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三角函数的图像(A)


三角函数的图像
(一) 熟悉.三角函数图象的特征:
y 1 -1 o y=sinx x y 1 -1 o y=cosx x

y=tanx

y=cotx (二)三角函数图象的作法: 1.几何法(利用三角函数线) 2. 描点法:五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲线). 3.利用图象变换作三角函数图象

. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等,重点掌握函数 y=Asin(ω x+φ )+B 的作法. 函数 y=Asin(ω x+φ )的物理意义: 振幅|A|, 周期 T ? 2? , 频率 f ? 1 ? | ? | , 相位 ? x ? ? ; 初相 ? (即当 x=0 时的相位) . (当
|? |
T 2?

A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) , (1)振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y)由 y=sinx 的图象上的点的横 坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到 y =Asinx 的图象. (2) 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换. (用ω x 替换 x)由 y=sinx 的图象上的点的纵 坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω |<1)或缩短(|ω |>1)到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sin
?

ω x 的图象. (3)相位变换或叫做左右平移.(用 x+φ 替换 x)由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ >0)或向右(当 φ <0)平行移动|φ |个单位,得到 y=sin(x+φ )的图象.
1

(4)上下平移(用 y+(-b)替换 y)由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向 下(当 b<0)平行移动|b|个单位,得到 y=sinx+b 的图象. 注意:由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0) (x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量 伸缩量的区别。 (三).变换作图 1.将 y ? f ( x) 的图象向 ?

?左 (m ? 0) 平移 m 个单位,得到 y ? f ( x ? m) 的图象 ?右 (m ? 0)
1

2. 将 y ? f ( x) 的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的

?

倍 (各点的纵坐标不变),得到

y ? f (?x) (? ? 0) 的图象.
3. 将 y ? f ( x) 的 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 ( 各 点 的 横 坐 标 不 变 ) , 得 到

y ? Af ( x) ( A ? 0) 的图象.
(四)

例 1、已知函数 y ? 2 sin( 2 x ? ) 。
3

?

(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象; (3)说明 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

---------------------------------------------------------------------

例 2、

(1)将函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) ( x ? R) 的图象向____平行移动______个单位,得到函

数_______ 的 图 象 , 再 把 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 _____ 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) ,得到函数

y ? cos x ( x ? R) 的图象。
(2) 将函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) ( x ? R) 的图象上各点的横坐标变为原来的_____倍(纵坐标不

变) ,得到函数______________的图象,再把图象向____平行移动______个单位,得到函数

y ? cos x ( x ? R) 的图象
即时反馈 1. (1) 将 函 数 y ? si n( x ?

1 2

?
6

) ( x ? R) 的 图 象 向 ____ 平 行 移 动 ______ 个 单 位 , 得 到 函 数

______________的图象,再把图象上各点的横坐标变为原来的_____倍(纵坐标不变) ,得到 函数 y ? sin x ( x ? R) 的图象

2

(2) 将函数 y ? sin(

1 ? x ? ) ( x ? R) 的图象上各点的横坐标变为原来的_____倍(纵坐标不 2 6

变) ,得到函数______________的图象,再把图象向____平行移动______个单位,得到函数

y ? sin x ( x ? R) 的图象
及时反馈 2. 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6

---------------------------------------------------------------------

例 3.已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 。
(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象; ( 3 )说明 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得 到?

---------------------------------------------------------------------

例 4.函数 y ? 4 sin( 2 x ? )( x ? R) 的图象如何变换得到函数 y ? 2 sin( 3x ? )( x ? R)
3 6
的图象.

?

?

及时反馈 1. 函数 y ? 3 cos( 3 x ? 象.

?
3

)( x ? R ) 的图象如何变换得到函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)( x ? R ) 的图

及时反馈 2. (1)将函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) ( x ? R) 的图象向____平行移动______个单位, 得到函数_______

的 图 象 , 再 把 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 _____ 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) ,得到函数

1 ? y ? sin( x ? ) ( x ? R) 的图象 2 6
(2) 将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) ( x ? R) ( x ? R) 的图象上各点的横坐标变为原来的 _____ 倍
3

(纵坐标不变) , 得到函数______________的图象, 再把图象向____平行移动______个单位, 得到函数 y ? sin( 即时反馈 3. (1) 将 函 数 y ? cos( x ?

1 ? x ? ) ( x ? R) 的图象 2 6
1 2

?
3

) ( x ? R) 的 图 象 向 ____ 平 行 移 动 ______ 个 单 位 , 得 到 函 数

_______ 的 图 象 , 再 把 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 _____ 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) ,得到函数

y ? cos( 3 x ?

?
6

) ( x ? R) 的图象
1 ? x ? ) ( x ? R) ( x ? R) 的图象上各点的横坐标变为原来的_____倍 2 3

(2) 将函数 y ? cos(

(纵坐标不变) , 得到函数______________的图象, 再把图象向____平行移动______个单位, 得到函数 y

? cos( 3 x ?

?
6

) ( x ? R) 的图象
? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变 4

---------------------------------------------------------------------

例 5.将函数 y ? f ( x) ? sin x( x ? R) 的图象向右平移
换,得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x 的图象,求 f ( x)

-------------------------------------------------------------------及时反馈 1. 若函数 y ? f ( x) 的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍, 然后将所得图象先向左平移

的图象相同,求 y ? f ( x) 的表达式。

? 1 个单位, 再向下平移 1 个单位, 得到的曲线与 y ? cos x 2 2

---------------------------------------------------------------------

例 6.

如图为 y ? A sin(?x ? ? )

( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

y

) 的图象的一段,求其解析式。

3
O

? 3
------------------------------------------------及时反馈 1. 函 数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ?

? 3

5? 6

x

? , x ? R) 的 部 分 图 象 如 图 所示 , 则 函 数 表 达 式 为 2
4





? ? ? ? x ? ) (B) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? (C) y ? ?4 sin( x ? ) (D) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4
(A) y ? ?4 sin( 及时反馈 2.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

? ?
2 4

,? ? ,? ?

? ?
4 4

B. ? ?

?

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

?

3

,? ?

?

及时反馈 3.已知函数 y ? 2sin(? x ? ?)(? ? 0) ) 在区间 ?0, 2?? 的图像如下:那么 ? =( A.1 B.2 C. ) y 1 O 1

1 2

D.

1 3



x

及时反馈 4.函数 f ( x) ? 2 sin | x ?
y 2 O x y 2 O

?
2

| 的部分图象是(
y 2


y 2 O

x

O

x

x

A 对称,求 m 的最小值。

B

C

D

例 7.把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位,所得的图象关于 y 轴

及时反馈 1. 把函数 y ? ?3 cos( 2 x ?

?
3

) 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位,设所得图象的


解析式为 y ? f ( x) ,则当 y ? f ( x) 是偶函数时, m 的值可以是( A、

? 3

B、

? 6

C、

? 4

D、

? 12

例 8.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则
MN 的最大值为(
A.1 ) C. 3 D.2

B. 2

5

课后练习(三角函数图像)
1. 函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 式为( ) A.-sinx

? 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析 2
C.-cosx D.cosx )

B.sinx

2. 为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

3. (天津卷 6)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 数是

? 个单位长度, 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函 2

x ? ),x?R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? 3 3 ? 4. 将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′, 若 F′的一条对称 3
(A) y ? sin(2 x ?

?

), x? R

(B) y ? sin( ?

轴是直线 x ? A.

?

4

,则 ? 的一个可能取值是 ( B. ?

) C.

5 ? 12

5 ? 12

11 ? 12

D. ?

11 ? 12

6


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