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高中数学三角函数疑点难点讲解


高中数学三角函数疑点难点讲解
【考点审视】 1、 掌握三角函数概念,其中以三角函数的定义学习为重点。 (理科:兼顾反三角) 2、 提高三角函数的恒等变形的能力,关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等, 掌握常见的变形方法。 3、 解决三角函数中的求值问题,关键是把握未知与已知之间的联系。 4、 熟练运用三角函数的性质,需关注复合问题,在问题转化过程中,进一步重视三角恒等变形。 5、 掌握 y ? A sin(?x ? ? ) 等的图象及性质,深刻理解图象变换之原理。 6、 解决与三角函数有关的(常见的)最值问题。 7、正确处理三角形内的三角函数问题,主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和 定理,提高边角、角角转化意识。 8、提高综合运用的能力,如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。 【疑难点拔】 一、 概念不清 )

例 1. 若 ? 、 ? 为第三象限角,且 ? ? ? ,则(

(A) cos? ? cos ? (B) cos? ? cos ? (C) cos? ? cos ? (D)以上都不对 错解 选(A) 分析:角的概念不清,误将象限角看成类似 (? , 不对。用排除法,可知应选(D) 。 二、 以偏概全

3? 7? 4? ) 区间角。如取 ? ? 2? ? ,? ? ,可知(A) 2 6 3

例 2. 已知 sin ? ? m ,求 cos? 的值及相应 ? 的取值范围。 错解 当 ? 是第一、四象限时, cos ? ? 1 ? m 2 ,当 ? 是第二、三象限时, cos ? ? ? 1 ? m 2 。 分析:把 ? 限制为象限角时,只考虑 | m |? 1 且 m ? 0 的情形,遗漏了界限角。应补充:当 | m |? 1 时,

? ? k? ?
三、

?
2

(k ? Z ), cos ? ? 0 ;当 m ? 0 时, ? ? k? (k ? Z ), cos ? ? 1 ,或 cos ? ? ?1 。

忽略隐含条件

例 3. 若 sin x ? cos x ? 1 ? 0 ,求 x 的取值范围。 错解 移项得 sin x ? cos x ? 1 ,两边平方得 sin 2 x ? 0, 那么2k? ? 2 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 即 k? ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

分析:忽略了满足不等式的 x 在第一象限,上述解法引进了 sin x ? cos x ? ?1 。 正解:? sin x ? cos x ? 1即 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 ,由 sin(x ?

?
4

)?

2 得 2

2k? ?
四、

?
4

? x?

?
4

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 4

∴ 2k? ? x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性

2 2 例 4. 设 ? 、 ? 为锐角,且 ? + ? ? 120 ? ,讨论函数 y ? cos ? ? cos ? 的最值。

错解 y ? 1 ?

1 1 (cos 2? ? cos 2? ) ? 1 ? cos( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? 1 ? cos( ? ? ? ) 2 2

可见,当 cos(? ? ? ) ? ?1时, y max ?

1 3 ;当 cos(? ? ? ) ? 1 时, y min ? 。 2 2

分析:由已知得 30? ? ? , ? ? 90? ,∴ ? 60? ? ? ? ? ? 60? ,则 ∴当 cos(? ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 60? 时, y min ? 五、 忽视应用均值不等式的条件

1 ? cos( ? ? ? ) ? 1 2

1 ,最大值不存在。 2

例 5. 求函数 y ?

a2 b2 ? ? (a ? b ? 0,0 ? x ? ) 的最小值。 2 2 2 cos x sin x

错解

y?

a2 b2 2ab 4ab ( 2) ? ? (1) ? ? 4ab(? 0 ? sin 2 x ? 1) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos x sin x

∴当 sin 2 x ? 1 时, ymin ? 4ab 分析:在已知条件下, (1) 、 (2)两处不能同时取等号。 正解:

y ? a 2 (1 ? tan 2 x) ? b 2 (1 ? cot 2 x) ? a 2 ? b 2 ? (a 2 tan 2 x ? b 2 cot 2 x) ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2

当且仅当 a tan x ? b cot x ,即 tan x ?

b ,时, ymin ? (a ? b) 2 a

专题四:三角函数
【经典题例】 例 1:点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动 标为( (A) (? )

2? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐 3

1 3 , ) 2 2

(B) (?

