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【解析】河南省郑州市登封市2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(理科)


河南省郑州市登封市 2014-2015 学年高二(下)期中数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. A. ( 1 ) B. e ﹣1 C. e D. e+1

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:利用定积分的计算法则解答即可. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )|
x x 2

=e+1﹣1=e,

故选:C. 点评:本题考查定积分的计算,关键是求出原函数,属于基础题. 2.复数 A. 的虚部为( ) B. C. D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:复数 = = =﹣ + i 的虚部为 .

故选:D. 点评:本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了计算能力,属于基础题. 3.下面是一段“三段论”推理过程:若函数 f(x)在(a,b)内可导且单调递增,则在(a,b) 3 内,f′(x)>0 恒成立.因为 f(x)=x 在(﹣1,1)内可导且单调递增,所以在(﹣1,1) 2 内,f′(x)=3x >0 恒成立.以上推理中( ) A. 大前提错误 B.小前提错误 C. 结论正确 D.推理形式错误 考点:演绎推理的意义. 专题:规律型. 分析:在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小 前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“f(x)在区间(a,b)上 是增函数,则可导函数 f(x) ,f′(x)>0 对 x∈(a,b)恒成立”,不难得到结论.

解答: 解:∵对于可导函数 f(x) ,f(x)在区间(a,b)上是增函数,f′(x)>0 对 x∈(a, b)恒成立,应该是 f′(x)≥0 对 x∈(a,b)恒成立, ∴大前提错误, 故选:A. 点评:演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依 据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中 所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一 个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了 一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理, 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那 么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 4.函数 f(x)=x ﹣3x﹣1,x∈.则 f(x)的最大值与最小值的差为( A. 20 B. 18 C. 考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:求导 f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) ,从而可判断 f(x)在,上是增函数,在(﹣1, 1)上是减函数;从而求出 fmax(x)=1,fmin(x)=﹣19;从而解得. 3 解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x﹣1, 2 ∴f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) , ∴当 x∈时,f′(x)>0; 当 x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0; ∴f(x)在,上是增函数,在(﹣1,1)上是减函数; 而 f(﹣3)=﹣27+9﹣1=﹣19,f(﹣1)=1,f(1)=﹣3,f(2)=8﹣6﹣1=1, ∴fmax(x)=1,fmin(x)=﹣19; 故 f(x)的最大值与最小值的差为 20; 故选:A. 点评:本题考查了导数的综合应用及函数在闭区间上的最值的求法,属于中档题.
2 3

) 4 D. 0

5.用数学归纳法证明 1+a+a +…+a 应为( ) A. 2 3 1+a+a +a

2

n+1

=

(a≠1,n∈N ) ,在验证当 n=1 时,等式左边

*

1

B.

1+a C.

1+a+a

2

D.

考点:数学归纳法. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:由数学归纳法即可得出. 2 解答: 解:在验证当 n=1 时,等式左边应为 1+a+a . 故选:C. 点评:本题考查了数学归纳法证题的步骤,属于基础题.

6.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( A. a,b,c 中至少有两个偶数 B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C. a,b,c 都是奇数 D. a,b,c 都是偶数



考点:反证法与放缩法. 专题:阅读型. 分析:找出题中的题设,然后根据反证法的定义对其进行否定. 解答: 解:∵结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” 可得题设为:a,b,c 中恰有一个偶数 ∴反设的内容是 假设 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数. 故选 B. 点评:此题考查了反证法的定义,反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或不能得 到证明时,就需要运用反证法,此即所谓“正难则反“. 7.已知 f(x)=sinx+cosx,且 f1(x)=f′(x) ,fn+1(x)=fn′(x) (n∈N ) ,则 f2015(x)=( A. ﹣sinx﹣cosx B.cosx﹣sinx C. sinx﹣cosx D.sinx+cosx 考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:求函数的导数,确定函数 fn′(x)的周期性即可. 解答: 解:∵f(x)=sinx+cosx, ∴f1(x)=f′(x)=cosx﹣sinx, ∴f2(x)=f1′(x)=﹣sinx﹣cosx, f3(x)=f2′(x)=﹣cosx+sinx, f4(x)=f3′(x)=sinx+cosx, f5(x)=f4′(x)=cosx﹣sinx, …, fn+4′(x)=fn′(x) , 即 fn′(x)是周期为 4 的周期函数, f2015(x)=f2014′(x)=f1′(x)=cosx﹣sinx, 故选:B. 点评:本题主要考查导数的计算,根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键. (a∈R,i 为虚数单位)为实数,则
*



