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圆与方程


圆与方程
[知识点]
1.圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 注:特殊圆的方程:①与 x 轴相切的圆方程
[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]

( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2

②与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2

[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

2.圆的一般方程: x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0)
D E? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时 , 方 程 表 示 一 个 圆 , 其 中 圆 心 C ? ? ? ,? ? , 半 径 ? 2 2? r? D 2 ? E 2 ?4 F 2

.
? 2 2?

D E? 当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个点 ? ? ? ,? ? .

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注意: (1)x2 和 y2 的系数相同. (2)没有 xy 这样的项. (3)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示点( ?
D E , ? ). 2 2

(4) D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r>0)的参数方程为 ?
? x ? a ? r cos? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

4.A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),以 AB 为直径的圆的方程为 (x-x 1 )(x-x 2 )+(y-y 1 )(y-y 2 )=0
1

典型例题
知识点 1 圆的标准方程

1.过点 A(1,-1)与 B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程 为 A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x+3)2+(y-1)2=4 ( B.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 )

2.已知一圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5) ,且圆心 C 在直线 l:
x ? 2 y ? 3 ? 0 上,求此圆的标准方程.

3.已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1) ,B(6,-3) , C(-3,0) ,求△ABC 外接圆的方程.

2

4.已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、 Q, 求以 PQ 为直径的圆的方程.

5.已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一 半, 求: (1)动点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求 点 N 的轨迹.

3

6.求过三点 O(0,0) ,M(1,1) ,N(4,2)的圆的方程,并求这个圆 的半径和圆心坐标?

知识点 2

圆的参数方程

1.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.? (1)求 y-x 的最大值和最小值;? (2)求 x2+y2 的最大值和最小值.?

2.已知实数 x,y 满足 x2+y2-4x+6y+12=0,则|2x-y|的最小值??

4

3.圆 ?

? x ? 1 ? cos? (? 为参数)的标准方程是 ? y ? 1 ? sin ?

,过这个圆 .

外一点 P ? 2,3? 的该圆的切线方程是

知识点 3

圆方程的运用
x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是

1.方程 ?x ? y ?1?





A.一条直线及一个圆 C.一条射线及一个圆

B.两个点 D.两条射线及一个圆

2.要使 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴的两个交点分别位于原点的两侧, 则 有 A. D 2 ? E 2 ? 4F ? 0, 且F ? 0 C . D ? 0, F ? 0 B. D ? 0, F ? 0 D. F ? 0 ) ( )

3.直线 y ? x ? b 平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长,则 b ? ( A.3 B.5 C.-3 D.-5

4.已知圆 C: (x+1)2+(y-3)2=9 上的两点 P,Q 关于直线 x+my+4=0 对称, 则 m=______. 5.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则 ab 的取值范围是
1? ? A. ? ? ? ?, ? ? 4? 1? B. ? ? 0, ? ? 4?


1 ? C. ? ? ? ,0 ? ? ? 4 ?

)? D.
1? ? ? ? ?, ? 4? ?

?
5

6.若直线 2ax-by+2=0 (a>0,b>0)始终平分圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的周
1 ? 的最小值是( 长,则 1 a b

)? C.4 ? D.
1 2

A. 1 ? 4 ?

B.2

7.若直线 y=kx 与(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 则 k.b 的值分别为?

知识点 4

圆的定义的应用

1.方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的 圆,则该圆圆心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ( )

D.第四象限 )

2.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆, 则 a 的取值范围是 ( ? A.a<-2 或 a> 2 3 ? C.-2<a<0 ? B.- 2 <a<0 ? 3 D.-2<a< 2 ? 3

3.若方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 所表示的曲线关于直线
y ? x 对称,必有

( C. D ? E



A. E ? F

B. D ? F

D, E, F 两两不相等 D.

4.方程 x2+y2-x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为____

6

5.已知方程 x2 ? y2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16t 4 ? 9 ? 0 表示一个圆. (1) t 的取值范围 (2)该圆半径 r 的取值范围

知识点 5

综合运用

1.已知直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆(x+1)2+(y-2)2=4 的圆心, 则
1 1 ? a b

的最小值为?

2.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图像关 于点(1,0)对称。若对任意的 x,y 属于 R,不等式 f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x2+y2 的取值范围是多 少?

7


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