3 1 ,? ) 2 2

(C) (?

1 3 ,? ) 2 2

(D) (?

3 1 , ) 2 2

[思路分析] 记 ? ? ?POQ ,由三角函数定义可知 Q 点的坐标 ( x, y ) 满足 x ? r cos? , y ? r sin ? , 故选(A) [简要评述]三角函数定义是三角函数理论的基础,理解掌握能起到事半功倍的效果。 例 2:求函数 f ( x) ?

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

[思路分析] f ( x) ? ? ?

1 ? sin 2 x cos2 x 1 1 1 ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? 2(1 ? sin x cos x) 2 4 2
3 1 ,最小值是 . 4 4

所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是

[简要评述]三角恒等变形是历年高考考察的主要内容,变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法 的积累,在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外,求函数的周期、最值是考察的热点,变形 化简是必经之路。 例 3:已知 sin(
2

?

4 4 求2 sin ? ? tan? ? cot? ? 1 的值.

? 2? ) ? sin(

?

? 2? ) ?

1 ? ? ,? ? ( , ) , 4 4 2

[思路分析] ∵ sin(

?

?

1 ? 1 sin( ? 4? ) ? cos 4? , ∴得 2 2 2

4

? 2? ) ? sin(

?

4

? 2? ) ? sin(

?
4

? 2? ) ? cos(

?
4

? 2? )

cos 4? ?

1 . 2

又? ? (

? ?

5? , ), 所以 ? ? . 4 2 12

2 sin ? ?c o2 s? ? 2c o 2 s? ? ?c o 2 s? ? sin ?c o? s sin 2? 5? 5? 3 5 ? ?(cos2? ? 2 cot 2? ) ? ?(cos ? 2 cot ) ? ?(? ? 2 3) ? 3. 6 6 2 2

于是

2 2s i n ??t an ? ? c o? t ?1 ? ? c o 2 s? ?

[简要评述] 此类求值问题的类型是:已知三角方程,求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程, 得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简,变形仍然显得重要,此题中巧用诱导公 式、二倍角公式,还用到了常用的变形方法,即“化正余切为正余弦” 。 例 4:已知 b、c 是实数,函数 f(x)= x ? bx ? c 对任意α 、β ? R 有: f (sin ? ) ? 0,
2

且 f (2 ? cos ? ) ? 0, (1)求 f(1)的值; (2)证明:c ? 3 ; (3)设 f (sin ? ) 的最大值为 10,求 f(x) 。 [思路分析](1)令α =

? ,得 f (1) ? 0, 令β = ? ,得 f (1) ? 0, 因此 f (1) ? 0, ; 2

(2)证明:由已知,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0, 当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0, 通过数形结 合的方法可得: f (3) ? 0, 化简得 c ? 3 ; (3)由上述可知,[-1,1]是 f ( x) 的减区间,那么 f (?1) ? 10, 又 f (1) ? 0, 联立方程组 可得 b ? ?5, c ? 4 ,所以 f ( x) ? x 2 ? 5x ? 4 [简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面,复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和 难点,这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。 例 5:关于正弦曲线回答下述问题: (1)函数 y ? log 1 sin(
2

?
3

?

?x
4

) 的单调递增区间是 [8k ?

2 4 ? x ? 8k ? ]k ? Z ; 3 3
对称,则 a 的值是 1 ;

(2)若函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? (3)把函数 y ? sin( 3 x ?

?
8

?
4

) 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍 8

(纵坐标不变) ,则所得的函数解析式子是 y ? sin( x ?

?
8

)



(4)若函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最大值是 2 2 ,最小值是 ? 2 ,最小

正周期是

2? 3 2 ? 2 2 sin(3x ? ) ? ,图象经过点(0,) ,则函数的解析式子是 y ? ; 3 2 6 2 4

[思路分析] 略 [简要评述]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容,必须熟练掌握。上述问题的解答 可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。 例 6:函数 f ( x ) ?

sin 2 x 1 ? sin x ? cos x

(1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的最大值及对应的 x 值。 [思路分析] (1){x|x ? 2k? ? ?且x ? 2k? ? (2)设 t=sinx+cosx, 则 y=t-1

?
2

k ? Z}

y max ? 2 ? 1, x ? 2k? ?