8.已知复数 为( A. 4+4π 考点:定积分. )



+x)dx 的值

2+π B.

2+

C. 4+2π

D.

专题:导数的概念及应用. 分析:由复数定义易得 a=2,由定积分的几何意和定积分的计算可得. 解答: 解:∵ ∴ ( +x)dx= =a+(a﹣2)i, (a∈R,i 为虚数单位)为实数,∴a=2, dx+ xdx,
2 2

由定积分的几何意义可知 ∴= dx+ xdx=π+ |

dx 表示圆 x +y =4 面积的四分之一,为 π, =π+2,

故选:A. 点评:本题考查复数的基本概念和定积分的求解,属基础题 9.从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性( )

A.

B.

C.

D.

考点:进行简单的合情推理. 专题:规律型. 分析:观察图形知,四个图形中的三条线段与圆共有 3 个交点. 解答: 解:观察图形知:第一、二、三、四个图形中,都是由圆和三条线段组成,且这三 条线段与圆共有 3 个交点.观察选项,只有 B 选项符合题意. 故选:B. 点评:此题考查了事物的简单搭配规律,只要认真观察,找出规律,解答应该比较简单. 10.在弹性限度内,弹簧所受的压缩力 F 与缩短的距离 l 按 胡克定律 F=kl 计算.今有一弹簧 原长 80cm,每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力,若把这根弹簧从 70cm 压缩至 50cm(在弹性限 度内) ,外力克服弹簧的弹力做了( )功(单位:J) A. 0.196 B.0.294 C. 0.686 D. 0.98 考点:定积分;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据题意,求变力做功,应用积分求出正确答案. 解答: 解:∵弹簧原长 80cm,每压缩 1cm 需 0.049N 的压缩力, 80﹣70=10cm=0.1m,80﹣50=30cm=0.3m; ∴每压缩 1m 需 4.9N 的压缩力,

外力克服弹簧的弹力做的功是变力做功, ∴W= 4.9xdx=4.9× x
2

=4.9× ×(0.3 ﹣0.1 )=4.9× ×0.08=0.196(J) ,

2

2

故选:A. 点评:本题考查了变力做功的问题,应用积分可以求出结果,解题时注意单位统一. 11.已知函数 f(x)的定义域为,部分对应值如表, x ﹣10245 f(x)1 2021 f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示.当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数为( )

A.

1

B.

2

C.

3

D. 4

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:根据导函数图象,画出原函数的草图,利用 1<a<2,即可得到函数 y=f(x)﹣a 的零 点的个数 解答: 解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象如图:

因为 f(0)=f(3)=2,1<a<2, 所以函数 y=f(x)﹣a 的零点的个数为 4 个. 故选:D. 点评:本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数为正, 原函数递增;导函数为负,原函数递减,本题属于中档题

12.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. (﹣2,+∞) B.(0,+∞) D.(4,+∞) 考点:利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析:构造函数 g(x)= (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,
x

C. (1,+∞)

即可求解 解答: 解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于 x=0 对称 ∴y=f(x)的图象关于 x=2 对称 ∴f(4)=f(0) 又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设 g(x)= (x∈R) ,则 g′(x)= =

又∵f′(x)<f(x) ,∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减 ∵f(x)<e ∴g(x)<1
x

又∵g(0)=

=1

∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选 B. 点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数 的单调性是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (文)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5)= 2 .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据导数的几何意义,结合切线方程,即可求得结论.

