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江苏省南通市2013年高考数学学科基地秘卷模拟试卷1苏教版


2013 年江苏高考数学模拟试卷(一)
第 1 卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设复数 z 满足 i?z ? i ? ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单位),则 z 的实部是 2.若全集 U ? ?x || x |? 2? , A ? {x | log3 ( x2 ?1) ? 1} ,则 ?U A ?

. .

3.某单位招聘员工,有 200 名应聘者参加笔试,随机抽查了其中 20 名应聘者笔试试卷,统计他 们的成绩如下表: 分数 段 人数

?60,65?
1

?65,70?
3

?70,75?
6

?75,80?
6

?80,85?
2

?85,90?
1

?90,95?
1 分.

若按笔试成绩择优录取 40 名参加面试,由此可预测参加面试的分数线为

4.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1, 2,3, 4,5,6 个点的正方体玩具) ,先后 抛掷 2 次,则出现向上的点数之和为 4 的概率是 5.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 . .
开始 k?1 S?0 k≥-3 Y ? S ? S – 2k N 输出 S 结束

6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,

? // ? m ? ? n ? ? m // n 给出下列命题: n n // ? , m ?,则 ? // ? m ? ?, (1)若,

; (2)若, , , ,则 ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 .

/

k ? k -1 (第 5 题图)

7.已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, 则圆 C 的一般方程为 .

8.已知集合 A ? {x | x2 ? a ? (a ? 1) x, a ? R} , ?a ? R ,使得集合 A 中所有整数的元素和为 28, 则 a 的范围是 ____ ____. 9.如图, ?ABC 是边长为 2 3 的等边三角形,P 是以 C 为圆心, 1 为半径的圆上的任意一点,则 AP ? BP 的最小值 .
A B C P

10.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 交 C 于点 D, BF ? 2FD , C 的离心率为 且 则 9 题图) .

(第

1

11.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2=b2, 3a5=b3,若存在常数 u,v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v,则 u+v= . 12. 已知△ABC 中, a, b, c, 分别为?A, ?B, ?C 的对边长, 边上的高与 AB 边的长相等, 设 AB 则

b a c2 ? ? 的最大值为 a b ab

.

13.将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的 长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 是 .
a 的取值范围 b

14.已知实数 a, b 分别满足 a 3 ? 3a 2 ? 5a ? 1 , b 3 ? 3b 2 ? 5b ? 5 , 则 a ? b 的值 为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? (1) 当 m=0 时,求 f ( x ) 在区间 (0, (2) 当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

?
2

1 ? ? )sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) , tan x 4 4

) 上的取值范围;

3 ,求 m 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (1) 求证: B1D1 ? AE ; (2) 求证: AC // 平面 B1DE .

2

17. 本题满分 14 分) ( 如图, 有一位于 A 处的雷达观测站发现其北偏东 45°, A 相距 20 2 与 海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东
45? ? ? (其中 tan ?

1 ? ,0? ? ? ? 45? )且与观测站 A 相距 5 13 海里的 C 处. 5

(1)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ; (2)在离观测站 A 的正南方 20 海里的 E 处有一暗礁(不考虑暗礁的面积) ,如货船不改 变航向继续前行,该货船是否有触礁的危险?试说明理由.
北 B

C θ A

E

3

18.(本小题满分 16 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

(1)点 P 在以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 上,点 C(2,1)关于坐标原点 的对称点为 D,直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之 积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由; (2)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,求 ?CMN 面积的最大值,并求此时直 线 l 的方程.

4

19. (本小题满分 16 分) x1 , x2 是 f ? x ? ? 设

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ? a, b ? R, a ? 0 ? 的两个极值点, 3 2

f ? x ? 的导函数是 y ? f ? ? x ?
(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f ? ? ?2? ? 3 ; (2)如果 x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围; (3)如果 a ? 2 ,且 x2 ? x1 ? 2, x ? ? x1, x2 ? 时,函数 g ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x ? x2 ? 的最小 值为 h ? a ? ,求 h ? a ? 的最大值.

5

20. (本小题满分 16 分)如果无穷数列{an}满足下列条件:①
*

an+an+2 ≤an+1;② 存在实数 2

M,使得 an≤M,其中 n∈N ,那么我们称数列{an}为 Ω 数列. (1) 设数列{bn}的通项为 bn=5n-2 ,且是 Ω 数列,求 M 的取值范围; 1 7 (2) 设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= , 4 4 证明:数列{Sn}是 Ω 数列; (3) 设数列{dn}是各项均为正整数的 Ω 数列,求证:dn≤dn+1.
n

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 ..............
6

题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD.从 A 点作弦 AE 平行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F.求证:BE 平分 CD.

B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 A=?

?a 3? ?,矩阵 A 属于特征值 λ 1=-1 的一 ?c 1?

个特征向量为 ? 1? α 1=? ?. ?-1? (1) 求矩阵 A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量; ?-1? 4 (2) 若向量 m=? ?,求 A m. ?-4?

π? ? C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,点 A?2 2,- ?,圆 O1:ρ =4cosθ 4? ? +4sinθ . (1) 将圆 O1 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 判断点 A 与圆 O1 的位置关系.

1 1 x y D. (选修4-5: 不等式选讲) 已知 a, , , 均为正数, > , >y. b x y 且 x 求证: > . a b x+a y+b

7

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 已知甲盒有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (2)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

23. 已知 ( x ?1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? an ( x ?1)n ,(n ? N*). (1) 求 a0 及 Sn ?

?a ;
i ?1 i

n

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2n ? 2n2 的大小,并说明理由.

8


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