2013年数学高考总复习重点精品课件： 《1.1回归分析的基本思想及其初步应用》课件 新人教A版选修1-2

1．1 回归分析的基本思想及其初步应用

【课标要求】 1．了解随机误差、残差、残差分析的概念； 2．会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果； 3．掌握建立回归模型的步骤；

4．通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想方法
和初步应用．

【核心扫描】

1．利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，求线性回归方
程．(重点) 2．回归模型的选择，特别是非线性回归模型．(难点、易错点)

自学导引 1．回归分析

回归分析是对具有 相关关系 的两个变量进行统计分析的一种常
用方法． 2．线性回归模型 (1)由散点图易发现，样本点散布在某一条直线附近，而不是一 条直线上，不能用一次函数y＝bx＋a描述它们之间的关系，因 随机误差 ．

此用线性回归模型y＝bx＋a＋e来表示，其中a、b为未知参数，
e为

(2)对参数 a 和 b 的估计，由《数学必修 3》可知：最小二乘法估 计a和b就是未知参数 a、b 的最好估计，其计算公式为
^ ^

? ?xi－ x ??yi－ y ? ?xiyi－n x y
b＝
^ i＝1 i＝1

n

n

＝

，a＝ y －b x ，

^

^

? ?xi－ x ?
i＝1

n

2

?x2－n x 2 i
i＝1

n

1n 1n 其中 x ＝n ?xi， y ＝n ?yi，( x ， y )称为样本点的中心． i＝1 i＝1

(3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e，

因变量y由 自变量x

和

随机误差e

共同确定，即自变量x只解

释部分y的变化，在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变 量y称为预报变量．

试一试：下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必

过(

).
x 1 2 3 4

y 1 3 5 7

A．点(2,3)
C．点(2.5,4)
提示

B．点(1.5,4)
D．点(2.5,5)

选 C.线性回归方程必过样本点的中心( x ， y )，即(2.5,4)．

3．刻画回归效果的方式
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi－yi)是随机 残差 误差．称ei＝yi－yi 为残差，ei 称为相应于点(xi，yi)的残 差. ?
i＝1 n ^ 2 (yi－yi) 称为残差平方和 ^ ^ ^ ^

利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 残差 ，横 残差图 坐标可以选为 样本编号 ，或 身高数据 ，或体重估计值 等，这样作出的图形称为残差图

残差 图法

残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选 用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄， 说明模型拟合精度越高

残差平 残差平方和为 ? (yi－y) ，残差平方和 越小 ，模型
i＝1

n

^ 2

方和 拟合效果越好

?
i＝1

n

^ 2 ?yi－yi?

相关指 R2＝1－ 数R
2

， 2 表示 解释 变量对 预报 变量变 R

?yi－ y ?2 ?
i＝1

n

化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好

想一想：回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实 值吗？为什么？ 提示 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是

个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除
了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动 等．

4．非线性回归分析
(1)非线性相关关系：样本点分布在某一条曲线的周围，而不是 一条直线附近．我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系 而是非线性相关关系． (2)非线性回归方程线性化

①y＝axn(其中a，x，y均为正值)(幂函数型函数)
lg y＝lg a＋n lg x，令u＝lg y，v＝lg x，b＝lg a， 则u＝nv＋b，图象为一直线． ②y＝cax(a＞0，c＞0)(指数型函数) lg y＝x lg a＋lg c，令u＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，

则u＝dx＋b，图象为一直线．

名师点睛 1．线性回归方程 (1)在分析两个变量的相关关系时， 可根据样本数据散点图确定 两个变量之间是否存在相关关系， 然后利用最小二乘法求出回 归直线方程． ^ ^ ^ ^ ^ ^ (2)求线性回归方程y＝bx＋a的关键是求未知参数a和b，其中b ^ ^ ^ ^ 可借助于计算器求出，因为a＝ y －b x ，即 y ＝b x ＋a，所以点 ( x ，y )一定满足线性回归方程，即回归直线一定过点( x ，y )．

(3)求线性回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出 x ， y ，
2 x1＋x2＋…＋x2，x1y1＋x2y2＋…＋xnyn 的值； 2 n

^ ^ ②计算未知参数a，b； ^ ^ ^ ③写出线性回归方程y＝bx＋a.

2．线性回归分析

(1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
(2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②省略了一些因素的影响产生的误差； ③观测与计算产生的误差．

(3)残差分析是回归分析的一种方法．
(4)用相关指数R2来刻画回归效果． R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．

3．建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报 变量． (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系等)．

(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，
则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否

有误，或模型是否合适等．

题型一 求线性回归方程

【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生

学科

A B C D E

数学成绩(x) 88 76 73 66 63

物理成绩(y) 78 65 71 64 61

(1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．

[思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，
若相关再利用线性回归模型求解．

解

(1)散点图如图．

1 (2) x ＝5×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， 1 y ＝ ×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8. 5

?xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
i＝1

5

?x2＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. i
i＝1

5

?xiyi－5 x y
所以b＝ x2－5 x 2 ?i
i＝1 5 ^ i＝1

5

25 054－5×73.2×67.8 ＝ 27 174－5×73.22

≈0.625.

a＝ y －b x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 所以 y 对 x 的回归直线方程是 y＝0.625x＋22.05. (3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是 82.
^ ^

^

^

规律方法

(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，

对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关 系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．

(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，
求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫 无意义．

【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x

的数据：

房屋面积/m2

115 110

80

135 105

销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

解 (1)数据对应的散点图如下图所示：

5 15 (2) x ＝ ?xi＝109， ? (xi－ x )2＝1 570， 5i＝1 i＝1

y ＝23.2， ? (xi－ x )(yi－ y )＝308.
i＝1

5

设所求回归直线方程为y＝bx＋a，

^

^

^

? ?xi－ x ??yi－ y ?
则b＝
^ i＝1

5

? ?xi－ x ?2
i＝1

5

308 ＝1 570≈0.196 2，

a＝ y －b x ＝0.181 42. 故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.814 2. 回归直线如上图所示． (3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为 y＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．
^ ^

^

^

题型二 线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，

对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：

x

5

10

15

20

25

30

y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8

(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2； (3)进行残差分析．

[思路探索] 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：(1)散 点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区

域的宽窄．

解

(1)散点图如图

1 x ＝6(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5， 1 y ＝6(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487， x2＝2 i i＝1

?