解答: 解:由题意,f(5)=﹣5+8=3,f′(5)=﹣1 ∴f(5)+f′(5)=2 故答案为:2 点评:本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 14.已知 a∈R,复数 z=(a﹣2i) (1+i) (i 为虚数单位)的共轭复数 在复平面内对应的点在 第四象限,则 a 的取值范围为 (﹣2,2) . 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:求出复数的对应点的坐标,利用已知条件列出不等式组,求解即可. 解答: 解:复数 z=(a﹣2i) (1+i)=a+2+(a﹣2)i. a∈R,复数 z=(a﹣2i) (1+i) (i 为虚数单位)的共轭复数 在复平面内对应的点在第四象限, 可得: ,解得 a∈(﹣2,2)

故答案为: (﹣2,2) . 点评:本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力. 15.“证明:通项公式为 an=cq (cq≠0)的数列{an}是等比数列.”所依据的大前提是 等比数 列的定义 . 考点:演绎推理的基本方法. 专题:推理和证明. 分析:用三段论形式推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据,由数列{an}的通项公 n 式为 an=cq (cq≠0) ,得到数列{an}是等比数列,可得到大前提为等比数列的定义 n 解答: 解:将推理过程通项公式为 an=cq (cq≠0)的数列{an}是等比数列写成三段论为: 大前提:从第二项开始,后一项与前一项的比值为定值的数列为等比数列(等比数列的定义) , n 小前提:数列{an}的通项公式为 an=cq (cq≠0) ,满足等比数列的定义, 结论:数列{an}是等比数列 故大前提是:等比数列的定义, 故答案为:等比数列的定义 点评:本题考查用三段论形式推导一个命题成立,要求我们填写大前提,这是常见的一种考 查形式,属于基础题.
n

16. 对于命题: 若 O 是线段 AB 上一点, 则有| 若 O 是△ ABC 内一点,则有 S△ OBC?

|?

+|

|?

= . 将它类比到平面的情形是: = ,将它类比到空间情形可 +VO﹣ABD? +VO﹣

+S△ OCA?

+S△ OBA?

以是: 若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO﹣BCD?
ABC?

+VO﹣ACD?

=



考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质,一般的思路是:点到线,线到面,或 是二维变三维;由题目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△ OBC? +S△ OCA? +S△ OBA? = ,的结论是二维线段长与向量的关系式,类比后的结论

应该为三维的体积与向量的关系式. 解答: 解:由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质, 一般的思路是:点到线,线到面,或是二维变三维,面积变体积; 由题目中点 O 在三角形 ABC 内,则有结论 S△ OBC? +S△ OCA? +S△ OBA? = , +VO

我们可以推断若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO﹣BCD?
﹣ABC

+VO﹣ACD?

+VO﹣ABD?

?

= . +VO﹣ACD? +VO﹣ABD? +VO﹣

故答案为:若 O 为四面体 ABCD 内一点,则有 VO﹣BCD?
ABC?

= .

点评:本题考考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的 相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜 想) . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 .

(1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,确定切线的斜率,切点的坐标,可得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线方程; (2)求导数,确定函数的单调性,即可求函数 f(x)的极值. 解答: 解: (1)由 ,…(2 分)

得 f′(1)=﹣2 又 f(1)=0…(3 分) ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣0=﹣2(x﹣1) ,即 2 x+y﹣2=0.…(5 分) (2)函数 的定义域为(0,+∞) .





