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四川省成都外国语学校2013届高三10月月考数学试题


(时间:120 分钟,满分 150 分) 命题人:黎梅 审题人:杜仕彪 试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试 务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、 准考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后 ,再选涂

其它答案标号; 3. 答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。
[来源:学科网]

一、选择题:本大题共 12 小题.每小 题 5 分,共 60 分. 1.复数
a ?i 1? i

的实部与虚部的和为 ? 1,则实数 a 的值为(A) (B) ? 2 (C)l
2

(A) ? 1

(D)2
R

2. 设全集 U=R, A ? x y ? (A)

?

2x ? x

? , B ? ? y y ? 2 , x ? R ? ,则 (C
x

A ) ? B ? (D



?x

x ? 0?

(B) ? x 0 ? x ? 1?

(C) ? x 1 < x ? 2 ?

(D) ? x x ? 2 ?

3.已知直线 l ? 平 面 ? , 直线 m ? 平 面 ? , 有下面四个命题: (B) ①? ∥ ? ? l ? m, ②? ? ? ? l ∥ m, ③ l ∥ m, ? ? ? ? , ④ l ? m ? ? ∥ ? .其中正确的两个命题是 (A)①与② (B)①与③ 4.下列 3 个命题: 2 2 (1)命题“若 a ? b ,则 a m ? b m ” ;
2

(C)②与④

(D)③与④

(2)“ a ? 2 ”是“对任意的实数 x , x ? 1 ? x ? 1 ? a 成立”的充要条件; (3)命题“ ? x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是: ? x ? R , x ? x ? 0 ” “ 其中正确的命题个数是(A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 5.在极坐标系中,圆 ? = ? 2 sinθ 的圆心的极坐标是(B)
2

(A) (1,

? 2

)

(B) (1, ?

? 2

)

(C)(1,0)

(D)(1, ? )

6.在正方体 ABCD —A1B1C1D1 中,直线 A1B 与平面 BC1D1 所成角的正切值为(C) (A)
2 2

(B)

1 2

(C)

3 3

(D) 3

7.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%.现采用随机模拟试验的方 法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨;再以每三个随机数作为一 组,代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
第 1 页 共 9 页

431 257 393 027 556 488 730 113 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为(B) (A)0.35 (B)0.25 (C)0.20 (D)0.15
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

537

989

8.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2 ) 和实数 a1 , a 2 , ..., a n ,

输出 A , B ,则(C) A. A ? B 为 a1 , a 2 , ..., a n 的和 B.
A? B 2

为 a1 , a 2 , ..., a n 的算术平均数

C. A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a 2 , ..., a n 中最小的数和最大的数 9 . 已 知 函 数 f ( x ) ? 2 ? l o g1 x , 且 实 数 a > b > c >0 满 足
x 2

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 0 ,若实数 x 0 是函数 y = f ( x ) 的一个零点,那么下列不等式中不 .

可能成立的是(D ) .. (A) x 0 ? a (B) x 0 ? a (C) x 0 ? b (D) x 0 ? c

10.在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( A )

(A)

2 3 9

?R

3

(B)

4 3 9

?R

3

(C)

2 3 3

?R

3

3 (D) ? R

4

9

解 : 设 圆 柱 的 高 为 h, 则 圆 柱 的 底 面 半 径 为
2 2

R ?h
2

2

,圆柱的体积为
R 3

3 2 2 2 V= ? ( R ? h ) h = ? ? h ? ? R h (0<h<R), V ? ? ? 3? h ? ? R ? 0 , h ?

时 V 有最大值为

V ?

2 3 9

?R 。
3

11.已知动点 P ( x , y ) 在椭圆
???? ? 则 | P M | 的最小值是(

x

2

?

y

2

???? ???? ? ? ???? ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3, 0 ) , | A M | ? 1 ,且 P M ? A M ? 0 ,

25

16

C ). (C)
3

(A)

2

(B) 2

(D) 3

第 2 页 共 9 页

12.给出定义:若 m ?

1 2

? x ? m ?

1 2

(其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,

记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ? x ? { x } 的四个论断: ① f (? ③ f (?
1 2 1 ) ? 1 2



② f (3.4) ? ? 0.4 ④ y ? f ( x ) 的定义域为 R,值域是[一
1 2 ,
1 2

1 )? f( ) 4 4

].

则其中论断正确的序号是(B) (A)①② (B)①③

(C)②④

(D)③④

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 错误!未指定书签。3. (理)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的 4 坐法种数为 (3!) (文)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取 80 名学生进行家 庭情况调查,经过 一段时间后再从这个年级随机抽取 100 名学生进行学情调查, 发现有 20 名同学上次被抽 到过 ,估计这个学校高一年级的学生人数为 400.
?2 x ? y ? 2 ? 0 x y ? 14.设实数 x , y 满足约束条件 ? 8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? ? ( a ? 0 , b ? 0 ) 的最大值 a b ?x ? 0 , y ? 0 ?