6

275， ?xiyi＝1 076.2
i＝1
^ ^

6

计算得，b≈0.183，a≈6.285， 所求回归直线方程为y＝0.183x＋6.285.
^

(2)列表如下：

yi－yi

^

0.05

0.005

－0.08 －0.045 0.04 0.025 0.41 1.41 2.31

yi－ y －2.24 －1.37 －0.54
所以 ?
i＝1 6 ^ 2 (yi－yi) ≈0.013 6

18， ? (yi－ y )2＝14.678 4.
i＝1

0.013 18 所以，R ＝1－ ≈0.999 1， 14.678 4
2

回归模型的拟合效果较好．

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确 认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠

正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀
地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归 模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系． 规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注

意计算数据要认真细心，残差分析要全面．

【变式2】 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如 下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3

求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．

解

1 x ＝ (14＋16＋18＋20＋22)＝18， 5

1 y ＝ (12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， 5

?x2＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， i
i＝1

5

?xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝1

5

?xiyi－5 x y
所以b＝
^ i＝1

5

?x2－5 x 2 i
i＝1 ^

5

620－5×18×7.4 ＝ ＝－1.15. 1 660－5×182

a＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是：y＝－1.15x＋28.1. 列出残差表：
^

yi－yi yi－ y
5

^

0

0.3 －0.4 －0.1

0.2

4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4

5 ^ 2 所以， (yi－yi) ＝0.3， i＝1 i＝1

?

? (yi－ y )2＝53.2，

?
i＝1

5

^ 2 ?yi－yi?

R2＝1－

≈0.994，

? ?yi－ y ?2
i＝1

5

所以回归模型的拟合效果很好．

题型三 非线性回归分析 【例3】 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35

y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．

(1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量x、y是 否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型． (2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程．

[规范解答] (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有 线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数

函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1、c2为待定的参数．(4分)

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换 后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周围，这样

就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，
数据可以转化为： x 21 23 25 27 29 32 35

z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784

求得回归直线方程为＝0.272x－3.849， ∴＝e0.272x－3.849. 残差 yi
i i

(8分)

7

11

21

24

66

115

325

6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(10 分)

(3)当 x＝40 时，y＝e0.272x

－3.849

≈1 131.(12 分)

【题后反思】 解决非线性回归问题的方法及步骤

(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；
(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数 函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程．

【变式3】 为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化， 收集数据如下： 天数x/天

1 2

3

4

5

6

繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190
(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数 据的散点图； (2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；

(3)计算相关指数．

解 (1)所作散点图如图所示．

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于 是令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln

c1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间
的非线性回归方程了，数据可以转化为：

x

1

2

3

4

5

6

z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25

由计算器得：z＝0.69x＋1.115，则有y＝e0.69x＋1.115.

^

^

(3) yi 6.08 12.12 24.17 48.18 96.06 191.52 yi 6 12 25 49 95 190
^

^ 2 377 n ^2 n y ＝ 6 ， ?e i ＝ ? (yi－y) ＝4.816 1， i＝1 i＝1

?
i＝1

n

4.816 1 (yi－ y ) ＝24 642.8，R ＝1－24 642.8≈0.999 8，
2 2

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.

误区警示

对相关指数 R2 理解不当致误

【示例】 关于 x 与 y 有如下数据： x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70 为了对 x、 两个变量进行统计分析， y 现有以下两种线性模型： ^ ^ 甲模型y＝6.5x＋17.5，乙模型y＝7x＋17，试比较哪一个模型 拟合的效果更好．

^ ? ?yi－yi?2
i＝1

5

[错解]

∵R2＝1－ 1

? ?yi－ y ?2
i＝1

5

155 ＝1－ ＝0.845. 1 000

?
i＝1

5

^ ?yi－yi?2 180 ＝1－1 000＝0.82.

R2＝1－ 2

? ?yi－ y ?2
i＝1

5

又∵84.5%＞82%，∴乙选用的模型拟合的效果更好．

用相关指数R2来比较模型的拟合效果，R2越大，模型 的拟合效果越好，并不是R2越小拟合效果更好．

^ ? ?yi－yi?2
i＝1

5

[正解]

R2＝1－ 1

? ?yi－ y ?2
i＝1

5

155 ＝1－ ＝0.845， 1 000

^ ? ?yi－yi?2
i＝1

5

R2＝1－ 2

?
i＝1

5

?yi－ y ?2

180 ＝1－1 000＝0.82，

84．5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果更好．

^ ? ?yi－yi?2
i＝1

n

R2＝1－

，R2 越大，残差平方和越小，从而

?
i＝1

n

?yi－ y ?2

回归模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2 表示解释变量 对于预报变量变化的贡献率， 2 越接近 1， R 表示回归的效果越好(因 为 R2 越接近 1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强)．