令 f'(x)=0,解得 x=﹣1 或 x=5. 因 x=﹣1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.…(7 分) 当 x∈(0,5)时,f'(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数; 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=﹣ln5.…(10 分) 点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与极值,正确求导是关键. 18.推理与证明是数学的一般思考方式,也是学数学、做数学的基本功.请选择你认为合适 的证明方法,完成下面的问题. 已知 a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a,b,c,全为正数. 考点:反证法与放缩法. 专题:证明题;推理和证明. 分析:本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论 的线索不够清晰.于是考虑采用反证法.假设 a,b,c 不全是正数,这时需要逐个讨论 a,b, c 不是正数的情形.但注意到条件的特点(任意交换 a,b,c 的位置不改变命题的条件) ,我 们只要讨论其中一个数(例如 a) ,其他两个数(例如 b,c)与这种情形类似. 解答: 证明:假设 a,b,c 是不全为正的实数,由于 abc>0, 则它们只能是两负一正,不妨设 a<0,b<0,c>0.…(3 分) 又∵ab+bc+ca>0,∴a(b+c)+bc>0,且 bc<0, ∴a(b+c)>0.①…(7 分) 又∵a<0,∴b+c<0.∴a+b+c<0…(10 分) 这与 a+b+c>0 相矛盾. 故假设不成立,原结论成立,即 a,b,c 均为正实数.…(12 分) 点评:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.反 证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与 定义、公理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工 具,是数学证明中的一件有力武器.推理与证明是数学的一般思考方式,也是学数学、做数学 的基本功.

19.已知复数 w 满足 w﹣4=(3﹣2w)i(i 为虚数单位) ,



(1)求 z; 2 (2)若(1)中的 z 是关于 x 的方程 x ﹣px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值及方程的另一个 根. 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)解法一:利用复数的运算计算出 w,代入 z 即可得出. 解法二:设 w=a+bi(a、b∈R) ,利用复数的运算法则与复数相等解出 w,即可得出. 2 (2)把 z=3+i 代入关于 x 的方程 x ﹣px+q=0,利用复数相等解出 p,q,即可得出. 解答: 解: (1)解法一:∵w(1+2i)=4+3i,∴ ,





解法二:设 w=a+bi(a、b∈R) ,a+bi﹣4=3i﹣2ai+2b, 得 ,∴

∴w=2﹣i, 以下解法同解法一. 2 (2)∵z=3+i 是关于 x 的方程 x ﹣px+q=0 的一个根, 2 ∴(3+i) ﹣p(3+i)+q=0(8﹣3p+q)+(6﹣p)i=0, ∵p,q 为实数,∴ 解得 p=6,q=10. 解方程 x ﹣6x+10=0 得 ∴实数 p=6,q=10,方程的另一个根为 x=3﹣i. 点评:本题考查了复数的运算法则、复数相等解,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.已知某商品的进货单价为 1 元/件,商户甲往年以单价 2 元/件销售该商品时,年销量为 1 万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为 x 元/ 件(1≤x≤2) ,今年新增的年销量(单位:万件)与(2﹣x) 成正比,比例系数为 4. (1)写出今年商户甲的收益 y(单位:万元)与今年的实际销售单价 x 间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往 年收益更多)?说明理由. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)直接根据题意可写出今年的销售量,从而可计算出客户甲的收益; (2)根据(1)中建立的函数,求导,令导数等于 0,求出极大值点和极大值,再求出 x=2 时 的函数值,进行比较,最大的就是最大值. 2 解答: 解 (1)由题意知,今年的年销售量为 1+4(x﹣2) (万件) . ∵每销售一件,商户甲可获利(x﹣1)元, ∴今年商户甲的收益 y=(x﹣1) 3 2 =4x ﹣20x +33x﹣17, (1≤x≤2) . (2)由(1)知 3 2 y=4x ﹣20x +33x﹣17,1≤x≤2, 2 ∴y′=12x ﹣40x+33=(2x﹣3) (6x﹣11) . 令 y′=0,解得 x= ,或 x= x .列表如下: ( , ) ( ,2)
2 2