为 9,则 d= 4 a ? b 的最小值为__

___。

4 3



15 . 已 知 正 三 棱 柱 A B C - A ' B ' C ' 的 正 ( 主 ) 视 图 和 侧 ( 左 ) 视 图 如 图 所 示 . 设
? A B C , ? A ' B ' C ' 的中心分别是 O , O ' ,现将此三棱柱绕直线 O O ' 旋转,射线 O A 旋转

所成的角为 x 弧度( x 可以取到任意一个实数) ,对应的俯视图的面积为 S ( x ) ,则函数
S ( x ) 的最大值为

8;

3 4 正(主)视图 侧(左)视图

16.已知△ABC 中, A (0,1), B (2, 4) C (6,1) ,P 为平面上任意一点,M、N 分别使
???? ? ? ? 1 ??? ??? PM ? (PA ? PB ) 2

, PN

????

?

???? ???? ? ? ? 1 ??? ??? ???? ( P A ? P B ? P C ) ,给出下列相关命题:① M N // B C 3

;②直线 MN

的方程为 3 x ? 10 y ? 28 ? 0 ; ③直线 MN 必过 △ABC 的外心;④向量 ? ( A B ?
??? ? ???? A C )( ? ? 0 )

所在射线必过 N 点,上述四个命题

第 3 页 共 9 页

中正确的是

_________.(将正确的选项全填上) .②

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分. ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 已知 A ?
?
4 , b sin (

?
4

? C ) ? c sin (

?
4

? B) ? a

(1) 求证: B ? C ? (2) 若 a ?

?
2

2 ,求△ABC 的面积.

解:(1)证明:由 b sin (
sin B sin (

?
4

? C ) ? c sin (

?
4

? B ) ? a 及正弦定理得:

?
4

? C ) ? sin C sin (

?
4

? B ) ? sin A ,

即 sin B (

2 2

co s C ?

2 2

sin C ) ? sin C (

2 2

co s B ?

2 2

sin B ) ?

2 2

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin ( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B , C ? 所以 B ? C ?
?
[来源:学#科#网]

3? 4

2

(2) 由(1)及 B ? C ? 所以 b ?
1 2

3? 4

可得 B ?
5? 8 ,c ?

5?

,C ?

?
8

,又 A ?
?
8

?
4

,a ?

2

a sin B sin A

? 2 sin

8 a sin C
sin A

? 2 sin

, 所以三角形 ABC 的面积
2 2

?

b c sin A ?

2 sin

5? 8

sin

?
8

?

2 sin

?
8

co s

?
8

?

sin

?
4

?

1 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面 A B C D 是边长为 2 的菱形,
? B A D ? 60 ,对角线 A C 与 B D 相交于点 O , O P ? 底面 A B C D ,
?

OP ?

3 , E , F 分别为 B C , A P 的中点.

(1)求证: E F ∥平面 P C D ; (2)求直 线 E F 与平面 A B C D 所成角的余弦值.

第 4 页 共 9 页

19. (本小题满分 12 分) (文)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x ) ? ax
2

? 4 bx ? 1 .

(1) 设分别从集合 P ? ?1, 2 , 3? 和 Q ? ?? 1,1, 2 ,3 , 4 ? 中随机取一个数作为 a 和 b ,求函数
y ? f ( x ) 在区间[ 1, ?? ) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2) 设点( a ,b )是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x ) 在区间[ 1, ?? ) 上 ?y ? 0 ?

是增函数的概率.

19.(理)(本小题满分 12 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 O 分,比赛进行到有一人

第 5 页 共 9 页

比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p(p> 独立,已知第二局结束时比赛停止的概率 为 .
9 5

1 2

) ,且各局胜负相互

(1)求 p 的值 . (2)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E ? .

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 a n ? 3 ? 2 ? 4 , n ? 1, 2 ,3 , ? .
n

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 T n 为数列 { S n ? 4} 的前 n 项和,求 T n ? 20.解:(1) ∵ a1 ? S 1 ? 2 a1 ? 2 ,∴ a 1 ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 , a n ? 2 a n ? 1 ? 3 ? 2 令 bn ?
an 2
n

-------2 分
n ?1

,于是

an 2
n

?

a n ?1 2
n ?1

?

3 2

;------4 分 ;

,则数列 {b n } 是首项 b1 ? 1 、公差为
n ?1

3 2

的等差数列, b n ?

