命题得证; 2
8 / 10

(Ⅱ)由四点共圆对角互补可知,如图 ?CDA ? ?CBA ? 180 ,
?

即 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? 180

?

所以: (?1 ? ?4) ? (?2 ? ?3) ? 180? 即 ?CDA ? ?DAB ? 180
?

所以 AB∥CD 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t 。在以坐标原点为极点,x 轴正半轴 , (t 为参数,a>0) ? y ? 1 ? a sin t

为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? a0 ,其中 a0 满足 tan a0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a . 解析: (Ⅰ)根据 C1 参数方程的形式知其是一个以 (0,1) 为圆心,a 为半径的圆 所以其标准方程为: x2 ? ( y ?1)2 ? a2 利用极坐标转换可得: ? 2 cos2 ? ? ( ? sin ? ?1)2 ? a2 化简得: ? 2 ? 2? sin ? ? a2 ? 1 ? 0 (Ⅱ)由题意知 C3 为直线方程: y ? 2 x , C2 为圆的方程: ( x ? 2) ? y ? 4
2 2 2 2 2 联立 C2,C3 解得公共点为: (0, 0), ( , ) ,带入 x ? ( y ?1) ? a

4 8 5 5

可得 a ? 1 . 24.(本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 3 | (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)求不等式 | f ( x) |? 1 的解集。

解析: (Ⅰ)由题意指该函数可以用分段函数的形式表达:

9 / 10

? ? ??( x ? 1) ? (2 x ? 3), x ? ?1 ? x ? 4, x ? ?1 ? ? 3 3 ? ? f ( x) ? ?( x ? 1) ? (2 x ? 3), ?1 ? x ? ,化简后得 f ( x) ? ?3x ? 2, ?1 ? x ? ,所以描点作图如下: 2 2 ? ? 3 3 ? ? ( x ? 1) ? (2 x ? 3), x ? ? x ? 4, x ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? 4, x ? ?1 ? 3 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ?3x ? 2, ?1 ? x ? 2 ? 3 ? ? x ? 4, x ? ? ? 2 ? ?| x ? 4 |, x ? ?1 ? 3 ? 所以 | f ( x) |? ?| 3 x ? 2 |, ?1 ? x ? ,分别解得: 2 ? 3 ? | ? x ? 4 |, x ? ? ? 2
①当 x ? ?1 时,均满足题意; ②当 ?1 ? x ?

3 1 3 ,解得 ?1 ? x ? 或者 1 ? x ? 2 3 2

③当 x ?

3 3 ,解得 ? x ? 3 或者 x ? 5 2 2 1 3

综上所述:解集为 (??, ) ? (1,3) ? (5, ??)

10 / 10


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