?
4

k ?Z

[ 简要评述]若 f ( x) 关于 sin x ? cos x 与 sin x ? cos x 的表达式,求函数的最值常通过换元法,如令

t ? sin x ? cos x ,使问题得到简化。
例 7:在Δ ABC 中,已知 sin A cos 求角 B 的取值范围。 [思路分析](1)条件等式降次化简得 sin A ? sin C ? 2 sin B ? a ? c ? 2b ??
2

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B (1)求证:a、b、c 成等差数列; (2) 2 2 2

(2)? cos B ?

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 6ac ? 2ac 1 2 ? ? ? ,?? 2ac 8ac 8ac 2

∴??,得 B 的取值范围 (0,

?
3

]

[简要评述]三角形中的变换问题,除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外,还经常需要考虑对 条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、 积公式”进行互换。 例 8:水渠横断面为等腰梯形,如图所示,渠道深 为 S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯形两 达到最小,此时下底角α 应该是多少? [ 思 路 分 析 ] CD= A B 为 h, 梯形面积 腰及下底之和 余弦定理或面

S ? h cot ? , D C h ? S 2 2 ? cos ? ? cot ? ) ,转化为考虑 y= C= ? h( 的最小值,可得当 ? ? 时,y 最小,即 C 最小。 3 h sin ? sin ?
[简要评述]“学以致用”是学习的目的之一,三角知识的应用很广泛,在复习过程中应受到重视。

【热身冲刺】 一、选择题:

1.若 0 ? a ? 10 ,则满足 sin a =0.5 的角 a 的个数是(C)
(A)2 (B)3 (C) 4 (D)5

2.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? (A)向右平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(B )
(B)向右平移

? 个单位长度 3 ? (D)向左平移 个单位长度 3 ? 3? 3.已知函数 f ( x) ? ? sin x, ,则下面三个命题中: (1) f (1) ? f ( ) ? 0 ; (2) f ( 2) ? f ( ) ? 0 ; 4 4 3? (3) f (3) ? f ( ) ? 0 ;其中正确的命题共有( B ) 4
(A) 0 个 (B) 1个 (C)2 个 (D)3 个
2 4.若 f ( x) 是奇函数,且当 x >0 时, f ( x) ? x ? sin x ,则当 x ? R 时, f ( x) 为( C )

? 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 6

(A) x ? sin x
2

(B) x ? sin x
2

(C)| x | x ? sin x

(D)| x | x ? sin x

5.函数 f ( x) ? 3 cos(3x ? ? ) ? sin(3x ? ? ) 是奇函数,则 ? 等于( D)

(A) k?

(B) k? ?

?
6

(C) k? ?

?
3

(D) k? ?

6.如果圆 x 2 ? y 2 ? k 2 至少覆盖函数 f ( x) ? 值范围是( B ) (A) | k |? 3 (B) | k |? 2 7.若 x ∈[ ?

3 sin

?x
k

? 3

的一个最大值点和一个最小值点,则 k 的取 (D) 1 ?| k |? 2

(C) | k |? 1

5? ? 2? ? ? ,? ],则 y= tan(x ? ) ? tan(x ? ) ? cos(x ? ) 12 3 3 6 6

的最大值是( C )

12 3 5 2 1 8. .函数 y ? sin 2 x ? 2 cos x 在区间[ ? ? , a ] 上的最小值为- ,则 a 的取值为( C ) 3 4 2 2 2 2 2 4 (A)[ ? ,?? ) (B)[0, ? ] (C)[ ? ? , ? ] (D) (? ? , ? ] 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 9.若△ABC 面积 S= ( a ? b ? c ) 则∠C=( C) 4 ? ? ? ? (A) (B) (C) (D) 2 3 4 6
(A)

12 5

2

(B)

11 2 6

(C)

11 3 6

(D)

10.已知向量 a ? (2 cos ? ,2 sin ? ), ? ? (

?
2

, ? ), b ? (0,?1), 则 a 与 b 的夹角为( A )

(A)

3? ?? 2

(B)

?
2

??

(C) ? ?

?
2

(D) ?

