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高中物理竞赛辅导讲义:机械振动和机械波(含答案解析)


机械振动和机械波 §5.1 简谐振动 ? ? F 如果一个物体受到的回复力 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方向相反。即满 足: F回 ? ?K x 的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的 5.1.1、简谐振动的动力学特点 a? 加速度 离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下

端固定一个质 量为 m 的物体,物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松手, 使其上下振动,如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有 F回 K ?? m m ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏 P F回 ? F ? mg ? k ( x0 ? x) ? mg 式中 因此 x x0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 ? mg , F回 ? kx 图 5-1-1 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O, 而位移 x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反,竖直方向 的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可 引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为 A ? ?0 简谐振动,以平衡位置 O 为圆心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就 x O 称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点在参考圆上以角速度 ? 作 匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角为 ? 0 ,那么在 时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为 ? ? ?t ? ? 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标 图 5-1-2 x ? A cos(?t ? ? 0 ) (2) 这就是简谐振动方程,式中 ? 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ?t ? ? 0 是 t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为 A? ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴上的投影是 v ? ? A? cos(?t ? ?0 ) 这也就是简谐振动的速度 2 (3) 参考圆上的质点的加速度为 A? ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是 高中物理竞赛力学教程 第五讲 机械振动和机械波 a ? ? A? 2 cos(?t ? ?0 ) 这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得 (4) a ? ?? 2 x 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为 a? F k ?? x m m 因此有 ?2 ? (5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以 k m T? 2? m ? 2? ? w k F ? ? kx ; 5.1.3、简谐振动的判据 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足 a ? ?? x ; 2 0 。 ③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个 条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力, k 因此弹簧振子的运动是简谐振动,振动周期 x ? A cos(?t ? ? ) T ? 2?

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