3n ? 1 2

∴ a n ? 2 bn ? 2
n

( 3 n ? 1) .
n n?2

-------6 分 ,

(2) ∵ S n ? 4 ? 2 ( 3 n ? 4 ) ? 3 ? 2 ? n ? 2
n

第 6 页 共 9 页

∴ Tn ? 3 ( 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ) ? 4 ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ,
2 n 2 n

-------8 分
n ?1

记 W n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ①,则 2W n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n 2 3

? n ②,

① -②有 ? W n ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 n

n ?1

?n ? 2

n ?1

(1 ? n ) ? 2 ,

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的方程为
x a
2 5 5
源:Z+xx+k.Com]

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 它的一个焦点与抛物线 y

2

? 8 x 的焦点重合,

离心率 e ?

, 过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.

[



(1)求椭圆的标准方程; (2)设点 M (1, 0 ), 且( MA ? MB )? AB , 求直线 l 的方程

第 7 页 共 9 页

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?
n

p x ? p ? ln x ( p ? 0 ) .

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围; (2)当 n ? N 时,证明 ?
?

2k ? 1 k
?

? 2 ln ( n ? 1)
n

k ?1

(3)(理) 当 n ? 2 且 n ? N 时,证明: ?

1 ln k

? ln n .

k ?2

解: (1) p ? 0 ,函数 f ( x ) ?
f ?( x ) ? 2 p px ? p ? 1 x

p x ? p ? ln x 的定义域为 [1, ? ? ) .

.
1 x

依题意,
2
? 4 ( x ? 1) x
2

p px ? p
1 x ?

?
1 2

在 x ? (1, ? ? ) 恒成立,? p ?
1 4

4 ( x ? 1) x
2

在 x ? (1, ? ? ) 恒成立. …… (4 分)

? 4[ ? (

) ?
2

] ? 1 ,? p ? 1 ,∴ p 的取值范围为 [1, ? ? ) .

第 8 页 共 9 页

(2)当 n ? N * 时, ?

n

2k ? 1 k

? 2 ln( n ? 1) .

k ?1

证明:当 n ? N * 时,欲证 只需证
2k ? 1 k

?

n

2k ? 1 k

? 2 ln( n ? 1) ,

k ?1

? 2[ln ( k ? 1) ? ln k ]( k ? N ) .
*

由(Ⅰ)可知:取 p ? 1 ,则 f ( x ) ? f (1) ( x ? 1) , 而 f ?1 ? ? 0 ,? 用( 即
x ?1 x
2x ?1 x
2

x ? 1 ? ln x (当 x ? 1 时,等号成立).

) 代换 x ,得

(

x ?1 x

) ? 1 ? ln (
2

x ?1 x

) ( x ? 0) ,
2

? 2[ln ( x ? 1) ? ln x ]( x ? 0 ) ,∴

2k ? 1 k

? 2[ln ( k ? 1) ? ln k ]( k ? N ) .
*

在上式中分别取 k ? 1, 2, 3, ? , n ,并将同向不等式相加,得 ?
* ∴当 n ? N 时, ?

n

2k ? 1 k

? 2 ln ( n ? 1) .

k ?1

n

2k ? 1 k

? 2 ln( n ? 1) .

……………………………… (9 分)

k ?1

(3)由(Ⅱ)可知 x ? 1 ? ln x ( x ? 1 时,等号成立). 而当 x ? 2 时: x ? 1 ?
x ? 1 ,∴ 当 x ? 2 时, x ? 1 ? ln x .
1 x ? x ?1 x

设 g ( x ) ? x ? 1 ? ln x , x ? (0, 2) ,则 g ? ( x ) ? 1 ? ∴ g ( x ) 在 (0,1) 上递减,在 (1, 2 ) 上递增,



∴ g ( x ) ? g (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x 在 x ? (0, 2) 时恒成立. 故当 x ? (0, ? ? ) 时, x ? 1 ? ln x (当且仅当 x ? 1 时,等号成立). 用 x 代换 x ? 1 得: x ? ln(1 ? x ) (当且仅当 x ? 0 时,等号成立).
* 当 k ? 2, k ? N 时,由①得 k ? 1 ? ln k ? 0 ,?

…… ① …… ②

1 ln k 1

?

1 k ?1

.
1 ? ln (1 ? 1 k ?1 ).

当 k ? 2, k ? N 时,由②得 k ? ln (1 ? k ) ,用
*

k ?1 k ?1 1 1 1 * ? ln (1 ? ) ,即 ? ln k ? ln ( k ? 1) . ∴当 k ? 2, k ? N 时, ln k ln k k ?1

代换 k ,得

在上式中分别取 k ? 2, 3, 4, ? , n ,并将同向不等式相加,得 ?
* 故当 n ? 2 且 n ? N 时, ?

n

1 ln k

? ln n ? ln 1 .

k ?2

n

1 ln k

? ln n .

………………………………………(14 分)

k ?2

第 9 页 共 9 页


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