(1, )

f′(x) + f(x) 递增

0 极大值

﹣ 递减

0 极小值

+ 递增

又 f( )=1,f(2)=1, ∴f(x)在区间上的最大值为 1(万元) . ∵往年的收益为(2﹣1)×1=1(万元) , ∴商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益. 点评:本题主要考查实际问题中的数据提取和分析能力,考查导数再求函数最大值中的应用, 属于中档题. 21.观察下列等式:

照以上式子规律: (1)写出第 5 个等式,并猜想第 n 个等式; (n∈N ) * (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立. (n∈N ) 考点:数学归纳法;归纳推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析: (1)通过前 4 个表达式,直接写出第 5 个等式,并猜想第 n 个等式; (n∈N ) * (2)用数学归纳法证明步骤,直接证明上述所猜想的第 n 个等式成立. (n∈N ) 2 解答: 解: (1)第 5 个等式为:5+6+7+8+9+10+11+12+13=9 …(2 分) 2 * 第 n 个等式为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1) ,n∈N …(5 分) 2 (2)①当 n=1 时,等式左边=1,等式右边=(2﹣1) =1,所以等式成立.…(6 分) * 2 ②假设 n=k(k∈N )时,等式成立,即 k+(k+1)+(k+2)+…+(3k﹣2)=(2k﹣1) (k≥1, * k∈N ) 那么,当 n=k+1 时, (k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k﹣2) +(3k﹣1)+3k+(3k+1)﹣k=(2k﹣1) +8k=[2(k+1)﹣1) , 即 n=k+1 时等式成立.…(11 分) * 根据(1)和(2) ,可知对任何 n∈N ,等式都成立.…(12 分) 点评:本题考查数学归纳法证明猜想成立,注意证明步骤的应用,缺一不可.
2 2 * *

22.已知函数 f(x)=

( e 是自然对数的底数) .

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x1≠x2,f(x1)=f(x2)时,证明:x1+x2>0. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间;

(2)由题意得:若 f(x1)=f(x2) ,x1≠x2,则必有 x1,x2∈(﹣1,+∞) ,不妨设 x1∈(﹣1, 0) ,x2∈(0,+∞) ,若证 x1+x2>0,即证 x2>﹣x1>0,只需证:f(x2)>f(﹣x1) ,即证明 在 x∈(﹣1,0)上恒成立,通过讨论 g(x)的单调性即可证明.

解答: 解: (1)由 f(x)=

(x≠﹣1)得:

,x≠﹣1,

令 f′(x)>0 得:x>0,令 f′(x)<0 得:x<0,x≠﹣1, 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) . (2)由(1)知,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)<0;当 x∈(﹣1,+∞)时,f(x)>0, 则 f(x)在(﹣1,0)为减函数,在(0,+∞)为增函数, 若 f(x1)=f(x2) ,x1≠x2,则必有 x1,x2∈(﹣1,+∞) , 不妨设 x1∈(﹣1,0) ,x2∈(0,+∞) . 若证 x1+x2>0,即证 x2>﹣x1>0,只需证:f(x2)>f(﹣x1) 即:f(x1)>f(﹣x1) ,设 g(x)=f(x)﹣f(﹣x) ,x∈(﹣1,0) , 即
2x

在 x∈(﹣1,0)上恒成立,

即(1﹣x)e ﹣(1+x)>0. 2x 2x 2x 设 h(x)=(1﹣x)e ﹣(1+x) ,x∈(﹣1,0)h′(x)=e (1﹣2x)﹣1, (h′(x)′=﹣4xe >0, ∴h′(x)是(﹣1,0)上的增函数,故 h′(x)<h′(0)=0, ∴h(x)是(﹣1,0)上是减函数,故 h(x)>h(0)=0,所以原命题成立. 点评:本题考察了函数的单调性,导数的应用,考察函数恒成立问题,通过证明 在 x∈(﹣1,0)上恒成立是解答(2)的关键,本题是一道难题.



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