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学案6:数列中的最值问题


学案 6:数列中的最值问题
姓名 班级 运用数列单调性求最大(小)项 数列是一种特殊的函数,一种定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此也具有单调性,可 用函数的思想和方法去研究。 对于数列 ?a n ? 而言, 若 a n ? a n ?1 , 则此数列为递增数列, 若 a n ? a n ?1 , 则其为递减数列,若 a n ? a n ?1 ,则其为常数列,运用其单调性可求出一些常见数列的最值。 一. 整式(一次,二次)函数为背景的数列(利用二次函数单调性) 例 1. 已知等差数列 ?a n ? (d<0)其前 n 项和为 S n ,若 S9 ? S17 ,问 ?Sn ? 中哪一项最大?

?a ? 0 ?a ? 0 1 当 d<0 时, ? k 2 当公差 d ? 0时? k 点评:等差数列中,○ 时, S k 最大。○ 时, S k 最小。 ?a k ?1 ? 0 ?a k ?1 ? 0 二. 无理根式函数为背景的数列(利用函数单调性)
2 例 2.数列 ?a n ? 满足 an ? n ? n ? 1 ,求 ?a n ? 中的最小项

点评:注意隐含条件 a n ? 0 ,否则会得出 a n ?1 ? a n 的错误结论,在(2)中用到了分子有理化技巧, 这是根式运算常见的一种方法。

a (x ? 0, a ? 0) 为背景的数列(利用函数单调性) x n (n ? N ? ) ,则该数列中的最大项是第几项? 例 3. 已知数列 a n ? 2 n ? 156
三. 以函数 y ? x ?

1

四. 以分式函数为背景的数列(利用函数单调性) 例 4. 已知 a n ?

n ? 97 n ? 98

(n ? N ? ) 则在数列 ?a n ? 的前 30 项中最大项和最小项分别是_____。

例 5. 已知 Sn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 (n ? N? ) ,记 a n ? S 2n ?1 ? S n ?1 ,求数列 ?a n ? 的最小值。 2 3 n (利用作差法及放缩法)

五. 混合型数列(由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>)
n 例 6. 已知无穷数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 9 (n ? 1) ,试判断此数列是否有最大项,若有,求出第几 n

10

项最大,若没有,说明理由。 (利用作差法)

小结:会利用求数列中最大(小)项的一般方法研究数列的最值问题; ?a ? ak ?1 ?a ? ak ?1 (1) 、若 {an } 中的最大项为 ak ,则 ? k ; (2) 、若 {an } 中的最小项为 ak ,则 ? k 。 ?ak ? ak ?1 ?ak ? ak ?1
2

学案 5:数列中的最值问题参考答案
姓名 运用数列单调性求最大(小)项 数列是一种特殊的函数,一种定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此也具有单调性,可 用函数的思想和方法去研究。 对于数列 ?a n ? 而言, 若 a n ? a n ?1 , 则此数列为递增数列, 若 a n ? a n ?1 , 则其为递减数列,若 a n ? a n ?1 ,则其为常数列,运用其单调性可求出一些常见数列的最值。 一. 整式(一次,二次)函数为背景的数列(利用函数单调性) 例 1. 已知等差数列 ?a n ? (d<0)其前 n 项和为 S n ,若 S9 ? S17 ,问 ?Sn ? 中哪一项最大? 解:因为 S9 ? S17 , 班级

? a 10 ? a 11 ? ? ? a 17 ? 0 ? a 13 ? a 14 ? 0 ,因为 d<0

又因为 a 10 ? a 17 ? a 11 ? a 16 ? a 12 ? a 15 ? a 13 ? a 14 , 所以数列 ?a n ? 单调递减,于是 a 13 ? 0, a 14 ? 0

, ?S14 最大

?a ? 0 ?a ? 0 1 当 d<0 时, ? k 2 当公差 d ? 0时? k 点评:等差数列中,○ 时, S k 最大。○ 时, S k 最小。 ?a k ?1 ? 0 ?a k ?1 ? 0
二. 无理根式函数为背景的数列(利用函数单调性)
2 例 2.数列 ?a n ? 满足 an ? n ? n ? 1 ,求 ?a n ? 中的最小项

解: a n ? n ? n 2 ? 1 ? ?

1 n ? n ?1
2



an?1 ? ?

1 n ? 1 ? (n ? 1)2 ? 1

? n ? n 2 ? 1 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 1
? a n 的最小项为 a 1 ? 1 ? 2

? a n ? a n ?1 ,可知数列 ?a n ? 是递增数列

点评:注意隐含条件 a n ? 0 ,否则会得出 a n ?1 ? a n 的错误结论,在(2)中用到了分子有理化技 巧,这是根式运算常见的一种方法。 三. 以函数 y ? x ?

a (x ? 0, a ? 0) 为背景的数列(利用函数单调性) x
n (n ? N ? ) ,则该数列中的最大项是第几项? n ? 156
2

例 3. 已知数列 a n ? 解:得 a ? n

1 ,由函数 y ? x ? 156 (x ? 0) 知在 (0, x 156 n? n

156 ) 上为减函数。在 ( 156,??) 为增函数。

当且仅当 x ? 156 时,函数取最小值,而 n ? N ? 。 要使 n ?

156 的值最小,应使 n ? [ 156 ] 。 n
3

通过计算验证,可得 n=12 或 13 时, a n 最大。 ? a 12 ? a 13 为数列 ?a n ? 中的最大项。

四. 以分式函数为背景的数列(利用函数单调性) 例 4. 已知 a n ?

n ? 97 n ? 98

(n ? N ? ) 则在数列 ?a n ? 的前 30 项中最大项和最小项分别是_____。

解: a n ? n ? 97 ? 1 ? 98 ? 97 n ? 98 n ? 98

?数列中的项是函数 f (x) ? 1 ? 98 ? 97 上孤立的点,而 f(x)的图象是由 y ? 98 ? 97 右移 98
x ? 98

x

个单位再上移 1 个单位得到的,因此 f(x)在 (??, 98) 上是减函数。 在 ( 98,??) 上也是减函数,从而可知当 n=9 时 a n 最小,n=10 时, a n 最大。

?最大项和最小项分别为 a 10 , a 9 。
例 5. 若 Sn ? 1 ?

1 1 1 (利用作差法) ? ? ? ? (n ? N ? ) ,记 a n ? S 2n ?1 ? S n ?1 ,求数列 ?a n ? 的最小值。 2 3 n

解: a n ? S2n ?1 ? Sn ?1 ? 则 a n ?1 ? a n ?

1 1 1 , ? ? ?? n?2 n ?3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 ? ? 2n ? 2 2n ? 4 n ? 2 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 1 2n ? 3 n ? 2
??a n ? 为递增数列,

? a n ?1 ? a n ,

?a n ? 中的最小项为 a1 ? 1

3

五. 混合型数列(由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为<差比混合数列>)
n 例 6. 已知无穷数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 9 (n ? 1) ,试判断此数列是否有最大项,若有,求出第 n

10

几项最大,若没有,说明理由。 (利用作差法) 解: a n ?1 ? a n ?

9 n ?1 (n ? 2) 9 n (n ? 1) 9 n (8 ? n ) ? ? 10 n ?1 10 n 10 n ?1

?当1 ? n ? 8 时, a n ?1 ? a n ,即 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 8
当 n=8 时, a n ?1 ? a n ,即 a 8 ? a 9 当 n>8 时, a n ?1 ? a n ,即 a 9 ? a 10 ? a 11 ? ? 由函数单调性知数列 ?a n ? 存在最大项即第 8,9 项。

4


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