二、填空题: 11.若 f ( x) 是以 5 为周期的奇函数, f (?3) =4,且 cos ? ? 12.函数 y =lg(sin x cos x )的增区间是 (k? , k? ? 13.用 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数。

1 ,则 f (4 cos 2? ) = -4 2

.

?
4

]k ? Z

10?] ? [sin20?] ? [sin30?] ? ? ? [sin2000 ?] = -81 则 [sin
3 3



14.设 x ? cos ? ? sin ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 x 的取值范围是 (0, 2 ] ; 三、解答题: 15. (文)求函数 y ? 答案: (2k? ?

2 ? 2 sin x ? lg(3 tan x ? 3 ) 的定义域。

?
6

,2k? ?

?
4

] ? (2k? ?

7? 3? ,2k? ? )k ? Z 6 2

(理)二次函数 f ( x )的二次项系数是负数,对任何 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ) = f (1 ? x) ,设 M= f [arcsin(sin4)],N= f [arcos(cos4)],讨论 M 和 N 的大小。 答案: M>N 16.在锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ? (Ⅰ)求证 tan A ? 2 tan B ;

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

(Ⅱ)设 AB =3,求 AB 边上的高.

3 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , ? ?sin A cos B ? ? ? 5 ?? 略解(Ⅰ)证明: ? 1 ?sin A cos B ? cos A sin B ? . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B.

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

(Ⅱ)解:?

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , 所以 tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理后解得 1 ? tan A tan B 4

?

tan B ?

2? 6 ,舍去负值,∴ tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 2
CD CD 2CD 得 CD=2+ 6 . ? ? tan A tan B 2 ? 6

设 AB 边上的高为 CD .由 AB=AD+DB=

17.已知 y ? 2 sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? , x ? sin ? ? cos ? ,其中 0 ? ? ? ? . , (1) 求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)的最大值、最小值。 答案: y ? ? x 2 ? x ? 1; y max ?

5 ; y min ? ?1; 4

18 .在锐角 Δ ABC 中,已 知 A<B<C, 且 B= 60 ? ,又

(1 ? cos2 A)(1 ? co s2C ) ?

3 ?1 ,求证 : 2

a ? 2b ? 2c
略 证 : 由 已 知 得 cos A cosC ?

3 ?1 1 , 又 cos(A ? C ) ? ? , ? ? 进 一 步 可 求 出 4 2

cos(C ? A) ?

3 ??,得 A ? 45?, B ? 60?, C ? 75? , 2 6? 2 ? 4 R sin 75? ? 2c 4

∴ a ? 2b ? 2 R(sin 45? ? 2 sin 60?) ? 4 R ? 19. (1)已知 x ? (0,

?
2

) ,证明不存在实数 m ? (0,1) 能使等式 cos x +msin x =m(*)成立;

(2)试扩大 x 的取值范围,使对于实数 m ? (0,1) ,等式(*)能成立; (3)在扩大后的 x 取值范围内,若取 m ? 提示: (1)可化为 m ? tan(

3 ,求出使等式(*)成立的 x 值。 3

? x ? ? ? ? ) ? 1 (2) x ? ( ? , ) (3) x ? ? 6 2 4 2 2
? ? , ],求 x ; 3 3

20.设函数 f ( x) = a · b ,其中向量 a =(2cos x ,1), b =(cos x , 3 sin2 x ), x ∈R. (1)若 f ( x) ? 1 ? 3 且 x ∈[-

(2)若函数 y=2sin2 x 的图象按向量 c =(m,n)(|m|< m、n 的值.

? )平移后得到函数 y= f ( x) 的图象,求实数 2

略解: (Ⅰ)依题设, f ( x) =2cos x + 3 sin2 x =1+2sin(2 x +
2

? ). 6

由 f ( x) ? 1 ? 3 ,得 sin(2 x ?

?
6

)??

? ? ? 3 ,∵ ? ? x ? ∴ x ? ? . 4 3 3 2

(Ⅱ)函数 y =2sin2 x 的图象按向量 c =(m,n)平移后得到函数 y ? 2 sin 2( x ? m) ? n 的图象,即 函数 y= f ( x) 的图象. 由(Ⅰ)得 f ( x) =2sin2( x +

? )+1. 12

∵|m|<

? ? ,∴m= ? ,n=1. 2 12


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